The Mathematica Guidebook for Numerics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Trott, Michael

出品人:

页数:1244

译者:

出版时间:2005-9

价格:$ 134.47

装帧:HRD

isbn号码:9780387950112

丛书系列:The Mathematica GuideBook

图书标签:

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《数学物理方程的数值求解》 简介 本书深入探讨了现代科学与工程领域中核心数学问题的数值解法。从经典方程到复杂系统，本书旨在为读者提供一套系统、全面的数值分析工具，以便能够准确有效地解决现实世界中的各种挑战。 核心内容概述 本书将重点关注以下几个关键领域： 1. 常微分方程（ODEs）的数值解法： 基本概念与方法： 详细介绍欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法（包括二阶、四阶等）的原理、推导与应用。我们将分析这些方法的截断误差和收敛性，并讨论如何选择适合特定问题的算法。 刚性问题处理： 针对具有不同时间尺度的刚性 ODE 系统，介绍隐式方法（如向后欧拉法、Crank-Nicolson 方法）以及更高级的隐式 Runge-Kutta 方法，并探讨其在稳定性方面的优势。 边值问题（BVP）： 讲解如何利用打靶法、有限差分法等方法求解 ODE 边值问题，并讨论初值问题与边值问题的区别及解法的适应性。 高阶 ODEs： 说明如何将高阶 ODEs 转化为一组低阶 ODEs，以便应用标准的数值解法。 2. 偏微分方程（PDEs）的数值解法： 有限差分法（FDM）： 离散化技术： 深入讲解如何将 PDE 转化为代数方程组，包括使用中心差分、前向差分、后向差分等近似导数。 热传导方程： 详细分析显式和隐式有限差分格式（如前向-后向差分、Crank-Nicolson 格式）在求解热传导方程中的应用，讨论稳定性条件（如 CFL 条件）和收敛性。 波动方程： 介绍用于求解波动方程的显式和隐式有限差分方法，例如三层显式格式，并分析其稳定性和精度。 泊松方程/拉普拉斯方程： 讲解如何使用有限差分法求解静电势、稳态热传导等问题中的泊松方程和拉普拉斯方程，包括高斯-赛德尔迭代、Jacobi 迭代等求解大型稀疏线性方程组的方法。 有限元法（FEM）： 基本原理： 介绍变分原理、弱形式、基函数（形函数）、单元划分（网格生成）等 FEM 的核心概念。 单元方程组的构建： 详细阐述如何通过积分和组装单元方程来构建全局线性方程组。 应用举例： 通过具体例子（如弹性力学中的应力分析、流体力学中的流动模拟）展示 FEM 在处理复杂几何形状和边界条件方面的优势。 有限体积法（FVM）： 守恒律的离散化： 强调 FVM 在处理守恒律方程（如Navier-Stokes方程）时的优势，通过对控制体进行积分来推导离散方程。 通量近似： 介绍不同通量近似方案（如通量差分分裂法、黎曼求解器）在 FVM 中的应用。 3. 积分方程的数值解法： 第一类和第二类积分方程： 区分不同类型的积分方程，并介绍相应的数值求解策略。 数值积分方法： 讲解如何利用梯形法则、辛普森法则等数值积分技术来近似积分项。 离散化方法： 介绍将积分方程转化为代数方程组的方法，例如伽辽金法、Nyström 法。 4. 线性代数方程组的数值求解： 直接法： 详细介绍高斯消元法、LU 分解、Cholesky 分解等求解精确解的方法，并分析其计算复杂度和数值稳定性。 迭代法： 深入讲解 Jacobi 法、Gauss-Seidel 法、逐次超松弛（SOR）法、共轭梯度法（CG）等迭代求解方法，分析其收敛条件和效率，并讨论预条件子在加速收敛中的作用。 稀疏矩阵处理： 讨论在求解大规模 PDE 问题时遇到的稀疏矩阵特性，以及专门针对稀疏矩阵的存储格式和求解算法。 5. 特征值问题的数值解法： 幂法与反幂法： 介绍用于求解最大或最小特征值的简单迭代方法。 QR 算法： 详细讲解 QR 算法及其变种（如Householder变换、Givens旋转）在求解一般特征值问题中的应用。 Lanczos 算法与 Arnoldi 算法： 介绍用于求解大型稀疏对称和非对称矩阵特征值问题的迭代算法。 本书特色 理论与实践结合： 在介绍数值方法基本原理的同时，本书强调实际应用，通过大量算例和伪代码来演示算法的实现细节。 数学严谨性： 对数值方法的截断误差、收敛性、稳定性和精度进行深入的理论分析，帮助读者理解方法的局限性。 面向读者： 适合数学、物理、工程、计算机科学等领域的研究生、高年级本科生以及从事相关工作的专业人士。 覆盖广泛： 涵盖了从一维到多维，从常微分方程到偏微分方程，从积分方程到代数方程组等广泛的数值计算主题。 目标读者 本书的目标读者包括但不限于： 希望系统学习数学物理方程数值解法的研究生和高年级本科生。 在科学研究和工程实践中需要运用数值方法解决问题的研究人员和工程师。 对数值分析和科学计算感兴趣的程序员。 通过本书的学习，读者将能够深入理解各种数值方法的原理，掌握如何选择合适的算法来解决特定问题，并具备独立实现和应用这些算法的能力，从而在各自的研究和工程领域取得突破。

