Fourier Analysis, Self-Adjointness, Volume 2 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:Michael Reed

出品人:

页数:361

译者:

出版时间:1975-10-12

价格:USD 166.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780125850025

丛书系列:Methods of Modern Mathematical Physics

图书标签:

• 数理方法
• 数学
• 分析
• Fourier analysis
• Self-adjoint operators
• Spectral theory
• Partial differential equations
• Functional analysis
• Operator theory
• Harmonic analysis
• Mathematical physics
• Infinite dimensional spaces
• Hilbert spaces

《傅立叶分析与自伴算子：专题研究（卷二）》 第一章：广义傅立叶级数与函数空间 本章将深入探讨傅立叶分析的基石——广义傅立叶级数。在经典的傅立叶级数理论中，我们通常关注周期函数在区间 $[-pi, pi]$ 上的展开。然而，许多重要的数学和物理问题涉及非周期函数，或者函数定义在无限区间上。本章将引入更广泛的框架，允许我们将各种函数，甚至是非完备的函数系，表示为一系列“基函数”的线性组合。 我们将从 $L^2$ 函数空间出发，这是一个在数学物理和信号处理中扮演核心角色的完备内积空间。在这里，函数的“大小”由其平方的积分来衡量，内积定义为两个函数乘积的积分。我们将考察在这个空间中，完备正交函数系（如三角函数系、多项式系、指数函数系等）的性质。这些函数系在 $L^2$ 空间中扮演着类似于向量空间中基向量的角色，允许我们将任意 $L^2$ 函数唯一地表示为这些基函数的无穷线性组合，即傅立叶级数。 我们将详细研究傅立叶级数的收敛性问题。这包括逐点收敛、平均收敛（$L^2$ 收敛）以及一致收敛。我们将分析不同条件下傅立叶级数的收敛行为，例如狄利克雷条件（Dirichlet conditions）对于逐点收敛的重要性。此外，我们将探讨傅立叶级数在积分和微分运算下的行为，这为处理微分方程提供了强大的工具。 本章还将扩展到非完备函数系的情况。即使一个函数系不是完备的，它仍然可以用来表示其张成的子空间内的函数。我们将研究在这种情况下，如何选择最优的近似函数，以及近似的误差界限。这对于理解信号压缩和数据分析中的一些技术至关重要。 最后，我们还将简要介绍在其他函数空间（例如索伯列夫空间 $H^s$）中傅立叶分析的推广，以及这些空间在偏微分方程理论中的应用。这些更抽象的空间允许我们处理具有更弱光滑性条件的函数，这在研究诸如流体力学和弹性力学等领域的实际问题时尤为重要。 第二章：自伴算子与谱理论 自伴算子是泛函分析的核心概念之一，它在量子力学、微分方程和许多其他数学领域有着极其重要的应用。本章将专注于自伴算子及其谱理论。 我们首先将回顾线性算子和希尔伯特空间的基本概念，为后续内容的展开奠定基础。我们将定义一个算子在希尔伯特空间上的伴随算子，并以此为基础给出自伴算子的定义。一个算子是自伴的，当且仅当它等于它的伴随算子。我们将详细分析自伴算子的基本性质，例如其值域和零空间之间的关系，以及其谱的性质。 谱理论是理解算子行为的关键。我们将区分连续谱、离散谱和残缺谱。对于自伴算子，其谱具有特别良好的性质。我们将证明自伴算子的谱是实数，并且如果算子是紧的，则其谱由一系列孤立的非零特征值组成，这些特征值只有有限重数。我们将详细介绍谱定理（Spectral Theorem），这是自伴算子理论的基石。谱定理表明，对于任何一个自伴算子，存在一个“谱测度”，使得我们可以将算子表示为该测度与一个实值函数的积分。这个表示允许我们理解算子如何作用于函数，以及其“特征值”和“特征向量”的构成。 我们将通过具体的例子来说明谱定理的应用。例如，我们将考察在 $L^2$ 空间上作用的微分算子（如拉普拉斯算子）的谱。我们将展示如何利用谱理论来求解偏微分方程，例如热方程和波动方程。通过对算子的谱进行分析，我们可以理解方程解的稳定性和行为。 本章还将探讨自伴算子与投影算子之间的关系。投影算子是自伴且幂等的算子，它们可以将空间投影到某个子空间上。我们将展示如何利用投影算子的性质来构造和分析算子，以及它们在求解线性系统和研究算子方程中的作用。 此外，我们还将介绍算子函数的概念，并利用谱定理来定义像 $e^A$ 这样的函数（其中 $A$ 是一个自伴算子）。这在量子力学中尤为重要，例如哈密顿算子 $H$ 的演化算子 $e^{-iHt/hbar}$ 代表了系统的演化。 第三章：傅立叶变换与广义函数 傅立叶变换是傅立叶分析的自然延伸，它将一个函数从时域（或空域）转换到频域。