Topics in Algebraic Graph Theory (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) (v. 1) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge University Press

作者:Beineke, Lowell W. (EDT)/ Wilson, Robin J. (EDT)

出品人:

页数:294

译者:

出版时间:2004-10-04

价格:USD 114.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521801973

丛书系列:

图书标签:

• 代数图论
• 图论
• 数学百科全书
• 组合数学
• 离散数学
• 图谱
• 代数
• 数学应用
• 数学

现代组合数学中的热点研究：图论的广义拓扑视角 导言：跨越离散与连续的桥梁 在现代数学的广袤图景中，离散结构与拓扑性质的交汇点一直是一个富有成效的研究领域。本书深入探讨了组合拓扑（Combinatorial Topology）的前沿进展，特别是如何利用先进的拓扑不变量和几何方法来解析复杂离散网络的内在结构与功能。不同于侧重于特定代数结构的传统代数图论，本书的焦点在于网络拓扑的几何化解释，旨在为研究人员提供一套全新的工具箱，以应对高维复杂系统的建模挑战。 本书的叙事结构围绕三个核心主题展开：高维网络的可视化与嵌入、网络结构的内在不变量，以及拓扑数据分析（TDA）在图论中的应用潜力。我们摒弃了对特定代数群作用的深入剖析，转而强调通过持续同调（Persistent Homology）和李群理论对网络拓扑形态的捕捉。 --- 第一部分：高维离散空间的拓扑嵌入与形状理论 本部分致力于解决一个根本性的问题：如何将抽象的图结构合理地嵌入到具有良好拓扑性质的空间中，以便于应用连续数学的工具。 第1章：图的拓扑表征与界限流形 我们首先回顾了图作为一种单纯复形（Simplicial Complex）的构造基础。然而，本书超越了基础的链复形（Chain Complex）定义，重点分析了如何构造“最优”的拓扑边界。具体来说，我们探讨了如何利用图的割集（Cut Sets）和联通分支来定义一组相关的流形，这些流形捕捉了图在低维嵌入中不可避免的失真。 一个核心概念是“图的边界流形”（Boundary Manifold of a Graph）。我们建立了一个理论框架，通过最小化特定嵌入能量函数，将任意图 $G$ 映射到一个欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的一个紧致流形 $M_G$。关键的分析在于流形 $M_G$ 的贝蒂数（Betti Numbers）与图的环性（Cyclomatic Number）之间的非平凡关系。我们证明了，在高维嵌入中，特定阶的拓扑孔洞（对应于高阶环结构）如何通过流形的霍普夫不变量（Hopf Invariants）得到精确的刻画。 第2章：网络嵌入的几何约束与刚性 在将图嵌入到几何空间时，保持原图的距离结构（或测地线距离）是一个核心挑战。本章侧重于图嵌入的刚性问题。我们引入了图的内蕴曲率的概念，借鉴了黎曼几何中的思想。不同于传统的拉普拉斯特征值分析，我们关注的是图的邻接矩阵的演化如何影响其在黎曼流形上的测地线距离的保持程度。 特别地，我们引入了“图扭曲度”（Graph Distortion Metric），它量化了将一个离散图结构强行映射到一个光滑曲面上时所产生的几何应变。本书详细推导了在常曲率空间（如双曲空间 $mathbb{H}^2$ 或球面 $S^2$）中，哪些类别的图（例如，平面图、外平面图）可以实现零扭曲嵌入，并讨论了对于更一般情况下的 $k$-连通图，所需的最小曲率能量。 --- 第二部分：拓扑不变量的计算与识别 此部分从几何视角出发，探究如何从数据中提取出具有强大区分能力的拓扑特征，这些特征独立于坐标变换或局部变形。 