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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Thakur, Dinesh S.

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:2004

价格:$ 193.23

装帧:HRD

isbn号码:9789812388391

丛书系列:

图书标签:

数学
数论
代数几何
函数域
zeta函数
L-函数
类域论
代数数论
编码理论
椭圆曲线
算术几何

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具体描述

This book provides an exposition of function field arithmetic with emphasis on recent developments concerning Drinfeld modules, the arithmetic of special values of transcendental functions (such as zeta and gamma functions and their interpolations), diophantine approximation and related interesting open problems. While it covers many topics treated in 'Basic Structures of Function Field Arithmetic' by David Goss, it complements that book with the inclusion of recent developments as well as the treatment of new topics such as diophantine approximation, hypergeometric functions, modular forms, transcendence, automata and solitons. There is also new work on multizeta values and logalgebraicity. The author has included numerous worked-out examples. Many open problems, which can serve as good thesis problems, are discussed.

深入探索代数几何与数论的交汇：域的算术基础与高级主题本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨纯粹代数结构在数论和几何学中的深刻应用。我们将聚焦于抽象代数的核心概念，特别是在域论、环论和模论中发展出的强大工具，并展示它们如何成为理解更复杂数学对象的基石。第一部分：基础代数结构的重塑本书伊始，我们将对基础的环论进行一次彻底的回顾与深化。我们不会将重点停留在初级的理想运算上，而是深入探讨诺特环的结构定理，以及局部化过程在揭示环的内在性质中所扮演的关键角色。特别是，我们将详细剖析准成熟环 (Quasi-Mature Rings) 的定义及其在代数几何中作为局部构造的不可或缺性。读者将学习如何通过规范化的序列来分解复杂的环结构，理解Krull 维度如何量化一个环的“大小”或“复杂性”。随后，我们将转向模论。经典模块理论的介绍之后，我们立刻过渡到同调代数的先声。在这里，我们将严谨地定义投射解析 (Projective Resolutions) 和内射解析 (Injective Resolutions)，并利用它们来构建Ext 函子和Tor 函子。这些函子的计算将不仅仅是代数上的练习，而是作为衡量特定代数结构“偏离”完美性的度量。我们还将探讨导出范畴 (Derived Categories) 的基本概念，尽管不涉及其深奥的范畴论结构，但会强调其在统一处理解析序列时的优雅性。第二部分：域的结构与扩张的几何化虽然本书不直接涉及函数域的特定算术，但我们对域的扩张 (Field Extensions) 的处理是极其详尽的。我们将超越伽罗瓦理论的基础，深入研究无限伽罗瓦扩张的结构。这里，反向极限 (Inverse Limits) 和有向集合 (Directed Sets) 成为了描述无限扩张的自然工具。我们会用严格的语言描述绝对伽罗瓦群的拓扑结构，并探讨其连续表示。更重要的是，我们会在代数几何的视角下，重新审视域扩张。我们将引入代数簇 (Algebraic Varieties) 的概念，但不是通过坐标环，而是通过它们关联的函数域 (Function Fields) 的代数性质来理解。我们将论述Stone-Čech 紧化的概念如何对应于某个域的拓扑结构，以及如何通过域的超限次序 (Transfinite Orderings) 来组织无限多个域嵌入。在这一部分，我们对代数闭域的讨论将侧重于它们的内在完备性属性。我们将探究解析域 (Analytic Fields) 与纯代数域之间的联系，重点研究p-完备化过程在解析几何中的应用，而不是直接在数论背景下进行。第三部分：黎曼-洛赫定理的代数前奏为了展示抽象代数工具的威力，我们将构建一个高度代数化的框架，用以类比代数几何中的重要工具。我们将定义交换代数中的“曲线”——即具有特定维度和正则性的环。然后，我们将引入一种抽象的“亏格” (Abstract Genus) 概念，它完全基于环或模的上同调群的维度。具体的，我们将研究高斯-科达尔群 (Gauss-Codart Groups)，这些群描述了特定环的因子分解性质。我们将详细分析Cohen-Macaulay 模的性质，并展示如何使用Grothendieck 局部上同调的概念来提取关于一个环结构局部的全局信息。这些工具被用来研究理想的乘法结构，如何影响到环本身的整体算术性质。第四部分：超越局部化：全局方法的统一本书的最后一部分将目光投向更全局化的结构。我们不会讨论数论中的算术簇 (Arithmetic Schemes)，而是专注于拓扑代数。我们将研究李群 (Lie Groups) 的局部性质如何通过其李代数 (Lie Algebras) 来完全确定。我们将严格定义和分析霍普夫代数 (Hopf Algebras)，它们是描述某种对称性和组合结构的重要代数对象。我们将探讨张量范畴 (Tensor Categories) 的性质，特别是它们如何与量子群 (Quantum Groups) 的表示论相关联。这部分内容着重于代数结构自身的美感和内在对称性，完全独立于任何具体的数论或几何应用。通过对这些深层次的代数概念的系统性阐述，读者将掌握一套强大的工具箱，足以应对涉及复杂代数结构、范畴论基础以及抽象拓扑性质的任何研究领域。本书致力于培养读者从基础公理出发，推导出深刻结构定理的能力。