前言
關於數學的結構
主題概要
0.1綫性代數
0.2實分析
0.3嚮量值函數的微積分
0.4點集拓撲
0.5經典Stokes定理
0.6微分形式和Stokes定理
0.7麯綫和麯麵的麯率
0.8幾何學
0.9復分析
0.10可數性和選擇公理
0.11代數
0.12勒貝格積分
0.13傅裏葉分析
0.14微分方程
0.15組閤學和概率論
0.16算法
第1章綫性代數
1.1介紹
1.2基本嚮量空間Rn
1.3嚮量空間和綫性變換
1.4基、維數和錶示為矩陣的綫性變換
1.5行列式
1.6綫性代數基本定理
1.7相似矩陣
1.8特徵值和特徵嚮量
1.9對偶嚮量空間
1.10推薦閱讀
1.11練習
第2章ε和δ實分析
2.1極限
2.2連續性
2.3微分
2.4積分
2.5微積分基本定理
2.6函數的點態收斂
2.7一緻收斂
2.8WeierstrassM判彆法
2.9Weierstrass的例子
2.10推薦閱讀
2.11練習
第3章嚮量值函數的微積分
3.1嚮量值函數
3.2嚮量值函數的極限和連續性
3.3微分和Jacobi矩陣
3.4反函數定理
3.5隱函數定理
3.6推薦閱讀
3.7練習
第4章點集拓撲
4.1基礎定義
4.2Rn上的標準拓撲
4.3度量空間
4.4拓撲基
4.5交換環的Zariski拓撲
4.6推薦閱讀
4.7練習
第5章經典Stokes定理
5.1關於嚮量微積分的準備工作
5.1.1嚮量場
5.1.2流形和邊界
5.1.3路徑積分
5.1.4麯麵積分
5.1.5梯度
5.1.6散度
5.1.7鏇度
5.1.8可定嚮性
5.2散度定理和Stokes定理
5.3散度定理的物理解釋
5.4Stokes定理的物理解釋
5.5散度定理的證明梗概
5.6Stokes定理的證明梗概
5.7推薦閱讀
5.8練習
第6章微分形式和Stokes定理
6.1平行六麵體的體積
6.2微分形式和外導數
6.2.1初等k—形式
6.2.2k—形式的嚮量空間
6.2.3處理k—形式的準則
6.2.4微分k—形式和外導數
6.3微分形式和嚮量場
6.4流形
6.5切空間和定嚮
6.5.1隱式和參數化流形的切空間
6.5.2抽象流形的切空間
6.5.3嚮量空間的定嚮
6.5.4流形和它的邊界的定嚮
6.6流形上的積分
6.7Stokes定理
6.8推薦閱讀
6.9練習
第7章麯綫和麯麵的麯率
7.1平麵麯綫
7.2空間麯綫
7.3麯麵
7.4GaussBonet定理
7.5推薦閱讀
7.6練習
第8章幾何學
8.1歐式幾何
8.2雙麯幾何
8.3橢圓幾何
8.4麯率
8.5推薦閱讀
8.6練習
第9章復分析
9.1解析函數
9.2柯西—黎曼方程
9.3復變函數的積分錶示
9.4解析函數的冪級數錶示
9.5保角映射
9.6黎曼映射定理
9.7多復變數：哈托格斯定理
9.8推薦閱讀
9.9練習
第10章可數性和選擇公理
10.1可數性
10.2樸素集閤論與悖論
10.3選擇公理
10.4不可測集
10.5哥德爾和獨立性證明
10.6推薦閱讀
10.7練習
第11章代數
11.1群
11.2錶示論
11.3環
11.4域和迦羅瓦理論
11.5推薦閱讀
11.6練習
第12章勒貝格積分
12.1勒貝格測度
12.2康托集
12.3勒貝格積分
12.4收斂理論
12.5推薦閱讀
12.6練習
第13章傅裏葉分析
13.1波函數，周期函數和三角學
13.2傅裏葉級數
13.3收斂問題
13.4傅裏葉積分和變換
13.5求解微分方程
13.6推薦閱讀
13.7練習
第14章微分方程
14.1基本知識
14.2常微分方程
14.3拉普拉斯算子
14.3.1平均值原理
14.3.2變量分離
14.3.3在復分析上的應用
14.4熱傳導方程
14.5波動方程
14.5.1來源
14.5.2變量代換
14.6求解失敗：可積性條件
14.7Lewy的例子
14.8推薦閱讀
14.9練習
第15章組閤學和概率論
15.1計數
15.2概率論基礎
15.3獨立性
15.4期望和方差
15.5中心極限定理
15.6n！的Stirling近似
15.7推薦閱讀
15.8練習
第16章算法
16.1算法和復雜度
16.2圖：歐拉和哈密頓迴路
16.3排序和樹
16.4P=NP？
16.5數值分析：牛頓法
16.6推薦閱讀
16.7練習
附錄等價關係
參考文獻
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