具體描述
The book is devoted to various constructions of sets which are nonmeasurable with respect to invariant (more generally, quasi-invariant) measures. Our starting point is the classical Vitali theorem stating the existence of subsets of the real line which are not measurable in the Lebesgue sense. This theorem stimulated the development of the following interesting topics in mathematics: paradoxical decompositions of sets in finite-dimensional Euclidean spaces; the theory of non-real-valued-measurable cardinals; and the theory of invariant (quasi-invariant) extensions of invariant (quasi-invariant) measures. These topics are under consideration in the book. The role of nonmeasurable sets (functions) in point set theory and real analysis is underlined and various classes of such sets (functions) are investigated. Among them there are: Vitali sets, Bernstein sets, Sierpinski sets, nontrivial solutions of the Cauchy functional equation, absolutely nonmeasurable sets in uncountable groups, absolutely nonmeasurable additive functions, thick uniform subsets of the plane, small nonmeasurable sets, absolutely negligible sets, etc. The importance of properties of nonmeasurable sets for various aspects of the measure extension problem is shown. It is also demonstrated that there are close relationships between the existence of nonmeasurable sets and some deep questions of axiomatic set theory, infinite combinatorics, set-theoretical topology, general theory of commutative groups. Many open attractive problems are formulated concerning nonmeasurable sets and functions. It highlights the importance of nonmeasurable sets (functions) for general measure extension problem. Deep connections of the topic with set theory, real analysis, infinite combinatorics, group theory and geometry of Euclidean spaces are shown and underlined. It is self-contained and accessible for a wide audience of potential readers. Each chapter ends with exercises which provide valuable additional information about nonmeasurable sets and functions. It offers numerous open problems and questions.
作者簡介
目錄資訊
讀後感
用戶評價
整體而言，這本書更像是數學領域中的一座“紀念碑”，它矗立在那裏，提醒著我們理論可以達到的嚴謹高度。它不會哄騙你，也不會嚮你妥協。對於那些已經對實分析和集閤論有一定瞭解的人來說，它提供瞭一個近乎完美的進階路徑，將理論的深度和廣度都推嚮瞭新的極限。我很少在書的封皮上看到“終極指南”這樣的措辭，但這本書無疑在“不可測集”這個特定領域內，樹立瞭一個難以超越的標杆。它要求你付齣時間、耐心和腦力，作為迴報，它贈予你的不僅僅是知識，更是一種深刻的洞察力——那種能夠穿透復雜錶象，直達數學本質的清晰視野。對我個人而言，這本書已經從一本閱讀材料，轉變成瞭一本需要時常翻閱、隨時備戰的參考工具，它會伴隨我相當長一段時間的數學學習旅程。它堅硬、有力，而且絕對值得。
评分這本書的封麵設計，說實話，有點讓人望而生畏。那種深藍色的底，配上白色和金色的文字，透著一股子嚴肅勁兒，仿佛在告訴你，這趟閱讀之旅注定充滿挑戰。我拿到書的時候，心裏其實是有點打鼓的，畢竟“不可測集與函數”這個標題本身就帶著一種學術的距離感。我不是數學專業的科班齣身，隻是對極限、無窮這些概念有點癡迷，所以想挑戰一下自己。翻開前幾頁，果然，沒有那些引人入勝的開場白，直接就進入瞭嚴謹的定義和公理體係的構建。作者的敘事方式極其內斂，就像一位老派的數學傢，一絲不苟地鋪陳著邏輯的基石。我花瞭整整一個下午，纔勉強理解瞭勒貝格測度那一節的精髓，那感覺就像是第一次嘗試攀登一座陡峭的山峰，每一步都必須小心翼翼，生怕腳下踩空。我得說，如果你期待的是那種能讓你輕鬆沉浸其中的故事性敘述，那這本書可能會讓你感到挫敗。它要求讀者具備極高的專注力和一定的數學基礎，更像是一本工具書，而不是一本消遣讀物。不過，正是這種毫不妥協的專業性，讓它在眾多同類著作中顯得尤為珍貴，它不媚俗，隻忠於數學的純粹性。
评分閱讀體驗簡直是一場智力上的“馬拉鬆”。我發現自己經常需要停下來，拿起一張草稿紙，反復推演書中的證明步驟。有些定理的證明過程，實在是太精妙，也太隱晦瞭，需要繞好幾個彎纔能領悟作者的布局。舉個例子，關於維塔利集的構造那部分，我至少看瞭三遍，纔真正體會到它在反駁某個直覺上的閤理性時，所展現齣的那種顛覆性的力量。這本書的行文節奏非常均勻，沒有忽快忽慢的感覺，始終保持著一種沉穩的步伐，這對於初學者來說或許是件好事，因為它強迫你按部就班；但對於急於抓住重點的人來說，可能會顯得有些拖遝。我尤其欣賞的是，它在引入新概念時，總是能找到最簡潔、最無可指摘的錶述方式，雖然這種簡潔往往意味著背後隱藏著大量的預備知識。它就像一座設計精良的迷宮，每條通道都通嚮一個更深層次的理解，但你必須按圖索驥，否則很容易迷失在符號和抽象的細節之中。這絕對不是那種可以帶著咖啡和輕鬆心情翻閱的書籍，它需要你全身心地投入，甚至需要你重新審視自己過去對“可測”這個概念的理解。
评分從裝幀和排版的角度來看，這本書無疑是為學術界服務的。字體選擇偏嚮於清晰、易於閱讀的襯綫體，圖錶的使用非常節製，大多時候都是純粹的文字論證。這使得書本的“重量感”十足，拿在手裏沉甸甸的，內容密度極高。我特彆注意到，作者在腳注和尾注的使用上非常剋製，這意味著大多數的背景知識和曆史沿革都需要讀者自行補充，它假設你已經知道很多基礎知識。這種“開門見山”的做法，雖然提高瞭信息傳遞的效率，但也無形中拉高瞭閱讀的門檻。我記得有一次在研究某些連續函數的反例時，書裏提到一個關於拓撲空間緊緻性的隱晦論斷，我不得不中斷閱讀，去查閱一本關於拓撲學的參考書纔能完全跟上作者的思路。這本書的價值並不在於普及，而在於深化。它不是在教你“這是什麼”，而是在讓你理解“為什麼是這樣”，並且讓你學會如何用最嚴謹的方式去證明它。對於那些希望跨越錶麵，直擊數學核心結構的人來說，這種紮實的深度是無價的。
评分這本書帶來的認知上的衝擊，主要體現在對“界限”的重新定義上。在日常生活中，我們習慣於用直覺來判斷一個集閤是否“有大小”，一個函數是否“可操作”。然而，一旦進入不可測集的領域，那種熟悉的直覺立刻瓦解瞭。作者通過一係列精心構造的例子，特彆是那些依賴於選擇公理纔能存在的集閤，徹底顛覆瞭我的常識。讀到選擇公理在構建這些“怪異”集閤中的核心作用時，我仿佛站在瞭數學哲學的十字路口，思考著我們對“存在性”的界定到底有多麼依賴於我們采納的公理係統。這種哲學層麵的思辨，隱藏在枯燥的數學符號之下，是這本書最迷人的地方。它不僅僅是關於測度論的技術手冊，它更是一部關於數學基礎論的嚴肅探討。每一次成功理解一個反直覺的結論，都會帶來一種智力上的巨大滿足感，仿佛推開瞭一扇通往更高維度邏輯空間的大門。
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