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出版者:McDougal Littell

作者:Brown, Richard G.

出品人:

页数:960

译者:

出版时间:2006-1

价格:USD 110.93

装帧:Hardcover

isbn号码:9780395977255

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 三角学
• 数学
• 高等数学
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• 预微积分

好的，这是一本关于《高级微积分与微分方程》的图书简介，内容详尽，不涉及代数与三角函数的内容，力求自然流畅。 --- 《高级微积分与微分方程》 探索无限的精确性与动态的建模艺术 引言：超越极限，驾驭变化 在科学、工程、经济乃至现代物理学的宏伟殿堂中，理解和量化变化是核心的基石。《高级微积分与微分方程》旨在为读者提供一套系统、深入且富有洞察力的工具集，用以分析和解决涉及连续性、极限、速率和累积的复杂问题。本书超越了基础微积分的范畴，直接深入到多变量、泛函分析的初探以及常微分方程和偏微分方程的精确求解与定性分析。 本书的撰写哲学是建立在严格的数学基础之上，同时不失对应用直觉的培养。我们相信，只有对极限背后的真正意义有深刻的理解，才能更自如地运用微积分的强大力量来构建和解析现实世界的动态模型。 第一部分：多变量微积分的深度探究 本部分将带领读者从二维平面稳步迈入高维空间，揭示函数、曲面和向量场在更高维度上的复杂行为。 第一章：空间向量与坐标系统重构 我们将从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的基础结构开始，深入探讨向量代数在三维及以上空间中的几何意义。重点将放在曲面坐标系（如球坐标、柱坐标）的变换规则及其雅可比行列式的物理意义——即体积或面积单元的缩放因子。随后，我们将引入仿射空间的概念，为后续的微分几何打下基础。 第二章：偏导数、梯度与方向导数 超越单变量函数的求导，本章专注于偏导数的计算与解释。我们将详细分析梯度向量 $ abla f$ 的物理意义——它是函数增长最快的方向及其速率。此外，方向导数的概念将使读者能够计算函数在任意指定方向上的变化率。本章会通过热传导和势能场的例子，展示梯度在物理学中的核心作用。 第三章：多重积分与变量变换的艺术 重积分是计算曲线、曲面乃至区域内物理量（如质量、质心、转动惯量）累积的关键。本章的重点在于积分区域的描述和变量替换的技巧。我们将深入探讨如何使用雅可比矩阵（Jacobian Matrix）来确保在坐标系变换过程中体积或面积元素的准确性，尤其是在极坐标和更一般的变换中。 第四章：线积分、面积分与更高维度的微积分 本部分的高潮在于向量场积分。我们将区分线积分（Line Integrals）在计算功或流量中的应用，以及面积分（Surface Integrals）在计算穿过曲面的通量时的重要性。 格林公式 (Green's Theorem)： 将二维区域上的线积分与其边界上的面积分联系起来的桥梁。 斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)： 推广到三维空间，连接曲面上的旋度（Curl）与该曲面边界上的线积分，是理解旋流和环量不可或缺的工具。 散度定理/高斯公式 (Divergence Theorem)： 将三维区域上的散度（Divergence）积分与其边界上的通量联系起来，对流体力学和电磁场理论至关重要。 第二部分：微分方程——动态系统的语言 微分方程是描述自然界中一切随时间或空间演变现象的数学语言。本部分将从理论到实践，系统地解决常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）。 第五章：一阶常微分方程的精确求解 本章从最基础的一阶 ODE 开始，涵盖了诸如可分离变量法、一阶线性方程、精确方程及其积分因子等经典方法。我们将特别强调伯努利方程的转化技巧，并引入存在与唯一性定理（如皮卡迭代法或皮卡-林德勒夫定理的直观解释），确保我们对解的可靠性有清晰的认识。 第六章：高阶线性常微分方程 本章聚焦于具有更高阶导数的线性常微分方程，这是许多振动系统和电路模型的基石。我们将系统学习常数系数齐次与非齐次方程的求解方法，包括特征方程的根的分类（实根、复根、重根）。对于非齐次项，我们将深入讲解待定系数法和更具普适性的常数变易法（Variation of Parameters）。 第七章：拉普拉斯变换——从时域到频域的飞跃 拉普拉斯变换是一种极其强大的工具，它能将复杂的线性常微分方程转化为代数方程，极大地简化了求解过程，特别适用于具有不连续初始条件的问题。本章将详细推导拉普拉斯变换的性质，并应用于求解带激励的振动问题和电路分析中的阶跃函数与脉冲函数响应。 第八章：系统动力学与特征值分析 对于涉及多个相互作用变量的系统（如耦合振子或捕食者-猎物模型），我们需要分析线性系统。本章将利用矩阵方法来求解由一组一阶线性 ODE 构成的系统。核心在于计算特征值和特征向量，它们直接决定了系统的长期行为——稳定性、周期性或发散性。我们将探讨相平面分析，并对非线性系统的定性分析进行初步介绍。 第九章：基础偏微分方程导论与分离变量法 偏微分方程（PDE）描述了空间和时间上分布量（如温度、波、浓度）的变化。本章将重点介绍最经典的三种 PDE：热传导方程（扩散方程）、波动方程和拉普拉斯方程。我们将系统地学习分离变量法，这是求解这些方程在特定边界条件下的最主要解析方法。这需要读者对傅立叶级数有扎实的理解，我们将确保对傅立叶级数的收敛性与完备性进行充分的铺垫。 结语：通往高级数学的桥梁 《高级微积分与微分方程》不仅仅是一本解题手册，它更是一座桥梁，连接着直觉性的几何理解与严谨的分析科学。通过对多变量几何的精确描述和对动态系统的精确建模，本书为读者在物理学、应用数学、金融建模或复杂系统工程领域进行深入研究奠定了不可动摇的数学基础。掌握了这些工具，读者将有能力去解析和预测那些曾经看似混沌的自然现象。