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这本书的排版和细节处理，也体现了出版方对专业读者的尊重。字体选择的对比度适宜，公式的编号和引用系统做得非常规范，这在需要频繁对照不同章节或公式推导时，极大地减少了阅读疲劳和查找的时间成本。更值得称赞的是，它在提及一些高级或前沿的数值技术时，总能提供精准且可靠的参考文献指引。这对于希望从这本书过渡到更专业研究领域的读者来说，无疑是打开了一扇重要的窗口。它没有试图将所有内容都塞进这一本书里，而是聪明地充当了一个高质量的“导航站”，指引着有深入探索意愿的读者前往更专业的知识源头。这种严谨的学术规范，加上清晰的结构，使得这本书不仅适合初次接触数值分析的学生，更适合需要快速回顾或交叉验证特定计算理论的专业人士。

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总的来说，这本书在构建读者对“计算可行性”的理解方面，达到了一个很高的水准。它不只是教你如何求解一个方程，而是教你如何理解求解过程中的内在代价——时间代价、精度代价、稳定性的代价。我尤其欣赏作者对迭代过程收敛性分析时的那份耐心和细致，它不仅展示了理论上的收敛条件，还通过一系列精妙的例子，展示了当这些条件被微妙地违反时，整个计算系统是如何悄然走向崩溃的。这种对“边界条件”的深刻洞察，远比记住一个收敛公式本身要重要得多。它培养了一种对计算过程的敬畏心和审慎态度，让人在未来面对任何数值问题时，都会先问自己一句：“这个解，真的可靠吗？”这种潜移默化的影响，是任何一本单纯罗列公式的教材都难以企及的。

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让我印象最为深刻的是，这本书在处理不同数值算法的比较与选择时，所展现出的那种成熟度。它并非简单地罗列出牛顿法、割线法、二分法等一堆方法，然后让读者自行抉择。相反，作者构建了一个非常实用的决策框架，引导读者思考问题的性质——比如函数的平滑度、初始猜测值的可靠性、对计算成本的敏感度等——然后根据这些输入参数，系统地推荐或排除某些方法。这种“情境化”的教学方法，极大地弥补了传统教材中“只见树木不见森林”的弊端。我感觉自己不是在读一本关于算法的书，而是在跟随一位经验丰富的顾问，学习如何在真实的计算场景中，为特定的数学难题挑选出最合适的“工具箱”。这种将抽象算法与实际应用场景紧密结合的叙事风格，使得学习过程充满了目的性和方向感，避免了学习者陷入纯粹的公式记忆泥潭。

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这本书的阅读体验，与我之前接触过的几本偏向理论证明的数学教材截然不同，它更像是一本面向实践者的操作手册，只不过这个“操作”的对象是严谨的数学模型。我特别欣赏它在探讨特定数值方法时，那种深入骨髓的批判性思维。作者似乎并不满足于仅仅介绍“如何做”，而是花费了大量的笔墨去探讨“为什么是这样”，以及“在什么情况下会失效”。这种对方法局限性的坦诚剖析，对于一个真正想掌握数值计算的人来说，是极其宝贵的。很多教科书在处理误差分析时，往往止步于理论推导，但这本书却巧妙地将其与实际的软件实现和计算资源的考量结合起来，让人清晰地认识到，在有限精度和有限时间下，理论上的最优解往往需要在工程实践中做出妥协。这种“知其然，更知其所以然”的探讨深度，极大地提升了阅读的价值感，让读者在学习过程中始终保持着一种清醒的、批判性的视角，而非盲目地相信书中的每一个公式都是万能的。

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这本书的封面设计初看之下，确实给人一种专业而严谨的印象，那种深沉的蓝色调和清晰的字体排版，似乎就预示着这是一本能够深入剖析复杂数学计算的书籍。我尤其欣赏它在内容组织上的那种沉稳和逻辑性。初次翻阅时，我立刻被它那种不急不躁的叙事节奏所吸引，作者似乎深知读者在面对“数值”这个概念时，往往需要一个扎实的基础铺垫，而不是一开始就抛出令人望而生畏的公式堆砌。它没有那种急于求成的浮躁感，而是如同一个经验丰富的导师，耐心地为你勾勒出整个数值分析领域的宏伟蓝图。那种娓娓道来的讲述方式，让原本枯燥的算法和理论变得清晰易懂，仿佛每一个数学步骤背后都有着深厚的工程实践支撑。书中的图示和例子的选择，也显得颇具匠心，它们不仅仅是简单的数值展示，更像是对抽象概念具象化的有效桥梁，帮助读者在脑海中构建起对计算误差、收敛速度等核心概念的直观认知。可以说，它在建立读者对数值方法整体框架认知方面，做得非常出色，为后续的深入学习打下了坚实的基础。

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