与傅立叶级数主要处理周期函数不同，傅立叶变换能够处理定义在整个实数轴上的非周期函数。本章将深入探讨傅立叶变换的理论及其在广义函数空间中的推广。 我们将从标准傅立叶变换的定义出发，讨论其基本性质，如线性性、平移不变性、尺度变换性质、卷积定理和微分性质。卷积定理是傅立叶变换在信号处理和统计学中广泛应用的关键，它表明两个函数的卷积的傅立叶变换等于它们各自傅立叶变换的乘积。 我们将研究傅立叶变换在不同函数类上的行为，例如施瓦兹空间（Schwartz space）中的函数，这些函数及其所有导数都衰减得很快。在施瓦兹空间中，傅立叶变换是可逆的，并且将施瓦兹空间映射到自身。 然而，许多在实际问题中出现的函数，如单位阶跃函数或狄拉克 $delta$ 函数，并不属于施瓦兹空间，甚至不是一般的可积函数。为了处理这类“病态”的函数，我们将引入广义函数（也称为分布）的概念。广义函数不是一般的函数，而是一个线性泛函，它作用于测试函数（通常是光滑的、紧支撑的函数），并产生一个实数。我们将定义傅立叶变换在广义函数上的作用，例如单位阶跃函数的傅立叶变换是 $pi delta(xi) - frac{i}{2xi}$，狄拉克 $delta$ 函数的傅立叶变换是常数 1。 我们将探讨傅立叶变换在求解偏微分方程中的应用，特别是常系数线性偏微分方程。通过对微分方程两边进行傅立叶变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。我们将展示如何利用傅立叶变换来处理初值问题和边值问题。 本章还将简要介绍离散傅立叶变换（DFT）及其快速傅立叶变换（FFT）算法。DFT 是傅立叶变换在计算机科学和数字信号处理中的离散模拟，而 FFT 算法的出现极大地提高了计算效率，使得傅立叶变换在实际应用中变得可行。 第四章：自伴微分算子与谱分解 本章将深入探讨自伴微分算子，它们在许多物理和工程领域中占据着核心地位。自伴微分算子是微分算子在适当的函数空间和边界条件下满足自伴性质的算子。 我们将首先复习二阶线性常微分方程的边值问题，并引入 Sturm-Liouville 算子。我们将证明，在适当的边界条件下，Sturm-Liouville 算子是自伴的，并且其谱是由一系列离散的、实数特征值组成的，对应于一系列正交的特征函数。我们将详细阐述 Sturm-Liouville 理论，它为理解量子力学中的能量本征态以及许多振动和波动现象提供了数学基础。 我们将利用谱定理来分析 Sturm-Liouville 算子的谱分解。这意味着我们可以将任何满足边界条件的光滑函数表示为算子特征函数的无穷级数。我们将探讨这个级数的收敛性，并展示如何利用这个展开来求解微分方程。 本章还将讨论一些更一般的自伴微分算子，包括在多维空间上的拉普拉斯算子和高阶微分算子。我们将研究这些算子在不同区域（例如有界区域、无界区域、有界或无界域上的边界条件）上的性质。我们将分析它们的谱结构，并讨论如何进行谱分解。 我们将特别关注自伴微分算子与量子力学中的哈密顿算子之间的联系。在量子力学中，系统的可观测量由自伴算子表示，而这些算子的本征值对应于可观测量可能取的值，本征函数则对应于系统的状态。我们将展示，如何利用微分算子的谱理论来理解量子系统的能量谱、跃迁概率以及时间演化。 此外，本章还将探讨具有奇点的微分算子，例如在球坐标系中出现的径向算子，以及它们在处理具有球对称性的物理系统时的作用。我们将分析在这些情况下，谱理论如何推广，以及如何处理非局部性效应。 第五章：傅立叶分析在积分变换中的应用 傅立叶变换本身也是一种积分变换，而积分变换在解决各种数学和工程问题中扮演着至关重要的角色。本章将探讨傅立叶分析与其他积分变换（如拉普拉斯变换、Mellin 变换等）之间的联系，以及它们在不同应用领域的协同作用。 我们将首先回顾拉普拉斯变换，并将其与傅立叶变换进行比较。我们将证明，对于具有特定衰减性质的函数，拉普拉斯变换可以通过对傅立叶变换进行复变分析得到。我们将讨论拉普拉斯变换在求解线性常微分方程初值问题中的优势，以及它在控制理论和电路分析中的应用。 我们将引入 Mellin 变换，它是一种与傅立叶变换和拉普拉斯变换密切相关的积分变换，在处理幂函数和 scale-invariant 问题时特别有用。我们将探讨 Mellin 变换与傅立叶变换之间的关系，以及它在数论、统计物理和图像处理中的应用。 本章还将讨论一些更高级的积分变换，例如 Z 变换，它是在离散时间信号处理中用于分析的傅立叶变换的离散模拟。我们将展示 Z 变换在分析离散系统、滤波器设计和数字信号处理中的作用。 我们还将探讨积分变换的逆变换理论，以及在不同变换域中进行积分和微分运算的性质。理解这些性质是有效利用积分变换解决问题的关键。 最后，本章将通过具体的例子，例如解决热传导问题、弹性力学问题以及通信系统中的信号分析问题，来展示傅立叶分析和其他积分变换在实际工程问题中的综合应用。我们将强调如何根据问题的性质选择最合适的积分变换，并利用其理论来获得问题的解析解或有效的数值近似。