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坦白讲，我是在一个非常不情愿的状态下开始阅读这本《代数与三角学》的，因为我一直对数学，尤其是涉及角度和圆的那些部分感到头疼。然而，这本书的叙事风格却有一种令人惊讶的魔力。它不像一本教科书，更像是一位经验丰富的导师在耐心地引导你穿越一片数学的迷雾。作者在引入三角函数时，并没有直接抛出正弦、余弦的定义，而是先用现实生活中的场景——比如测量高塔的高度，或者计算航海的距离——来铺垫需求的产生，这让我立刻感受到了数学的实用价值。书中对单位圆的讲解简直是教科书级别的范本，它将角度与弧度之间的转换，以及三角函数的周期性和奇偶性，在同一个几何框架下完美地融合起来，一目了然。我发现自己不再是被动地接收信息，而是主动地去探究为什么会这样。翻阅这本书的时候，我几乎没有感觉到时间的流逝，因为它总能在我即将感到困惑的地方，恰到好处地提供一个清晰的注解或者一个相关的历史小插曲，让学习过程充满了愉悦感和探索欲。对于像我这样曾经有“数学恐惧症”的人来说，这本书无疑是一剂良药。

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这本名为《代数与三角学》的书，在我拿起它的那一刻起，就让我对数学学习的信心有了一个全新的认识。它的内容组织得极其清晰，从基础的代数概念出发，循序渐进地过渡到复杂的三角函数应用。我特别欣赏作者在解释抽象概念时所采用的类比和实例，那些原本晦涩难懂的公式和定理，在书中被分解成了易于理解的小块。举个例子，书里讲解二次方程的求根公式时，不仅仅是给出了公式，还详细推导了它的几何意义，让我真正明白了为什么那个公式是那个样子，而不是死记硬背。这种教学方法极大地激发了我对数学的兴趣，它不再是枯燥的数字游戏，而是一种探索世界规律的工具。尤其是关于函数图像的部分，图文并茂，让我能直观地看到不同参数变化对图像形状的影响，这种视觉化的学习体验是其他教材难以比拟的。我常常会花额外的时间去研究那些“挑战自我”的习题，它们的设计巧妙，往往能触及知识点的核心，迫使你跳出固有的思维模式去解决问题。总的来说，这是一本能真正帮助学生建立扎实数学基础的优秀教材，它所带来的不仅仅是知识的积累，更是对数学思维方式的培养。

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对于一个自学者来说，找到一本能够真正“自洽”的数学教材是极其困难的，通常需要搭配大量的辅导资料。但令人惊喜的是，《代数与三角学》在这方面的表现异常出色。随书附带的资源，特别是那些在线互动的示例解说，为那些不习惯纯文字解释的读者提供了极大的便利。我特别关注了书中关于数列和级数的部分，这通常是自学中最容易陷入僵局的领域。作者在介绍等差和等比数列的求和公式时，采用了“倒序相加”的经典证明方法，并配上了动态的图示说明，让我瞬间明白了公式背后的逻辑构造。此外，书中对数学史的穿插介绍也为冰冷的公式增添了人文色彩，了解欧拉、笛卡尔这些数学巨匠的奋斗历程，也激励着我坚持下去。总的来说，这本书不仅是一本内容详尽的教材，更像是一位全天候待命的私人教师，它用最清晰、最富启发性的方式，为我打开了通往高等数学的大门，其整体的学习体验是无可挑剔的。

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这本书的排版设计和习题设置，是我个人非常欣赏的地方。在许多理工科教材中，排版往往是黑白灰的乏味组合，让人一看就产生阅读疲劳，但《代数与三角学》的视觉体验非常友好。清晰的标题层级、恰当的留白，以及对重要公式和定理使用不同的颜色或边框突出显示，极大地减轻了长时间阅读的压力。更重要的是，它的习题集的设计体现了极高的教学智慧。习题不是简单地堆砌重复的计算题，而是被精心划分为“基础巩固”、“概念辨析”和“应用拓展”三个层次。我发现“概念辨析”部分的题目尤其出色，它们往往是以情景问答的形式出现，要求你用文字而非纯数字来解释一个数学原理，这有效避免了“只会算不会想”的问题。例如，书中有一组题目要求我们比较函数 $f(x) = sin(x)$ 和 $g(x) = x$ 在特定区间内的相对大小，这需要对三角函数的图像和泰勒展开有更深层次的理解。正是这种多维度的训练方式，让我感觉自己不仅仅是在“学习”三角学，而是在“掌握”它。

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要评价《代数与三角学》这本书，我必须从其严谨性与广度两个维度来衡量。从数学的严谨性角度来看，它几乎无可指摘。每一个定义都建立在坚实逻辑的基础之上，推导过程详尽且无懈可击，这对于准备参加更高阶数学课程（比如微积分）的学生来说，是至关重要的保障。许多其他教材在处理指数和对数律的证明时往往草草了事，但这本教材却为每一种重要的性质都提供了完整的证明路径，让学习者能够真正理解这些规则的来源。更难能可贵的是，它在覆盖基础代数和三角学核心内容的同时，还巧妙地编排了一些涉及向量和复数的初步介绍，这些内容在传统的“代数+三角”的组合中并不常见，但它们极大地拓宽了读者的视野，展现了这些基础学科如何为更高级的数学分支提供跳板。这种兼顾深度与广度的编排，使得这本书的价值远超一门期末考试的准备工具，它更像是一份值得珍藏的数学工具箱，随时可以取出所需。

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