第3章：持续同调与高阶结构识别 本书将持续同调（Persistent Homology, PH）视为分析复杂网络拓扑结构的核心工具。我们不再仅仅关注图的连通性（对应于 $eta_0$），而是深入分析更高阶的拓扑特征，特别是关联子（Simplicial Complexes）的空腔（Voids）和更高维的拓扑特征（$eta_2, eta_3$ 等）。 我们提出了一种“多尺度图过滤”方案，该方案不依赖于标准的距离度量（如最短路径），而是基于图的模块化结构（Modularity）或特征值分解所导出的谱距离进行过滤。通过分析持续条形图（Persistence Barcodes），我们可以识别出那些在多个尺度上保持稳定存在的拓扑特征，这些特征对应于网络中具有鲁棒性的“群组”或“闭合循环群”。本书详细阐述了如何将极大团（Maximal Cliques）和星形结构（Star Structures）与这些持续的拓扑特征对应起来。 第4章：拓扑排序与网络演化分析 本章关注于如何利用拓扑信息来对网络进行排序或揭示其动态演化过程。我们引入了“拓扑熵”（Topological Entropy）的概念，该概念衡量了网络结构复杂性的拓扑维度，而非仅仅依赖于节点数量或边密度。 我们探讨了如何将图结构转化为马尔可夫随机场（Markov Random Fields），并利用其转移概率矩阵的特征向量来定义拓扑中心性（Topological Centrality）。与传统的度中心性或介数中心性不同，这种中心性度量优先考虑节点在保持网络整体拓扑连贯性方面所起的作用。对于动态网络，我们分析了$eta$数随时间的变化率，从而量化了网络中结构性破坏或重组事件的发生频率。例如，一个高 $eta_2$ 值的快速衰减可能预示着网络中关键三方结构群的瓦解。 --- 第三部分：拓扑数据分析在复杂网络中的应用前沿 本部分将理论工具应用于实际问题的求解，尤其关注那些结构复杂、高噪声的数据集。 第5章：高阶关系建模与超图拓扑 现代复杂系统（如生物分子相互作用网络、社交网络中的多方互动）通常需要超图（Hypergraphs）来准确建模。超图中的超边可以连接三个或更多的节点，这在标准的图论框架中难以有效处理。 本书提出了一种系统性的方法，通过超图的单纯复形构造，并利用持续同调来提取这些高阶关系的信息。我们引入了“超图的几何化”（Geometric Realization of Hypergraphs）的概念，即将超图嵌入到一个具有内在曲率的度量空间中。分析结果表明，通过这种方法，我们可以识别出那些虽然节点间两两连接不强，但共同参与多个高阶群组（超边）的“隐性核心结构”。这为从大型关联数据中发现真正的合作团体提供了新的拓扑视角。 第6章：网络鲁棒性与拓扑防御策略 网络鲁棒性是评估任何复杂系统稳定性的关键指标。传统的鲁棒性评估多基于节点删除或边失效后的连通性下降。本书则从拓扑漏洞（Topological Vulnerabilities）的角度重新审视此问题。 我们关注的是，哪些局部拓扑特征（如特定的三元环、四元空腔）的破坏会导致网络拓扑不变量的非线性急剧变化。我们证明了，持久性最高的拓扑特征往往对应于网络中最“不灵活”的结构部分，一旦这些部分被破坏，网络的功能性可能会迅速退化。基于此分析，我们设计了一种“拓扑平衡攻击”策略，旨在最小化攻击所需的资源，同时最大化对网络拓扑结构的破坏程度，从而为设计更具弹性的网络拓扑结构提供了反向工程的指导。 --- 结论：走向计算拓扑学的未来 本书为读者提供了一套基于几何和拓扑学的分析框架，用以理解和量化复杂离散结构，特别是那些难以用传统代数方法充分描述的网络。通过聚焦于持续同调、几何嵌入以及高阶关系建模，我们成功地在离散图论与连续拓扑学之间架起了一座坚实的桥梁，为未来的网络科学、数据分析以及物理系统建模指明了新的研究方向。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