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说实话，这本书的装帧和印刷质量简直是艺术品，但内容本身带来的震撼更为持久。我发现作者在处理傅里叶积分的收敛性问题时，没有走传统的狄利克雷核或费耶尔核的老路，而是似乎另辟蹊径，与某些非交换几何的早期思想有所关联。虽然我没有深入到书中关于非交换傅里叶分析的部分，但仅仅是开篇对标准傅里叶级数在 $L^2$ 空间中完备性的讨论，其论证的简洁和优雅就令人叹服。它似乎在强调结构的一致性，即无论是在有限维的内积空间还是无限维的希尔伯特空间中，自伴随性的核心思想是如何保持不变的。这本书读起来像是在品尝一道极其复杂的法式大餐，每一道“菜”——每一个定理或引理——都经过了精确的调味和烹饪。它不太适合快速浏览，更像是一部需要长期研读、时常回顾的工具书，其价值在于其理论的深度和广度，而非即时可用的解题技巧。

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这本《傅里叶分析、自伴随性，第二卷》简直是理论数学爱好者的福音，虽然我还没完全啃完，但光是翻阅其中的章节结构和开篇的引言，我就能感受到作者深厚的功力。书中的内容似乎非常注重从最基本的数学结构出发，逐步构建起复杂的分析框架。我特别欣赏它在处理非正交基或无限维空间中的算子理论时的严谨态度。作者似乎花了大量的篇幅来探讨希尔伯特空间上的自伴随算子，这对于理解量子力学中的观测量谱理论至关重要。那种从定义、性质到应用层层递进的叙述方式，让人感觉不是在读一本教材，而是在跟随一位大师探索数学的真谛。它没有过多纠缠于那些花哨的工程应用，而是沉浸在纯粹的数学美学中，探讨的是傅里叶变换在更抽象、更本质层面的表现。如果你想在泛函分析和调和分析的交叉地带深挖，这本书无疑提供了必要的深度和广度，不过初学者可能会觉得有些吃力，需要有坚实的分析基础才能领会其精髓。

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我对这本书的评价是：它是一部沉甸甸的、需要全神贯注才能阅读的学术巨著。它似乎假设读者已经对测度论和拓扑学有了非常扎实的了解。书中对于“自伴随性”的定义和讨论，其粒度之细，让我不禁思考我过去对这个概念的理解是否过于肤浅。作者似乎在挑战读者对算子谱的直观认识，特别是当算子不再是紧的时，我们如何定义其“完整”的谱结构。书中的许多证明都依赖于一种精妙的边界分析技巧，需要在复平面上进行复杂的积分路径选择。我个人认为，这本书的真正价值在于它对“完备性”这一概念在不同数学语境下的细微差别进行了深入的剖析。它不是一本“速成指南”，而是一份通往更高阶数学思想的“入场券”，需要读者投入大量的时间和精力去消化其中的每一个逻辑转折点。

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这本书的叙事风格非常“内敛”，它极少使用修辞手法，而是用最精确的数学语言来构建逻辑大厦。我尤其赞赏作者在引入诸如 Cayley 变换或 Spectral Mapping Theorem 这样的核心工具时，总是先提供一个极度简化的、易于理解的有限维类比。这种“由浅入深”的教学法，虽然在某些章节显得节奏稍慢，但对于真正想掌握其内在机制的读者来说，却是至关重要的。它没有直接给出“是什么”，而是引导读者通过一系列严密的推导去“发现”是什么。我感觉作者对经典分析的掌握已经到了出神入化的地步，能够将看似不相关的领域——比如调和分析中的周期延拓和泛函分析中的闭包概念——巧妙地联系起来。这本书更像是一部数学史诗，它记录了人类在处理无穷维空间中的对称性和不变量性这一宏大主题上所走过的关键路径。

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我最近一直在试图补习泛函分析中的算子理论，手头翻阅的这本《傅里叶分析、自伴随性，第二卷》在很多关键概念的阐述上，提供了非常独特的视角。特别是关于紧算子和非紧算子区分的讨论，作者似乎引入了几种非常巧妙的构造性证明方法，这些方法与我之前接触的教材截然不同，让原本晦涩的谱理论变得稍微清晰了一些。我注意到书中对黎曼-勒贝格引理的推广和应用进行了详尽的分析，这对于研究积分算子的性质非常有帮助。更让我惊喜的是，书中对各种收敛性概念——从依点收敛到 $L^p$ 空间中的范数收敛，再到弱收敛——在自伴随算子作用下的微妙关系进行了细致的辨析。这不仅仅是简单的公式堆砌，而是对数学直觉的培养，它迫使读者去思考“在什么意义上”这些算子是良定义的、是“好”的。这本书的深度显然是面向研究生甚至博士阶段的研究人员的，它要求读者具备极高的抽象思维能力。

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