拓扑学与几何学基础讲义/数学统计学系列 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:哈尔滨工业大学出版社

作者:I. M. 辛格

出品人:

页数:0

译者:干丹岩

出版时间:

价格:68.00元

装帧:

isbn号码:9787560363035

丛书系列:HIT数学·统计学系列

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拓扑学与几何学基础讲义 目录 第一部分：拓扑学基础 第一章：集合与关系 1.1 集合的基本概念 1.1.1 集合的定义与表示法 1.1.2 子集、真子集与幂集 1.1.3 集合的运算（并、交、差、补） 1.2 关系 1.2.1 笛卡尔积 1.2.2 二元关系及其性质（自反性、对称性、反对称性、传递性） 1.2.3 等价关系与划分 1.2.4 序关系与偏序集 1.3 函数 1.3.1 函数的定义与表示法 1.3.2 单射、满射与双射 1.3.3 反函数与复合函数 1.3.4 模m的同余关系 第二章：拓扑空间 2.1 拓扑的定义与构造 2.1.1 拓扑的公理 2.1.2 几种重要的拓扑（离散拓扑、平凡拓扑、有限补拓扑、可数补拓扑） 2.1.3 子空间的拓扑 2.1.4 积空间的拓扑 2.2 开集、闭集、邻域与边界 2.2.1 开集与闭集的定义和性质 2.2.2 邻域、局部性质 2.2.3 边界、内点与外点 2.3 连续性 2.3.1 连续函数的定义 2.3.2 连续性的等价刻画 2.3.3 复合函数的连续性 2.3.4 拓扑同胚 第三章：连通性与紧致性 3.1 连通空间 3.1.1 连通空间的定义 3.1.2 连通性的性质 3.1.3 道路连通性 3.2 紧致空间 3.2.1 紧致空间的定义（开覆盖定义） 3.2.2 紧致空间的性质（子集、闭集、连续像） 3.2.3 紧致集上的连续函数 3.2.4 道路紧致性（可选） 第四章：度量空间 4.1 度量与度量空间的定义 4.1.1 度量的性质 4.1.2 几种常见的度量（欧氏度量、曼哈顿度量） 4.2 度量空间中的点集 4.2.1 球、开集、闭集 4.2.2 序列与收敛 4.2.3 完备性 4.3 度量空间中的连续性 4.3.1 度量空间的连续性定义 4.3.2 连续性的等价刻画 第二部分：几何学基础 第五章：欧几里得几何 5.1 点、线、面 5.1.1 公理与定义 5.1.2 空间中的直线、平面与直线与平面的位置关系 5.2 角与三角形 5.2.1 角的度量与分类 5.2.2 三角形的性质与判定 5.3 多边形与圆 5.3.1 多边形的性质 5.3.2 圆的性质与方程 5.4 空间几何体 5.4.1 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥 5.4.2 球的性质 第六章：仿射几何与射影几何初步 6.1 仿射空间 6.1.1 仿射空间的定义 6.1.2 直线、平面在仿射空间中的表示 6.1.3 仿射变换 6.2 射影几何 6.2.1 齐次坐标 6.2.2 射影平面 6.2.3 射影变换 第七章：微分几何基础 7.1 曲线论 7.1.1 参数化曲线 7.1.2 曲线的切线、法线与曲率 7.1.3 弗雷内标架 7.2 曲面论 7.2.1 参数化曲面 7.2.2 曲面的切平面、法线 7.2.3 曲面的第一基本形式与第二基本形式 7.2.4 曲率（高斯曲率、平均曲率） 7.2.5 高斯曲率与测地线 第八章：非欧几何初步 8.1 双曲几何 8.1.1 庞加莱圆盘模型 8.1.2 双曲直线与角度 8.2 椭圆几何 8.2.1 球面几何 8.2.2 椭圆几何直线与角度 数学统计学系列 第九章：概率论基础 9.1 随机事件与概率 9.1.1 样本空间与事件 9.1.2 事件的运算 9.1.3 概率的定义与性质 9.1.4 条件概率与独立性 9.2 随机变量 9.2.1 离散型随机变量与概率分布列 9.2.2 连续型随机变量与概率密度函数 9.2.3 期望与方差 9.3 联合分布与边缘分布 9.3.1 联合概率分布列与联合概率密度函数 