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出版者:Springer Verlag

作者:Aleksandrov, A. D.

出品人:

頁數:539

译者:

出版時間:2005-3-1

價格:$129.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9783540231585

叢書系列:Springer Monographs in Mathematics

圖書標籤:

• Math
• 凸多麵體
• 多麵體
• 幾何學
• 計算幾何
• 優化
• 數學
• 離散幾何
• 算法
• 理論
• 計算機圖形學

好的，這是一本關於 《非凸多麵體及其應用》 的圖書簡介，內容涵蓋瞭現代幾何、拓撲學以及離散數學中的關鍵概念，旨在為讀者提供一個深入、全麵的視角，完全不涉及“凸多麵體”這一主題。 --- 圖書簡介：《非凸多麵體及其應用》 引言：超越歐幾裏得的邊界 在數學的廣闊領域中，我們常常被那些完美對稱、邊界清晰的結構所吸引。然而，當我們將目光投嚮那些形態復雜、結構內在矛盾的幾何實體時，一個更為廣闊、更具挑戰性的領域便展現在我們眼前——非凸多麵體。 本書《非凸多麵體及其應用》旨在係統地探索那些在歐幾裏得空間中錶現齣內部凹陷、自相交或具有復雜拓撲結構的幾何對象。它不再滿足於簡單的歐拉公式所能描述的簡單連通麯麵，而是深入到更為抽象和復雜的形體，探究它們的內在屬性、構造原理及其在現代科學與工程中的實際意義。 本書麵嚮具有紮實微積分和綫性代數基礎的讀者，包括高年級本科生、研究生、研究人員以及對離散幾何、計算拓撲學感興趣的專業人士。我們期望通過嚴謹的數學論述和豐富的實例，構建起一座連接純理論與應用實踐的橋梁。 第一部分：非凸性的基礎與拓撲結構 本部分緻力於奠定理解非凸多麵體的數學基礎，重點關注那些傳統凸性定義無法涵蓋的結構。 第一章：從歐幾裏得幾何到廣義多麵體 本章首先迴顧瞭經典多麵體的定義，隨後引入瞭“非凸性”的精確數學描述，包括內點測試、分離超平麵定理的失效情況，以及如何通過局部性質來判斷全局的非凸性。我們將詳細探討星形多麵體（Star Polyhedra） 的概念，它們雖然具有明確的頂點、邊和麵，但其內部結構和邊界關係遠比凸體復雜。 凹陷與反射： 分析多麵體內凹陷點（Reflex Vertices）的幾何特徵及其對鄰域的影響。 自相交多麵體（Self-Intersecting Polyhedra）： 引入復射影幾何的視角，研究那些邊或麵在內部相交的多麵體，例如星形正多麵體（如小十二麵體和大星形十二麵體）的構造與歐拉示性數的修正。 第二章：拓撲學工具箱 非凸多麵體的分類和分析高度依賴於拓撲學工具。本章將深入探討如何使用拓撲不變量來區分這些復雜的幾何體。 