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出版者:Cambridge University Press

作者:Alan F. Beardon

出品人:

页数:326

译者:

出版时间:2005-6-20

价格:USD 71.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521890496

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 代数几何

穿越历史的智慧：古代文明的建筑与数学遗产 本书并非一部关于现代代数或欧几里得几何的教科书，它是一部深入探讨古代文明，特别是美索不达米亚、古埃及、古希腊和玛雅文明在建筑实践中如何巧妙融合数学原理和几何概念的编年史。 我们将把焦点从抽象的符号和公理转移到泥板、石碑和金字塔的建造现场，揭示人类早期对空间、测量和结构稳定性的深刻理解。 --- 第一部分：尼罗河畔的几何迷思——古埃及的测量艺术 古埃及文明的宏伟遗迹，如吉萨大金字塔群和卡尔纳克神庙，是人类工程学史上不朽的丰碑。然而，这些建筑的惊人精确度并非偶然，而是建立在一套成熟且实用的几何学基础之上。 第一章：丈量尼罗河的绳索与节点 在洪水周期性重塑土地边界的背景下，古埃及的“绳索丈量者”（Harpedonaptai）发展出了一套精确的土地测量技术。本书详细考证了《莱因德纸草书》（Rhind Mathematical Papyrus）和莫斯科数学纸草书（Moscow Mathematical Papyrus）中记载的实际问题与解决方案。我们不会停留于现代公式的推导，而是聚焦于古埃及人如何使用固定长度的绳索和标记点来构造精确的直角，这正是他们实现建筑方形地基和边界划分的关键。 第二章：金字塔的秘密比例——体积与斜率的实践运用 胡夫金字塔的完美坡度（约51.8度）是如何确定的？本书考察了古埃及人对“司科特”（Seqt，即斜率或倒数比）概念的应用。这是一种以“十指”（cubits）为单位，描述垂直高度与水平延伸距离之间关系的实用比率。我们分析了不同王朝金字塔在司科特值上的微妙变化，揭示了不同建筑师和时代的工程偏好。此外，我们探讨了他们计算圆锥体和棱锥体体积的经验方法，这些方法虽然不完全等同于现代微积分的精确表达，但在实践中达到了惊人的准确性，尤其是在计算粮仓容量和土方工程时。 第三章：神庙布局与天文学的交汇点 古埃及的宗教信仰与建筑布局紧密相连。本书将展示神庙轴线的定向如何精确地与夏至或冬至的日出点对齐。这不是单纯的巧合，而是对基本角测量和方向确定的熟练掌握。我们分析了神庙内部走廊、柱厅的等距排列，以及柱子直径与高度之间的经验比例，这些比例被认为是通往神圣秩序的象征性体现。 --- 第二部分：两河文明的泥板记录——早期代数思维的萌芽 美索不达米亚，特别是巴比伦文明，留下了大量的楔形文字泥板，它们是早期数学思想的宝库。虽然巴比伦人的数学形式与现代代数符号截然不同，但其解决问题的逻辑和方法，已具备了雏形。 第四章：泥板上的线性方程组与商业计算 本书重点研究了那些描述土地分割、水渠分配和谷物贷款的泥板。我们解析了巴比伦人如何通过一系列逐步消元和替换的方法来解决涉及两个或三个未知数的应用题。例如，泥板 Plimpton 322 展现了他们对勾股数（毕达哥拉斯三元组）的深入理解，但其目的并非纯粹的几何证明，而是用于校准三角测量或规划斜坡结构。本书将这些实践置于他们成熟的六十进制（Sexagesimal）计数系统的背景下进行阐释。 第五章：圆的近似与土地的划分 在城市规划和灌溉工程中，精确计算圆形区域的面积至关重要。我们考察了巴比伦人如何处理 $pi$ 值。他们使用的近似值（通常是 $3$ 或 $3 + 1/8$）虽然不如后世精确，但在实际的建筑和农业应用中已足够有效。书中将对比他们处理圆周与圆面积的方法，说明其与现代几何定义的差异，并强调其实用主义。 --- 第三部分：古典的理想与实践的碰撞——古希腊的理性几何 古希腊人将数学从纯粹的实用工具提升到了哲学的层面。本书将分析几何学是如何成为理解宇宙秩序的基石，并探讨这些理论如何反哺到他们伟大的公共建筑中。 第六章：黄金分割与神殿的和谐 帕台农神庙是古希腊建筑的典范。本书不只是简单地提及“黄金分割率”（$Phi$），而是探讨了雅典工匠是如何在实践中应用这种比例。我们分析了柱子底座高度、柱身直径与柱间距之间的复杂关系，以及这种比例如何被认为能赋予建筑以视觉上的完美与稳定感。这是一种基于视觉心理学和早期光学认识的几何应用。 第七章：阿基米德的杠杆与希罗的蒸汽——力学与几何的结合 古希腊的数学家和工程师（如阿基米德、希罗）对几何原理的理解远超前人。我们将考察阿基米德如何利用几何原理计算浮力、面积和体积，这些知识直接影响了港口和防御工事的设计。希罗的机械设计（如蒸汽机和自动门）则展示了将几何形状、运动学与流体力学结合起来，以实现复杂机械功能的工程实践。 --- 第四部分：中美洲的星辰测绘——玛雅的宇宙观与建筑网格 在美洲大陆，玛雅文明独立发展出了一套高度复杂的数学系统，其应用主要集中于天文观测和神庙的布局。 第八章：零的概念与历法的精确性 玛雅人是世界上最早独立发展出“零”的概念的文明之一。本书探讨了他们如何利用二十进制系统和“点、杠、壳”的符号来记录天文数据和日期。这种对位值系统的掌握，使得他们能够精确地计算漫长的时间周期，并将其转化为神庙的尺度和方向。 第九章：天文对齐与城市网格的构建 特奥蒂瓦坎和蒂卡尔等地的城市规划，体现了玛雅人对天空几何的深刻理解。本书将展示金字塔的朝向如何精确对应特定恒星的升起或落下点，以及这些建筑的台阶数量和层次划分如何与他们的历法周期相对应。这不是对现代几何的照搬，而是将抽象的天体运行规律，通过具体的几何构造，锚定于大地之上。 --- 结论：实用主义与理想主义的交织 本书最终旨在揭示，古代的建筑师和工程师并非盲目地依赖经验，而是系统地运用了他们所能理解的最精密的数学和几何工具。无论是尼罗河畔的司科特，两河流域的代数推演，希腊的和谐比例，还是玛雅的星象网格，这些实践共同构成了人类文明早期对空间、尺度和结构的理性探索，它们是智慧的结晶，而非对后世理论的简单重复。

