Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Debnath, Lokenath

出品人:

页数:760

译者:

出版时间:2004-12

价格:$ 101.64

装帧:HRD

isbn号码:9780817643232

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 非线性
• 科学计算
• 工程数学
• 数值分析
• 应用数学
• 数学物理
• PDE
• 数值方法
• 高等数学

《数值分析导论：方法、理论与实践》 内容提要： 本书旨在为科学与工程领域的初学者和从业者提供一套全面而实用的数值分析基础。它深入探讨了求解数学模型中遇到的复杂问题的核心数值方法，从误差分析的理论基石到高维问题的优化求解策略，覆盖了从一维到多维、从常微分到偏微分方程的广泛主题。本书强调理论推导与实际应用相结合，通过丰富的算例和程序实现，使读者能够掌握将抽象数学概念转化为可靠计算工具的能力。 第一部分：数值计算基础与误差理论 (Foundations of Numerical Computation and Error Theory) 本部分奠定了数值分析的理论框架。我们首先详细讨论了浮点数算术的性质，包括有效数字、舍入误差和截断误差的来源与量化。对这些基本误差的深入理解是进行可靠数值计算的前提。 插值与逼近 (Interpolation and Approximation): 探讨了如何利用有限数据点构建函数近似。内容包括拉格朗日插值、牛顿插值（及其分差计算）、分段插值（如样条插值）的构建原理和误差界限。重点分析了Runge现象，并阐述了如何在实践中选择最佳的插值策略。 数值微分 (Numerical Differentiation): 详细推导了有限差分公式（前向、后向、中心差分），并利用泰勒级数分析其精度。此外，还覆盖了高阶差分的构造方法以及对噪声数据的敏感性分析。 数值积分 (Numerical Integration/Quadrature): 集中讨论了牛顿-柯特斯公式（梯形法则、辛普森法则）的推导，以及如何通过提高节点和权重的精度来构造高斯求积公式。误差分析部分着重于余项的估计和自适应求积方法的设计。 第二部分：线性系统的求解 (Solving Linear Systems) 线性方程组是工程计算的基石。本部分系统地介绍了求解大规模线性系统的直接法和迭代法。 直接法 (Direct Methods): 详述了高斯消元法及其LU分解的计算复杂度和稳定性。针对大型稀疏矩阵，重点讲解了Cholesky分解（适用于对称正定系统）和矩阵分解在最小二乘问题中的应用。 迭代法 (Iterative Methods): 针对计算资源有限或矩阵非常稀疏的情况，本书介绍了经典的迭代方案：雅可比法、高斯-赛德尔法以及SOR（逐次超松弛）法。着重分析了这些方法的收敛条件、收敛速度的衡量，并引入了Krylov子空间方法（如CG、GMRES）作为现代求解器的基础。 特征值问题 (Eigenvalue Problems): 探讨了求解特征值和特征向量的数值方法，包括幂迭代法、反幂迭代法以及QR算法的原理和其实际应用，特别是在线性稳定性分析中的重要性。 第三部分：常微分方程的数值解法 (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, ODEs) 本部分专注于时间演化系统的数值处理，这是物理、化学和生物系统建模的核心。 单步法 (One-Step Methods): 详细分析了欧拉法（前向和隐式）的稳定性和收敛性。在此基础上，深入研究了龙格-库塔（Runge-Kutta）方法族，特别是经典的四阶RK4法及其在精度与计算成本之间的权衡。 多步法 (Multi-Step Methods): 介绍了阿达姆斯-巴什福特定法（Adams-Bashforth, Adams-Moulton）和隐式欧拉法。重点讨论了如何处理刚性（Stiff）微分方程，引入了隐式方法和稳定性区域的概念，以及BDF（后向差分公式）在处理高精度刚性问题中的优势。 稳定性和自适应步长控制 (Stability and Adaptive Step-Sizing): 探讨了数值解的稳定性（如A-稳定性）与物理系统的真实解的依赖关系。最后，介绍了如何根据局部截断误差自动调整时间步长，以在保证精度的同时优化计算效率。 第四部分：偏微分方程的有限差分方法 (Finite Difference Methods for PDEs) 本部分将数值分析扩展到空间和时间的偏微分方程求解，是计算物理和工程模拟的关键技术。 基本概念与离散化 (Fundamentals and Discretization): 介绍了如何使用泰勒展开将偏微分方程（如热传导方程、波动方程、泊松方程）转化为离散代数方程组。 抛物型方程（热传导）的求解: 详细分析了显式欧拉法、隐式欧拉法和Crank-Nicolson方法。重点比较了它们在时间维度上的稳定性和精度，特别指出Crank-Nicolson方法在稳态问题上的优越性。 椭圆型方程（稳态问题）的求解: 集中于泊松方程和拉普拉斯方程的求解。介绍了五点差分格式，并将其与第二部分介绍的迭代法（如Jacobi, Gauss-Seidel）相结合，形成求解稳态分布的完整算法框架。 双曲型方程（对流/波动）的稳定性: 分析了双曲型方程的时空离散化问题，讨论了沙普-霍夫格式（von Neumann stability analysis）在确定时间步长限制（CFL条件）中的作用，以及如何处理非线性对流项中的激波问题。 本书特点： 本书内容结构严谨，理论推导清晰，旨在培养读者的“计算直觉”。每章均配有详细的MATLAB/Python伪代码示例，旨在将读者引导至实际的软件实现。通过大量工程背景的案例研究，读者将学会如何选择合适的数值方法、评估其局限性，并设计出高效、鲁棒的计算流程来解决真实的科学和工程难题。本书适合作为高等院校理工科专业研究生和高年级本科生的教材，也是需要依赖数值模拟解决实际问题的工程师和研究人员的必备参考书。

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