Combinatorial Commutative Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Ezra Miller

出品人:

页数:434

译者:

出版时间:2004-12-21

价格:USD 99.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387223568

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Commutative Algebra
• Combinatorics
• Algebraic Geometry
• Polynomial Rings
• Ideals
• Modules
• Syzygies
• Resolution
• Cohen-Macaulay Rings
• Gröbner Bases

代数拓扑基础 本书旨在为读者提供代数拓扑学领域的坚实基础。作为一门连接代数与几何的数学分支，代数拓扑学通过代数结构（如群、环和模）来研究拓扑空间的性质。本书内容丰富，结构清晰，力求深入浅出地介绍这一迷人领域的核心概念和基本工具。 第一部分：拓扑空间与连续映射 本书的开篇聚焦于拓扑学的基本概念。我们将从最直观的度量空间入手，逐步抽象到更一般的拓扑空间。 1. 度量空间与拓扑结构： 详细讨论度量空间的定义、开球、闭球的概念，以及由此诱导的拓扑结构。我们将探讨如何从一个度量构造一个拓扑，反之亦然。 2. 拓扑空间的定义与性质： 严格定义拓扑空间，包括开集、闭集、邻域、闭包、内部和边界。我们着重分析这些概念的拓扑不变量性，即它们在连续映射下的保持性。 3. 连续映射与同胚： 深入探讨连续映射的定义，并将其与极限、开集/闭集的对应关系联系起来。同胚作为保持拓扑结构的最强等价关系，是后续所有讨论的基础。我们将通过实例说明哪些映射是同胚，哪些不是。 4. 基础拓扑： 介绍一些重要的拓扑结构，如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准拓扑、子空间拓扑、积拓扑和商拓扑。对积拓扑和商拓扑的构建过程及其性质（如紧致性、连通性的传递）将给予详尽的论述。 5. 分离公理与完备性： 详细介绍 $T_1, T_2$ (Hausdorff), $T_3, T_4$ (正则与正规) 等分离公理。特别关注豪斯多夫空间的意义及其在函数空间中的应用。此外，还将介绍度量空间的完备性概念，并讨论 Baire 范畴定理在完备度量空间中的重要地位。 6. 紧致性与连通性： 这两个概念是描述拓扑空间“大小”和“连接性”的关键工具。我们将定义紧致性（通过开覆盖定义）及其与点集的性质（如闭子集、连续映射像）的等价关系。连通性则通过路径连通性进行阐释，并探讨它们在构造复杂空间时的作用。 第二部分：代数工具的引入——基本群 代数拓扑的核心思想是将拓扑问题转化为代数问题。基本群（或称第一同伦群）是解决“洞”问题的第一个也是最重要的代数不变量。 1. 同伦的概念： 严谨定义路径的同伦概念，以及同伦等价关系。同伦群的定义是建立在路径空间上的群结构之上的。 2. 基本群的构造： 定义拓扑空间 $X$ 中一点 $x_0$ 处的基点基本群 $pi_1(X, x_0)$。证明基本群的运算（路径乘法）是良定义的，并且形成了群结构。重点讨论如何验证结合律、单位元和逆元。 3. 路径依赖性与基点的选择： 探讨基本群是否依赖于所选的基点。在路径连通空间中，不同基点下的基本群是同构的。这一论证需要用到群论中的共轭映射。 4. 重要实例计算： 对一些经典的拓扑空间计算其基本群。包括 $mathbb{R}^n$ (平凡群), 圆周 $S^1$ (无限循环群 $mathbb{Z}$), 以及环面 $T^2$ (自由阿贝尔群 $mathbb{Z} imes mathbb{Z}$)。对 $S^1$ 上的布劳威尔不动点定理的代数证明将是关键的演示。 5. 覆盖空间理论： 基本群与覆盖空间之间存在深刻的对偶关系。我们将引入覆盖映射的定义、局部路径提升性质和提升定理。通过覆盖空间的概念，可以更清晰地理解基本群的结构和 $S^1$ 的性质。 第三部分：同调理论的基石 虽然基本群强大，但它在处理更高维度的“洞”时遇到了困难，并且它不是阿贝尔群（除非空间是 1 连通的）。同调理论提供了一套更具系统性和计算性的代数不变量——同调群。 1. 链复形与边界算子： 引入链复形的代数结构。定义链群 $C_n(X)$（通常基于单纯形或胞腔）以及边界算子 $partial_n: C_n o C_{n-1}$。证明 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$ 是同调理论的基石。 2. 循环群与边界群： 定义循环群 $Z_n(X) = ker(partial_n)$ 和边界群 $B_n(X) = ext{Im}(partial_{n+1})$。 3. 同调群的定义： 定义 $n$ 阶同调群 $H_n(X)$ 为 $Z_n(X) / B_n(X)$。解释同调群的元素代表了空间中“不可边界化”的 $n$ 维洞。 4. 欧拉示性数： 介绍欧拉示性数 $chi(X)$ 的定义，它可以通过链复形和边界算子导出，并与同调群联系起来：$chi(X) = sum (-1)^n ext{rank}(H_n(X))$。这展示了代数不变量间的联系。 5. 拓扑不变量性： 证明同调群是拓扑不变量的。这需要借助链映射和链同伦的概念，说明连续映射诱导出链映射，进而诱导出同调群之间的同态，并且同伦映射诱导相同的同调映射。 6. 迈耶-维托里斯序列： 介绍一个强大的计算工具——迈耶-维托里斯序列。该序列通过分解空间 $X = U cup V$ 来计算 $H_n(X)$，是计算复杂空间（如球面、嵌入式空间）同调群的利器。 第四部分：胞腔同调与应用 对于由胞腔（如球面、立方体等基本单元）构成的空间，胞腔同调提供了一种计算高效的方法。 1. 胞腔复形的定义： 介绍 $n$ 维胞腔复形的结构，包括其 $n$ 维胞腔的粘接映射。 2. 胞腔链复形： 基于胞腔的胞腔链复形的构造及其边界算子。讨论如何利用粘接图来计算边界算子，从而直接计算同调群。 3. 球面同调群的计算： 运用胞腔同调计算 $n$ 维球面 $S^n$ 的同调群。这将清晰地展示 $H_n(S^n) cong mathbb{Z}$ 且其他阶为零的结论。 4. 相对同调群： 引入相对同调群 $H_n(X, A)$ 的概念，其中 $A$ 是 $X$ 的一个子空间。这在处理切割问题和建立长正合序列时至关重要。 总结与展望 本书最后一部分将简要回顾所学内容，并引导读者展望更深入的研究方向，例如奇异同调理论、截面理论、以及同调论在微分几何（如德拉姆上同调）中的应用，为读者在代数拓扑的高级阶段学习做好准备。本书致力于培养读者从直观的几何概念过渡到严谨的代数结构的能力，是深入理解现代数学的优秀入门教材。

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