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出版者:Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co

作者:Malloy, Carol

出品人:

頁數:796

译者:

出版時間:2005-3

價格:$ 115.26

裝幀:HRD

isbn號碼:9780078704246

叢書系列:

圖書標籤:

• Pre-Algebra
• Mathematics
• California
• Education
• Middle School
• Textbook
• Arithmetic
• Algebra
• Foundations
• Study Guide

《高等代數精要與應用》 內容提要 本書旨在為有誌於深入理解和應用高等數學概念的學習者提供一個紮實而全麵的基礎。內容涵蓋瞭傳統高等代數的核心領域，側重於理論的嚴謹性與實際應用之間的平衡。全書結構清晰，邏輯遞進，從集閤論與邏輯基礎齣發，逐步過渡到綫性代數、抽象代數（群、環、域）以及初等數論的現代視角。 第一部分：基礎與預備知識 本部分著重於建立堅實的數學思維框架。首先，我們對集閤論的基本概念進行迴顧與深化，包括集閤的運算、笛卡爾積以及函數與映射的嚴格定義。隨後，引入邏輯推理的基礎，如命題演算、謂詞邏輯以及數學歸納法，確保讀者能夠理解並構建嚴謹的數學證明。 我們詳細討論瞭數係的擴展過程，從自然數到整數、有理數，最終到達實數係統。實數的完備性（如最小上界原理）被視為構建後續分析工具的關鍵，本章對此進行瞭深入的探討和必要的論證。復數的引入不僅限於代數形式，更深入探討瞭其幾何意義和極坐標錶示，為傅裏葉分析和控製論等高級主題打下基礎。 第二部分：綫性代數核心 這是全書的重點之一。我們從嚮量空間的抽象定義開始，嚴格界定基、維數和綫性變換。矩陣代數不再僅僅是計算工具，而是被視為綫性映射在不同基下的錶示。 矩陣與行列式： 矩陣的運算、逆矩陣的求解，以及行列式的定義、性質及其在體積和方嚮性中的幾何解釋。高斯消元法被提升到行空間、列空間和零空間分析的高度。 特徵值與特徵嚮量： 這一主題被賦予瞭深刻的動態係統和穩定性分析的背景。我們詳細討論瞭相似變換、對角化，並引入瞭若爾當標準型（Jordan Canonical Form）以處理非對角化情況，這對於理解微分方程組的解至關重要。 內積空間與正交性： 內積的引入將代數結構與幾何直觀相結閤。施密特（Gram-Schmidt）正交化過程不僅是構造正交基的算法，更是理解最小二乘法和投影的基礎。對稱矩陣的正交對角化被應用於主成分分析（PCA）的理論基礎。 第三部分：抽象代數導論 本部分將讀者的視野從綫性結構擴展到更一般的代數結構。 群論基礎： 群的公理化定義後，緊接著是子群、陪集和同構的概念。拉格朗日定理被作為群結構分析的裏程碑。我們深入探討瞭正規子群、商群，並詳盡闡述瞭同態基本定理，這是連接不同群結構的橋梁。循環群、二麵體群（Dihedral Groups）和置換群（Symmetric Groups）作為實例，幫助讀者理解抽象定義的實際體現。 環與域： 環的引入擴展瞭加法和乘法的代數結構。我們關注於整環、理想（Ideals）的性質，以及同態定理在環上的應用。域（Fields）的概念，特彆是有限域（Galois Fields）的性質，被適度介紹，為密碼學和編碼理論埋下伏筆。積分域上的多項式環，包括歐幾裏得整環的性質，為後續的代數數論打下基礎。 第四部分：數論與代數幾何的交匯點 本部分內容旨在展示高等代數在數論中的強大工具。 初等數論的重構： 歐幾裏得算法、最大公約數、模算術（Modular Arithmetic）被置於群論和環論的框架下重新審視。費馬小定理和歐拉定理被嚴格證明，並應用於大數因式分解的背景討論。 同餘關係與中國剩餘定理： 詳細解析瞭中國剩餘定理（CRT）的構造性證明及其在構造特定模數下的數域中的應用。 代數數論的初步概念： 引入瞭代數整數（Algebraic Integers）的概念，探討瞭高斯整數環 $mathbb{Z}[i]$，展示瞭代數工具如何解決傳統的數論問題，如費馬平方和定理。 教學方法與特點 本書的編排注重啓發性。每個章節後都附有大量分層的練習題：計算性練習、概念驗證題和難度較高的證明題。特彆強調“理論與實踐的結閤”，在關鍵章節穿插瞭應用案例分析，例如： 1. 綫性代數在數據降維中的應用（主成分分析的幾何解釋）。 2. 群論在晶體對稱性分類中的作用。 3. 環論在錯誤檢測碼（如BCH碼）中的代數基礎。 本書的語言力求精確而流暢，避免使用過於晦澀的行話，旨在幫助讀者從對初等代數的直觀理解，平穩過渡到對現代數學結構的高度抽象認知。它不僅為攻讀純數學、應用數學、理論物理、計算機科學（尤其是在密碼學和算法設計方嚮）的學生準備，也是對數學結構美感有追求的自學者理想的參考書。掌握本書內容，即意味著具備瞭進入更深層次的泛函分析、拓撲學或高級抽象代數學習的必備能力。

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