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这本《代数与几何》的阅读体验，简直是一场穿越时空的数学之旅。我原本以为这会是一本枯燥的教科书，充斥着密密麻麻的公式和定义，结果却大相径庭。作者的叙事方式非常引人入胜，他没有急于展示那些高深的定理，而是从历史的源头讲起，比如古希腊的欧几里得是如何构建他的几何王国的，以及阿拉伯数学家在代数领域做出的开创性贡献。读起来就像在听一位经验丰富的历史学家，娓娓道来知识是如何一步步积累和演变的。尤其是关于解析几何的章节，作者巧妙地将几何直观性与代数的运算严谨性结合起来，让我第一次真切地感受到了笛卡尔的伟大之处——那种将图形世界“翻译”成数字语言的魔力。书中对概念的阐释极其细腻，即便是初学者也能沿着作者的思路，逐步领悟到抽象概念背后的几何意义。例如，在讲解二次曲线时，作者不仅给出了标准方程，还配有大量的可视化图形辅助理解，让人很容易就能在大脑中构建出椭圆、抛物线和双曲线的动态形态。这种深度与广度兼备的讲解，使得全书的阅读节奏张弛有度，让人在思考复杂问题后，又能被历史轶事或优雅的证明所放松，绝对是理工科学生和数学爱好者不可多得的佳作。