9.3.2 边缘概率分布列与边缘概率密度函数 9.3.3 协方差与相关系数 第十章：统计推断基础 10.1 统计量与抽样分布 10.1.1 样本与统计量 10.1.2 抽样分布（正态分布、t分布、卡方分布、F分布） 10.2 参数估计 10.2.1 点估计（矩估计、最大似然估计） 10.2.2 区间估计（置信区间） 10.3 假设检验 10.3.1 假设检验的基本思想 10.3.2 常见假设检验方法（Z检验、t检验、卡方检验） 第十一章：回归分析与方差分析 11.1 简单线性回归 11.1.1 回归模型 11.1.2 回归系数的估计与检验 11.1.3 回归方程的拟合优度 11.2 多元线性回归 11.2.1 多元回归模型 11.2.2 回归系数的估计与检验 11.3 方差分析 11.3.1 单因素方差分析 11.3.2 多因素方差分析 第十二章：时间序列分析与非参数统计初步 12.1 时间序列分析 12.1.1 时间序列的组成 12.1.2 平稳时间序列 12.1.3 ARIMA模型简介 12.2 非参数统计 12.2.1 符号检验 12.2.2 Wilcoxon秩和检验 12.2.3 Kruskal-Wallis检验 --- 《拓扑学与几何学基础讲义》 是一本旨在为读者构建扎实数学基础的教材。本书系统地介绍了现代数学中两个核心分支——拓扑学和几何学——的基本概念、理论和方法。 在拓扑学部分， 本书从最基础的集合论和关系入手，逐步引入拓扑空间的定义，详细阐述了开集、闭集、邻域、连续性等核心概念。通过对不同类型拓扑的剖析，帮助读者理解拓扑空间的结构性质。随后，深入探讨了连通性和紧致性这两个重要的拓扑性质，它们在分析学和几何学中扮演着至关重要的角色。最后，本书还专门辟出章节介绍度量空间，强调了度量空间作为一种特殊的拓扑空间，在分析学中的重要应用，如收敛性、完备性等。 在几何学部分， 本书首先回顾了经典的欧几里得几何，包括点、线、面、角、三角形、多边形、圆以及空间几何体的基本性质，为后续更抽象的几何内容打下基础。在此基础上，本书逐步引向更现代的几何学分支，如仿射几何和射影几何，介绍了仿射变换和射影变换的概念，以及在齐次坐标下几何对象的表示。随后，本书深入探索了微分几何的初步概念，包括曲线的曲率、法线，以及曲面的第一、第二基本形式和曲率，为理解几何对象的局部和整体性质提供了工具。最后，本书还简要介绍了非欧几何，如双曲几何和椭圆几何，展示了不同几何公理体系下产生的独特几何结构。 《数学统计学系列》 则是一本全面覆盖现代统计学基础知识的教材。本书从概率论的基础概念，如随机事件、概率、条件概率和独立性开始，引出随机变量的概率分布、期望与方差，以及联合分布和边缘分布。这些概率论的基本工具是理解统计推断的基础。 接着，本书重点介绍了统计推断的核心内容，包括统计量的概念、常见的抽样分布，以及参数估计（点估计和区间估计）和假设检验的基本理论与方法。通过对点估计的矩估计和最大似然估计的介绍，以及对常见假设检验方法的详细讲解，读者将掌握从样本数据推断总体参数的关键技术。 此外，本书还涵盖了重要的统计分析工具，如回归分析和方差分析。详细讲解了简单线性回归和多元线性回归模型，以及如何进行回归系数的估计和检验，并介绍了回归方程的拟合优度评估。同时，方差分析被用于比较多个组的均值，本书将介绍单因素和多因素方差分析。 最后，本书还将触及时间序列分析和非参数统计的初步内容。在时间序列分析部分，介绍了时间序列的组成、平稳性概念以及ARIMA模型简介，为分析随时间变化的数据提供基础。在非参数统计部分，介绍了符号检验、Wilcoxon秩和检验等无分布假设的统计方法，扩展了统计分析的工具箱。 本书的特点： 体系完整： 融合了拓扑学、几何学和数学统计学的核心内容，构建了完整的数学知识体系。 循序渐进： 从基础概念到复杂理论，层层递进，便于读者理解和掌握。 理论与应用并重： 在讲解理论的同时，也穿插了必要的示例和应用场景，展示数学的实用性。 严谨而清晰： 逻辑严谨，表述清晰，是数学专业学生和研究人员的理想参考书。 无论您是想深入理解数学的抽象结构，还是希望掌握分析和解释数据的统计工具，本书都将是您宝贵的学习资源。

