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出版者:北京航大

作者:张秀娟

出品人:

页数:225

译者:

出版时间:2007-10-01

价格:19.00元

装帧:

isbn号码:9787811241457

丛书系列:

图书标签:

• 数字电子技术
• 电子技术
• 实验教程
• 电路分析
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• 电子工程
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《高阶微积分与微分方程选讲》内容简介 这是一本面向理工科高年级本科生、研究生以及对数学理论有深入探究需求的专业人士的深度数学专著。 本书旨在超越标准微积分课程的基础框架，深入探讨高等数学中最为精妙和实用的分支——高阶多变量微积分的严谨理论及其在解决复杂工程、物理问题中不可或缺的工具——常微分方程（ODE）与偏微分方程（PDE）的求解艺术与理论基础。 本书结构清晰，内容涵盖面广，但核心聚焦于概念的深度理解和方法的严格推导，力求在理论的严谨性与应用的直观性之间找到完美的平衡点。 --- 第一部分：多变量微积分的拓扑与分析基础 (Advanced Multivariable Calculus: Topology and Analysis) 本部分是对传统微积分概念的深化和提升，引入了必要拓扑和度量空间的观点，为后续更高级的理论奠定坚实的分析基础。 第一章：度量空间与连续性的新视角 本章从集合论的视角重新审视函数空间。我们首先定义度量空间（Metric Spaces）及其基本拓扑概念，如开集、闭集、紧集（Compact Sets）和连通集（Connected Sets）。探讨了完备度量空间（Complete Metric Spaces）的概念及其在求解迭代问题中的重要性。重点分析了在一般度量空间下连续函数和一致连续性的定义与性质，为勒贝格积分和泛函分析打下基础。 第二章：高维函数的微分几何 抛弃传统的 $epsilon-delta$ 定义，本章采用更强大的微分形式和张量分析工具来研究高维函数的微分。详细阐述了雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的几何意义，特别是其行列式在体积变换中的作用。引入了微分形式（Differential Forms）的概念，定义了楔积（Wedge Product）和外微分（Exterior Derivative）。通过斯特克斯定理（Stokes' Theorem）的严格表述，统一了格林、高斯和斯托克斯定理，展示了微分形式在统一微分算子上的威力。 第三章：流形上的微积分初步 本章是对传统微积分应用边界的扩展，将分析工具推广到弯曲空间。介绍了光滑流形（Smooth Manifolds）的基本概念，包括坐标图册和可微结构。在流形上定义切空间（Tangent Space）和向量场。关键在于，使用微分形式在流形上进行积分，这不仅是理论上的优雅，也是广义相对论等前沿物理学科的必要语言。 --- 第二部分：常微分方程的定性理论与高级求解技术 (Qualitative Theory and Advanced Techniques for ODEs) 本部分侧重于对常微分方程解的性质进行深入分析，并掌握解决非标准或高阶方程的有效解析和半解析方法。 第四章：线性常微分方程的谱理论 本章聚焦于具有常系数或解析系数的线性ODE。详细分析了特征值问题（Eigenvalue Problems）在常微分方程中的应用，特别是对于二阶常微分方程的边界值问题（BVP）。引入了格林函数（Green's Functions）的构造和应用，展示如何将微分方程转化为积分方程，从而利用泛函分析的工具来研究解的存在性和唯一性。对于常系数系统，则着重于矩阵指数（Matrix Exponential）的计算和稳定性分析。 第五章：非线性 ODE 的定性分析 对于非线性的动力学系统，解析解往往是奢望。本章的核心在于“理解解的行为”而非“求出解”。详细讨论了相平面分析（Phase Plane Analysis），包括平衡点（Equilibrium Points）的分类（鞍点、结点、焦点）。系统介绍了李雅普诺夫稳定性理论（Lyapunov Stability Theory），区分了稳定性和渐近稳定性。着重探讨了极限环（Limit Cycles）的存在性，特别是庞加莱-本迪克森定理（Poincaré-Bendixson Theorem）的严谨证明与应用。 第六章：摄动理论与近似方法 本章处理那些“几乎”是可解的方程。系统介绍了正则摄动法（Regular Perturbation Theory）和奇异摄动法（Singular Perturbation Theory）。对于奇异摄动问题，详细阐述了如何构造边界层近似（Boundary Layer Approximations）和内区解，如通过匹配原理（Method of Matched Asymptotic Expansions）来获得全域有效解。此外，还引入了平均法（Method of Averages）在处理弱非线性振动问题中的应用。 --- 第三部分：偏微分方程的泛函分析与边界值问题 (PDEs: Functional Analysis and Boundary Value Problems) 本部分是本书的难点和重点，它将分析工具推广到偏微分方程，特别是物理学中三大经典方程的求解与理论。 第七章：经典 PDE 的弱解与能量方法 本章不再满足于传统意义上的经典解，而是转向更具鲁棒性的弱解（Weak Solutions）概念。以波动方程、热传导方程和泊松方程为例，推导出其变分形式（Variational Formulation）。重点讲解能量方法（Energy Methods），通过构造特定的能量泛函来证明解的存在性、唯一性和稳定性，这比直接处理高阶导数要有效得多。 第八章：傅里叶与拉普拉斯变换的推广 本章将经典的积分变换推广到更广泛的函数空间。详细讨论了傅里叶变换在 $L^2$ 空间中的性质，并引入了希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的概念，这是理解泛函分析在PDE中应用的关键。深入探讨了拉普拉斯方程在不同边界条件下的唯一性，以及利用分离变量法和本征函数展开（Eigenfunction Expansions）求解边值问题的完整流程。 第九章：泛函分析在椭圆型 PDE 中的应用 本章是本书的高潮，它将分析工具提升到新的高度。详细介绍了索博列夫空间（Sobolev Spaces）及其嵌入定理，这是处理非光滑边界和接触问题的理论基础。核心内容集中在变分法（Variational Methods）求解椭圆型 PDE，如最小势能原理。最后，简要介绍了有限元方法（Finite Element Method, FEM）的理论起源，展示了如何从理论的抽象求解过渡到数值实现的严谨基础。 --- 目标读者与特点： 本书的数学深度要求较高，适合已完成《数学分析》和《线性代数》学习的读者。本书的特点在于其严谨性、广度和前瞻性：它不仅教授“如何解题”，更侧重于“为什么这样解有效”的理论根源。书中的例题和习题多源于经典的物理和工程背景（如弹性力学、流体力学、电磁场理论），旨在培养读者将抽象数学工具精确应用于复杂科学问题的能力。本书不涉及数字电子技术中的具体电路分析或逻辑门设计，而是专注于支撑这些技术背后的纯粹数学框架。