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这本书的排版和配图质量，直接决定了它在众多参考书中的地位。作为一本涉及空间想象和复杂结构的书籍，清晰的视觉呈现至关重要，而《代数与几何》在这方面做得无可挑剔。纸张的质感很好，墨色浓郁，即便是需要长时间阅读复杂的矩阵运算或高维几何图示，眼睛也不会感到疲劳。尤其值得称赞的是，作者对于那些关键的几何构造图，似乎是亲自设计和手绘的一般，线条的粗细、标注的位置都经过了深思熟虑，完美地引导了读者的视线。例如，在讨论二次型和主轴方向时，书中提供的三维立体图，通过巧妙的阴影处理和轴线标记，即便是在二维的纸面上，也能清晰地传达出旋转和拉伸的概念。此外，书中的练习题设计也极富匠心，它们不是那种单纯的“计算题”，而更像是一些小的“探索任务”。很多题目都需要读者自己去尝试建立代数模型来解决一个几何问题，或者反过来，用几何直觉来指导代数的简化，这极大地锻炼了我的建模能力，而非死记硬背公式。

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这本书给我带来的最大的震撼，或许在于它对“证明”过程的细致打磨。很多数学书为了追求简洁，会用一句“显然可证”或“略去中间步骤”，这对于自学者来说简直是灾难。但《代数与几何》不同，作者对待每一个关键的定理，都会给出一个逻辑清晰、步骤严谨的完整证明。他似乎能预见到读者可能在哪个环节产生困惑，并提前在那里进行补充说明。比如在处理一些拓扑性质的几何描述时，作者引入了局部坐标系的概念，并详细解释了为什么在这种局部视角下，复杂的非线性问题可以被线性的工具所近似处理。这种对证明细节的尊重，极大地增强了我对数学严谨性的信心。我发现，当我试图自己去补全那些被作者省略的微小步骤时，我真正掌握了该知识点，而不是仅仅记住了结论。这本书的价值在于，它教会了我们如何进行严密的数学思考，它不是一个速成手册，而是一个需要投入时间去“咀嚼”和消化的深度读物，但这种投入绝对是值得的，它重塑了我对“理解”数学的定义。

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从一个更偏向应用的角度来看，我发现《代数与几何》虽然根基扎实于理论，但它对现代科学的关联性叙述得非常到位。作者在章节的末尾，会穿插一些简短而精炼的“展望”或“联系”，比如如何将这些基础的代数-几何工具应用于计算机图形学中的变换矩阵，或者在物理学中描述晶格结构。虽然这些应用并没有被深入展开（毕竟那会使书本过于庞杂），但它们起到了一个绝佳的“钩子”作用，让人明白这些看似古老的数学概念在当代科技中的生命力。我特别欣赏它对“不变性”这一核心思想的强调。无论是通过代数同态还是几何刚体运动，作者都在反复论证，数学的本质在于寻找那些在变换下依然保持不变的性质。这种对数学哲学层面的探讨，使得这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的熏陶。对于那些未来希望从事研究工作的学生来说，这本书提供的这种宏观视角是极其宝贵的，它帮助我们跳出具体的计算细节，去把握学科的全貌。

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说实话，我抱着极大的怀疑态度打开了这本书，因为我一直觉得“代数”和“几何”这两个领域，在现代数学中已经分化得太厉害了，很少有哪本书能真正把它们融合得天衣无缝。然而，《代数与几何》却成功地做到了这一点，它提供的不是简单的并列介绍，而是一种深层次的“对话”。我印象最深的是它对线性代数与射影几何的交叉论述。作者非常大胆地引入了张量和矩阵的概念来处理复杂的几何变换，比如透视投影，这在很多基础教材中是看不到的。这种处理方式极大地提升了我对空间感知的抽象能力。书中对不同数学分支之间的“桥梁”搭建得非常精妙，例如，如何用群论的观点来理解几何变换的对称性，这让我对对称性的理解从一个纯粹的视觉概念，提升到了一个更具结构性的代数框架。阅读过程中，我常常需要停下来，反复推敲那些看似简单的定义背后的深层含义，那种“豁然开朗”的感觉，是其他很多数学读物无法给予的。它迫使你不仅仅是计算，更是要去“看”和“感受”数学结构的美感。这本书的难度不低，但其提供的思维框架的价值，远远超过了学习具体解题技巧的意义。

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