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阅读这本书，我深深地被作者在拓扑学和几何学领域展现出的深厚学养所折服。开篇从最基础的集合论概念入手，逐步引入拓扑空间的定义，让我对“空间”的理解从直观的具象走向了抽象的逻辑。作者对拓扑不变量的介绍，如连通性、紧致性等，以及它们在分类和识别空间时的作用，都给我留下了深刻的印象。在几何学方面，作者对欧几里得几何的经典回顾，以及对非欧几何的引入，展现了几何学发展的脉络和思想的演变。尤其让我着迷的是书中对微分几何的初步探讨，它将代数方法与几何直觉巧妙地结合起来。而对于数学统计学的讲解，作者的逻辑清晰，条理分明。从概率的基本概念到复杂的统计推断，每一个环节都经过了细致的阐释。我对书中关于最大似然估计和贝叶斯推断的比较，以及对不同统计检验方法的详细介绍，都觉得非常有价值。

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翻阅这本书，我仿佛置身于一个逻辑严谨的数学王国。在拓扑学和几何学的部分，作者的讲解如同为我绘制了一幅幅关于空间结构的精美画卷。从最基础的集合与映射，到复杂的同胚与同伦，作者一步步引导我理解抽象概念的内在联系。我特别欣赏书中对流形概念的引入，它将我们对高维空间的理解从平面和曲面拓展到了更广阔的领域。作者通过对不同流形性质的探讨，让我看到了几何学在现代物理学和数学中的重要应用。而在数学统计学的部分，作者同样展现了其严谨的治学态度。对概率密度函数和累积分布函数的讲解，让我能够清晰地理解随机变量的行为。我尤其对书中关于参数估计的几种方法的比较，以及对假设检验中第一类错误和第二类错误的讨论，都觉得非常受益。这本书不仅仅是一本教科书，更是一位循循善诱的老师，引导我不断探索数学的奥秘。

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在仔细研读这本书的过程中，我愈发觉得其在拓扑学和几何学理论的讲解上，充分体现了数学的严谨与逻辑性。作者在介绍拓扑空间的基本概念时，如邻域、开集、闭集、紧集等，都给出了清晰、精确的定义，并且通过大量的图示和例子，帮助读者理解这些抽象概念的几何意义。我特别欣赏书中关于同伦等价的讨论，它将我们对空间形变的理解提升到了一个全新的高度，让我明白了即使两个空间在视觉上大不相同，也可能在拓扑上是等价的。在几何学方面，作者对度量空间的深入剖析，以及对黎曼几何等进阶概念的初步介绍，都为我打开了通往更广阔数学领域的大门。而关于数学统计学的内容，其对概率分布、统计推断、回归分析等方面的讲解，同样严谨且具有启发性。作者将复杂的统计模型与实际应用场景相结合，使我更能体会到统计学在数据分析中的重要作用。

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这本书对于想要深入理解拓扑学和几何学概念的读者来说，是一部不可多得的佳作。作者在讲解拓扑学时，特别注重概念之间的逻辑联系和几何直觉的培养。从度量空间到一般拓扑空间，作者层层深入，让我逐渐领略到拓扑学研究的深度和广度。我特别喜欢书中关于紧致性和连通性的讨论，它们是刻画空间性质的重要工具，作者通过大量的例子，让我深刻理解了它们的含义和应用。在几何学方面，作者对欧几里得几何的严谨阐述，以及对非欧几何的介绍，让我认识到几何学的多样性和发展。我尤其对书中关于微分几何的初步介绍感到兴奋，它将代数与几何巧妙地结合，开启了探索更复杂空间结构的大门。而对于数学统计学部分，作者的讲解同样严谨而清晰。对概率论的基本概念，如条件概率、独立性，以及各种概率分布的介绍，都非常到位。我尤其欣赏书中关于统计推断的章节，让我能够理解如何从样本数据推断总体的性质。

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这本书的数学统计学部分，简直是统计学入门和进阶的宝藏。作者对概率论的讲解，从事件的独立性到条件概率，再到各种重要的概率分布，都做到了深入浅出的阐述。我尤其喜欢书中对大数定律和中心极限定理的介绍，它们是连接概率论和数理统计的桥梁，作者通过直观的例子，让我理解了这些重要定理的意义。在统计推断方面，无论是参数估计还是假设检验，作者都提供了详细的推导过程和实际应用案例。我对书中关于置信区间的构造以及不同类型检验的适用条件，都进行了反复的揣摩和学习。此外，书中对回归分析的讲解，无论是线性回归还是多元回归，都非常系统。作者不仅介绍了模型的建立和参数的估计，还详细讲解了模型诊断和预测。这本书让我对如何从数据中提取有价值的信息，以及如何做出科学的决策，有了更深刻的认识。

