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出版者:四川大学

作者:廖辉

出品人:

页数:155

译者:

出版时间:2007-8

价格:15.00元

装帧:

isbn号码:9787561437674

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
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启程：数学思维的拓荒之旅 图书名称：启程：数学思维的拓荒之旅 作者： 严谨 著 出版社： 九州学术出版社 装帧： 精装，全彩印刷 定价： 128.00 元 ISBN： 978-7-5611-9876-5 --- 内容梗概 《启程：数学思维的拓荒之旅》并非一本传统的、侧重于计算技巧或公式罗列的数学教材。它是一部深入探讨数学思维本质、逻辑构建与问题解决哲学的专著。全书以“拓荒”为喻，引导读者穿越数学概念的迷雾，抵达理性思考的核心地带。它旨在培养的，是面对陌生问题时，那种从零开始构建解决方案的勇气与方法论，而非仅仅是套用已知公式的能力。 本书的创作灵感来源于对现代科学研究中“第一性原理”的深刻洞察，并将其系统地应用于基础数学概念的重构之上。作者认为，真正的数学素养，在于理解每一个定理是如何在公理体系中被推导出来的，以及这些概念如何有机地串联成一个宏大而严密的知识网络。 全书共分为五大部分，层层递进，结构严谨： 第一部分：基石的重塑——公理与直觉的对话（约 300 字） 本部分聚焦于数学的起源与基础。它摒弃了直接给出定义和公式的教学习惯，转而探讨人类是如何从对自然现象的观察中抽象出“数”和“形”的概念的。 从计数到集合： 探讨皮亚诺公理体系的直观意义，解析“零”和“一”在构建整个数系中的哲学地位。 几何的先验性： 深入分析欧几里得几何的五大公设，特别是第五公设的争议与历史意义，引出非欧几何的萌芽。 逻辑的骨架： 阐述命题逻辑和谓词逻辑如何成为数学证明的语法规范，强调“若P则Q”的严密性，而非其语义的真实性。 思维陷阱： 列举大量日常生活中常见的逻辑谬误，并将其映射到早期的数学推导错误中，帮助读者建立批判性思维的初步屏障。 第二部分：运动的解析——微积分的哲学根源（约 350 字） 本部分不以繁复的求导和积分法则为重点，而是着重剖析微积分诞生的历史背景及其背后的“极限”思想。 芝诺悖论与无限的解决： 详细分析芝诺的悖论，揭示极限概念如何为解决“无限分割”和“无限累加”的问题提供了精确的数学工具。 切线与速率的直观构建： 探讨笛卡尔坐标系下，如何通过“割线趋近于切线”的几何直觉来定义瞬时变化率，避免直接陷入 $Delta x o 0$ 的模糊。 面积的定义： 介绍黎曼和的演化过程，强调定积分是对“无穷多个微小矩形面积之和”的精确度量，这是对古希腊“穷竭法”的继承与升华。 微积分的统一性： 深入阐释牛顿-莱布尼茨公式的深刻含义——微分与积分互为逆运算，体现了自然界中变化与累积的深刻对立统一。 第三部分：空间的扩展——从平面到高维的想象力（约 300 字） 本部分致力于拓展读者的空间想象能力，介绍超越三维实感空间的数学结构。 向量的代数化身： 讨论向量如何从物理世界的力与位移，抽象为具有加法和数乘运算的代数对象，以及其在线性无关性判断中的作用。 矩阵的本质： 将矩阵视为“线性变换的编码器”，而非简单的数字表格。详细解析矩阵乘法如何代表复合变换，以及特征值和特征向量在描述系统稳定性和主要变化方向上的核心价值。 拓扑的初步触碰： 引入拓扑学的基本思想——保持连续形变的性质，例如“甜甜圈与咖啡杯的等价性”，启发读者关注事物在变换下不变的内在属性。 第四部分：概率的秩序——不确定性中的理性构建（约 300 字） 本部分探讨数学如何处理随机性，建立衡量不确定性的精确语言。 频率与概率的桥梁： 追溯大数定律的形成过程，说明概率是如何从经验观察（频率）上升为严谨的数学度量。 离散与连续的概率模型： 对比二项分布、泊松分布与正态分布的适用场景，着重分析中心极限定理的普适性，揭示看似随机的现象背后隐藏的宏大秩序。 贝叶斯推理的哲学魅力： 介绍贝叶斯定理，阐述“事前信念”如何通过新证据进行动态修正，这是一种极具生命力的认知模型。 第五部分：数学的艺术与应用哲学（约 250 字） 最后一部分回归到数学作为一种人类创造活动的本质，探讨其审美价值和跨学科的应用。 证明的优雅： 分析几条经典数学证明的结构（如欧拉恒等式的简洁性），阐释数学美学在于其简洁性、必然性和出乎意料的联系。 建模的局限与力量： 讨论如何将数学工具应用于经济、工程或生物领域，强调模型永远是现实的简化，理解模型的假设比使用公式更重要。 开放性问题与未来展望： 简要介绍几个未解决的著名难题（如黎曼猜想），鼓励读者将所学方法论应用于尚未被解决的“未知领域”，真正成为思维的拓荒者。 --- 本书特色 1. 方法论导向，而非知识点堆砌： 本书的核心是“如何思考”，而非“记住什么”。它侧重于提供一套解决问题的通用框架。 2. 深度溯源，回归本质： 每一个核心概念（如极限、矩阵、概率）都追溯到其哲学起源和历史困境，确保读者理解其“为什么存在”。 3. 思维导图式结构： 全书采用模块化设计，段落之间逻辑连接紧密，如同一个严密的证明链条，便于读者建立知识体系的全景图。 4. 丰富的历史典故与思想实验： 穿插大量数学史上的关键人物及其思想斗争，使学习过程充满人文色彩和思考的趣味性。 目标读者 本书面向所有对数学的底层逻辑、思维架构和思想深度抱有强烈好奇心的读者。尤其适合： 数学、物理、工程专业的高年级本科生或研究生： 帮助他们从“解题者”转向“构建者”，巩固基础理论的深刻理解。 跨学科研究人员： 渴望掌握严谨的量化分析思维，并将其应用于复杂系统建模的人士。 爱好数学的社会人士： 寻求超越高中或初等微积分知识，进行一次高质量数学思维训练的读者。 《启程：数学思维的拓荒之旅》，带你回到数学的源头，亲手搭建起通往未来知识殿堂的阶梯。

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