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这本书的内容组织逻辑简直是教科书级别的示范。它不像有些教材那样生硬地堆砌概念，而是以一种非常流畅和循序渐进的方式引导读者进入核心知识体系。第一章的铺垫非常到位，把基础理论和实际应用做了很好的衔接，让你在学习抽象概念的同时，能立刻感受到它在实际电路中的作用。随着章节的深入，难点被巧妙地拆解成更小的、易于消化的模块。尤其是一些关键的逻辑门电路的分析部分，作者通过多种角度的阐述，确保了即便是初学者也能真正理解其工作原理，而不是死记硬背公式。这种层层递进的结构，让学习过程充满了成就感，每攻克一个知识点，都能清晰地看到自己能力的提升，而不是一头雾水地往前推。

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这本书的作者在案例选择上展现了极高的水准。它没有满足于理论的介绍，而是紧密结合了现代电子工程领域中实际会遇到的问题。书中所给的实验项目设计得非常巧妙，每一个项目都不是孤立的知识点堆砌，而是综合运用了前几章所学的理论知识，具有很强的综合性和实践指导意义。例如，在设计某个小型系统时，它会引导读者去考虑功耗、时序控制和器件选型等实际工程因素，而不是停留在“能不能跑起来”的层面。这种注重“工程思维”的培养，对于想要在未来从事硬件设计或调试工作的读者来说，无疑是无价之宝。读完这些案例，感觉自己不只是学会了知识，更重要的是建立起了一套解决实际问题的思维框架。

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这本书的排版和设计真是让人眼前一亮，那种沉稳又不失现代感的风格，拿在手里就感觉很专业。封面设计很简洁，但透过色彩和布局的搭配，能感受到设计者对细节的把控。内页的字体选择也很考究，既保证了清晰易读，又不会让人产生阅读疲劳，这一点对于长时间学习技术类书籍来说至关重要。装帧质量也相当扎实，即便是经常翻阅，也不会轻易出现松散的情况。而且，书本的开本设计很合理，既方便携带，又保证了图表展示的足够的空间，很多复杂的电路图和波形图都能清晰地呈现出来，不像有些教材，图太小，看着费劲。这种对用户体验的重视，从拿到书的那一刻起就体现出来了，让人对后续的学习内容充满了期待。可以说，光是这本书的实体制作水平，就已经超越了许多同类教材。

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我特别欣赏这本书在图示和辅助材料方面的细致程度。对于电子技术这种需要高度空间想象力的学科来说，清晰的图示是理解的桥梁。这本书在这方面做得非常出色，不仅电路图绘制规范、标注清晰，连元件的符号和连接方式都处理得一丝不苟。更难能可贵的是，对于那些动态变化的概念，比如时序关系或者信号的传输过程，书中配有大量的示意图或流程图，这些辅助图形有效地弥补了文字描述的局限性。有时候，一个精心绘制的示意图抵得上一页密密麻麻的文字解释。这种对视觉化学习支持的投入，极大地提升了学习的效率和准确性，避免了因理解偏差而导致的错误实践。

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这本书的语言风格非常独特，它既保持了学术著作应有的严谨性，又避免了过度专业化带来的距离感。作者的遣词造句精准到位，尤其是在解释那些容易混淆的概念时，常常能用非常贴切的比喻或日常的语言来阐明复杂的原理，使得晦涩难懂的知识点变得平易近人。阅读起来感觉就像是有一位经验丰富的工程师在身旁耐心指导，而不是面对一本冷冰冰的教科书。这种亲切而又不失深度的叙事风格，让学习过程变得更加愉悦和投入，极大地激发了读者的主动探索欲望。它成功地在“传授知识”和“激发兴趣”之间找到了一个完美的平衡点，让人愿意一页一页地读下去，去探寻更多的奥秘。

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