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这本书的数学统计学部分，是我近期阅读过的最令人印象深刻的统计学教材之一。作者在讲解概率论时，不仅给出了严谨的数学定义，还善于通过生动的例子来阐释抽象的概念。我特别喜欢书中对随机过程的初步介绍，它让我开始了解如何用数学模型来描述随时间变化的现象。在统计推断方面，作者的讲解非常系统，从参数估计的各种方法，如矩估计、最大似然估计，到假设检验的基本原理，都做了详尽的阐述。我尤其对书中关于贝叶斯统计的介绍感到好奇，它提供了一种与频率统计不同的思考方式，让我对统计推断有了更全面的认识。此外，书中对回归分析的深入讲解，包括模型选择、诊断和预测，都为我提供了宝贵的实操经验。这本书不仅传授了统计学的理论知识，更重要的是培养了我用统计学思维去分析和解决问题的能力。

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初次翻开这本书，就被其扎实的数学基础内容所吸引。虽然我对拓扑学和几何学的了解尚浅，但作者层层递进的讲解方式，从最基本的集合论概念出发，逐步引入同胚、同伦、连通性等关键术语，让我对这些抽象概念有了初步的认识。尤其是关于空间结构的讨论，从欧几里得空间到流形，作者通过大量的例子和类比，将复杂的几何直觉清晰地传递出来。我尤其喜欢关于度量空间的部分，作者不仅给出了严格的定义，还通过对实数集、函数空间等实例的分析，让我切实感受到了度量在刻画空间距离和结构中的重要作用。书中对嵌入定理、不动点定理等经典结果的介绍，也让我看到了拓扑学在解决实际问题中的强大力量。虽然有些证明过程对我来说尚显晦涩，但我相信随着阅读的深入和对相关概念的进一步掌握，我能够更好地理解其中的精妙之处。这本书无疑为我打开了通往抽象数学世界的一扇大门，让我对数学的严谨性和美感有了更深的体会。

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这本书的数学统计学部分，简直是统计学爱好者的福音。作者在数据分析和概率论方面的讲解，逻辑清晰，条理分明。我特别欣赏书中对统计推断原理的阐述，无论是点估计还是区间估计，作者都通过大量的例子，将抽象的理论转化为易于理解的操作。从参数估计到假设检验，每一个步骤都被细致地剖析，让我能够理解统计方法背后的逻辑和思想。尤其让我印象深刻的是关于最大似然估计的章节，作者不仅给出了清晰的定义和计算方法，还探讨了其在实际应用中的优势和局限性。此外，书中对回归分析的介绍，也让我对如何建立数学模型来描述变量之间的关系有了更深入的认识。作者对各种统计检验方法的讲解，如t检验、卡方检验、ANOVA等，都非常到位，并且结合了实际数据，让理论学习与实践操作紧密结合。这本书不仅让我掌握了统计学的基本工具，更重要的是培养了我运用统计学思维去分析和解决问题的能力。

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这本书对于我这样初次接触拓扑学和几何学领域的读者来说，无疑是一本极具指导意义的读物。作者在讲解拓扑学基础时，循序渐进，从集合论的基石出发，逐步构建起拓扑空间的框架。我尤其对书中关于“空间”的定义和分类感到着迷，从离散拓扑到可数拓扑，再到更复杂的拓扑空间，作者通过精妙的例子，让我领略到了数学世界的丰富多样。尤其让我印象深刻的是关于连续性和同胚的探讨，作者巧妙地运用了“变形”和“不破坏”这样的形象化语言，帮助我理解了这些抽象概念的本质。在几何学部分，作者对欧几里得几何的严谨阐述，以及对非欧几何的初步介绍，更是拓展了我的视野，让我认识到几何学不仅仅是关于形状和大小，更是一种描述空间结构的语言。而对于统计学部分，作者同样展现了其深厚的功底，对概率论和数理统计的讲解，既严谨又不失趣味性，让我对数据背后的规律有了更深的理解。

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深入阅读这本书，我发现它在引导读者理解抽象概念方面做得非常出色。对于拓扑学的核心概念，如连续映射、开集、闭集等，作者并没有停留在定义层面，而是通过引入各种具体的例子，例如单位圆盘、球体、环面等，来帮助读者建立直观的认识。我特别喜欢书中关于同胚的讨论，通过对几何形变的生动描述，例如橡皮膜原理，让我明白了拓扑学研究的是空间在连续形变下不变的性质。作者还花了大量篇幅讲解了不同拓扑空间的性质，例如度量空间、完备空间、紧致空间等，并对它们之间的关系进行了深入的探讨。对于数学统计学部分，作者也同样注重概念的直观理解，例如在讲解概率密度函数时，作者不仅给出了严格的定义，还将其与直方图联系起来，帮助读者理解概率分布的形状。这本书的价值在于，它不仅教授了数学知识，更重要的是培养了读者的数学思维和解决问题的能力。

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