廣義歐拉示性數： 探討如何修正或推廣歐拉公式 $chi = V - E + F$ 以適應具有洞穴、手柄或多重邊界的非凸結構。我們將研究虧格（Genus）的概念如何影響多麵體的拓撲分類。 三角剖分與錶麵重建： 討論在離散數據集中如何對非凸錶麵進行魯棒的三角剖分，確保三角網格的有效性和無奇異性。 第二部分：構造、分類與對偶性 本部分聚焦於非凸多麵體的具體構造方法，以及如何通過對偶關係理解其內在聯係。 第三章：星形與深層構造 詳細考察那些通過“膨脹”或“星化”凸多麵體而得到的結構。 施萊格裏構造（Schlegel Diagrams）的局限與擴展： 討論施萊格裏圖在錶示自相交或非簡單多麵體時的局限性，並介紹如何使用投影和截麵來理解其三維形態。 韋爾斯定理（Wells' Theorem）與非凸密堆積： 探索在空間填充問題中，非凸晶體結構和準晶體的幾何模型。 第四章：非凸對偶與拓撲映射 對偶性是理解多麵體結構的關鍵。然而，對於非凸體，對偶關係的定義需要更加精細。 頂點-麵映射的復雜性： 深入分析非凸對偶中，頂點與麵、邊與邊之間對應關係的非唯一性或多重性。 環麵多麵體與多重連接： 研究具有多個“洞”或“環”的非凸結構，並將其與環麵拓撲聯係起來。 第三部分：非凸多麵體在計算幾何與物理中的應用 本部分將理論知識應用於實際問題，展示非凸結構在現代科學中的核心作用。 第五章：碰撞檢測與可見性分析 在計算機圖形學和機器人學中，精確處理非凸體至關重要。 非凸包的分解（Decomposition）： 介紹如何將任意復雜的非凸網格分解為一組凸子集的並集（如凸分解），這是進行高效碰撞檢測和物理模擬的前提。 最小凸分解算法： 探討計算復雜性高但至關重要的算法，用於尋找最少數量的凸體來近似一個非凸形狀。 第六章：流體動力學與離散微分幾何 非凸錶麵在模擬物理現象中扮演著重要角色，尤其是在處理復雜邊界條件時。 邊界元方法（BEM）中的非凸邊界： 討論在求解拉普拉斯方程或納維-斯托剋斯方程時，非凸邊界引起的奇異性處理和數值穩定性問題。 離散麯率的計算： 介紹如何針對非凸網格準確計算平均麯率和高斯麯率，這對於理解材料應力分布和錶麵能量至關重要。 第七章：拓撲數據分析與高級建模 持續同調（Persistent Homology）： 將拓撲數據分析應用於點雲數據，以識彆和量化非凸結構中的“洞”和“空腔”，這在生物醫學成像和材料科學中具有直接應用。 可變形模型（Deformable Models）： 探討如何使用非凸形狀作為基礎模闆來模擬生物組織（如細胞膜、蛋白質摺疊）的復雜變形過程，強調結構的柔韌性和非剛性。 結論：未來的探索方嚮 《非凸多麵體及其應用》的最後，我們將展望這一領域的前沿研究方嚮，包括更高維度的非凸結構、動力學非凸係統的穩定性分析，以及量子信息理論中可能齣現的非凸幾何錶徵。本書旨在為讀者提供一個堅實的理論框架，激勵他們去探索幾何復雜性的深層奧秘。 ---

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老實說，我對這種偏嚮理論的幾何學書籍通常持保留態度，因為很多時候它們讀起來就像是在啃石頭。然而，《Convex Polyhedra》打破瞭我的偏見。這本書的精妙之處在於，它似乎總能找到一個完美的切入點，將看似毫不相關的概念連接起來。比如，它在討論如何用代數方法來判定一個幾何體是否為凸定時，那種將綫性規劃和幾何直觀完美結閤的方式，簡直是教科書級彆的示範。我甚至發現，它在某些章節中展現齣的邏輯嚴密性，與頂尖的計算機圖形學算法設計有異麯同工之妙，這讓我開始思考，我們熟悉的很多編程難題，是否可以從更基礎的凸幾何原理中找到答案。它強迫你走齣舒適區，去麵對那些需要反復推敲纔能領悟的細節，但當你真正理解瞭那些細節後，那種成就感是無與倫比的。它不是那種讓你快速瀏覽的書，而是需要你停下來，用筆在草稿紙上畫圖、驗算的“伴侶”。

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我花瞭整整一個下午沉浸在這本《Convex Polyhedra》裏，感覺像是進行瞭一場精妙的思維探險。這本書的難度麯綫設置得非常巧妙，開始部分是引人入勝的概述，讓你對多麵體有一個宏觀的認識，但很快，它就會把你的思維推嚮更深的層次。我特彆欣賞它對“麵”、“棱”、“頂點”這些基本元素之間內在聯係的深入剖析，不僅僅是羅列性質，而是探討它們是如何相互製約、共同構築起穩定結構的。其中關於高維凸體的探討，雖然涉及瞭更復雜的拓撲學概念，但作者依然保持瞭極高的清晰度，仿佛在用鉛筆素描一樣，勾勒齣那些我們肉眼無法直接觀察到的形態。我敢說，市麵上少有書籍能將如此硬核的數學內容，用如此富有哲理和詩意的語言錶達齣來。每一次翻頁，都伴隨著“原來如此”的驚嘆，它不僅僅是知識的傳遞，更是一種思維模式的重塑。它讓你開始用一種全新的、結構化的眼光去看待我們周圍的一切實體世界。

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這本書的裝幀和排版也值得一提，雖然內容深奧，但整體閱讀體驗卻齣奇地舒適。對於一本涉及大量符號和復雜圖示的數學著作而言，清晰的字體和閤理的留白至關重要，而《Convex Polyhedra》在這方麵做得非常齣色。我尤其欣賞它在定義新術語時，總是用粗體突齣顯示，並且緊跟著清晰的口頭解釋，這極大地減少瞭查閱術語錶的頻率。更關鍵的是，它沒有過度依賴計算機生成的完美圖像，而是保留瞭一些手繪的質感，這讓人感覺更親近、更真實。對我來說，閱讀此書更像是一次與一位經驗豐富的幾何學大師的私下探討，他耐心地引導你，告訴你哪些地方需要警惕，哪些地方是美妙的發現。這種恰到好處的“人情味”，讓原本冰冷的數學概念，變得鮮活起來，讓人願意持續投入時間去探索。

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我曾試圖尋找一本能夠係統性梳理從歐幾裏得到現代拓撲學之間，關於多麵體理論發展脈絡的書籍，而《Convex Polyhedra》正好填補瞭我的空白。它不僅僅是在講解“是什麼”，更是在探究“為什麼是這樣”。書中對各種分類體係，比如卡塔蘭、歐拉、希爾伯特等不同數學傢對凸多麵體進行定義的側重點差異，都有著精到的評述，這讓讀者能夠理解不同數學流派看待同一個對象的視角差異。這種曆史的縱深感，讓這本書的厚度遠遠超過瞭其頁碼所顯示的重量。它不僅僅是工具書，更是一部濃縮的幾何學史詩。讀完之後，我感覺自己對“形式的必然性”有瞭更深刻的理解，那種從最簡單的三邊形到復雜多維空間的結構一緻性，這本書給齣瞭最令人信服的論證。對於想要進行更高級研究的人來說，這本書是不可或缺的基石。

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這本《Convex Polyhedra》實在是令人眼前一亮。我原以為這是一本枯燥的純數學理論書籍，但實際上，它的敘述方式非常直觀，對於幾何學初學者來說，簡直是打開瞭一扇新世界的大門。作者似乎非常懂得如何將那些抽象的概念具象化，書中的插圖和例證都選取得恰到好處，讓我這個對三維空間想象力不太自信的人，也能輕鬆跟上思路。尤其是在討論歐拉公式的應用和晶體結構模型構建時，那種循序漸進的推導過程，簡直是藝術品。它沒有一上來就拋齣復雜的定理和證明，而是通過一係列巧妙的幾何構造，引導讀者自己去發現規律。讀完第一部分，我對凸包的理解已經深入到骨髓，那種從基礎定義到高級性質的平滑過渡，體現瞭作者深厚的教學功底。我特彆喜歡它在介紹對偶多麵體時的那種優雅感，完全沒有那種硬湊理論的痕跡，一切都顯得水到渠成。對於任何希望在純粹的幾何美學和嚴謹的數學結構之間找到平衡點的人來說，這本書絕對是不可多得的瑰寶。

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