常微分方程及其Maple MATLAB求解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:清华大学出版社

作者:钟益林

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页数:312

译者:

出版时间:2007-10

价格:29.80元

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isbn号码:9787302153917

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《常微分方程及其Maple MATLAB求解》 一、 内容简介 本书旨在为读者提供一套系统而实用的常微分方程（ODE）学习与求解指南。全书共分为三个主要部分：理论基础、Maple求解与MATLAB求解。 第一部分：常微分方程理论基础 本部分将全面而深入地介绍常微分方程的基本概念、理论以及重要的分析方法。我们将从最基础的定义出发，逐步引导读者理解常微分方程的内涵。 绪论： 介绍常微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等领域的广泛应用，激发读者学习的兴趣。阐述常微分方程在描述动态系统、建模现实问题中的核心作用。 一阶常微分方程： 基本概念与解的存在唯一性定理： 深入探讨解的存在性与唯一性条件，介绍Picard定理等重要理论，为后续的求解方法奠定理论基础。 可分离变量方程： 讲解这类方程的结构特点及求解步骤，并通过具体算例展示其应用。 齐次方程： 分析其特征，介绍变量代换等求解技巧。 线性方程： 详细阐述一阶线性方程的通解结构，以及常数变易法等求解方法。 全微分方程与积分因子： 介绍判定全微分方程的条件，以及如何构造积分因子将其转化为全微分方程。 Clairaut方程及Lagrange方程： 介绍这类特殊方程的求解方法，体会求解技巧的多样性。 应用： 通过一系列典型的应用问题，如人口增长模型、放射性衰变、电路分析等，展示一阶常微分方程在实际问题中的建模与求解能力。 高阶常微分方程： 二阶线性常微分方程： 常系数齐次线性方程： 详细介绍特征方程法，根据特征根的不同情况（实根、重根、复根）推导通解形式。 常系数非齐次线性方程： 讲解待定系数法和常数变易法，分别处理不同类型的非齐次项。 变系数线性方程： 介绍欧拉-Cauchy方程的求解方法。 高阶线性常微分方程： 推广二阶线性方程的理论，介绍常系数齐次与非齐次方程的求解。 高阶常微分方程的降阶法： 介绍在特定情况下如何将高阶方程转化为低阶方程求解。 应用： 深入探讨高阶常微分方程在物理学（如简谐振动、阻尼振动、受迫振动）、工程力学（如梁的挠度方程）等领域的应用，展示理论与实践的紧密联系。 常微分方程组： 基本概念： 介绍常微分方程组的定义、阶数、线性与非线性等。 线性常微分方程组： 常系数齐次线性方程组： 详细讲解利用特征值与特征向量求解的方法，包括矩阵指数法。 常系数非齐次线性方程组： 介绍待定系数法和积分法。 应用： 重点分析耦合振子系统、Lotka-Volterra捕食者-猎物模型等经典常微分方程组的应用问题，展示其在多变量动态系统分析中的重要作用。 奇点与稳定性理论： 奇点： 介绍常微分方程解的奇点概念，以及奇点分类。 稳定性： 引入平衡点、线性化稳定性分析等概念，讲解Lyapunov稳定性理论，为理解动态系统的长期行为提供理论框架。 相平面分析： 对于二维自治系统，介绍相平面的概念，分析相轨迹的形状，直观地理解系统的动态特性。 数值解法简介： 基本思想： 介绍常微分方程数值解的基本原理，将微分方程的解离散化为一系列点的计算。 几种基本方法： 简要介绍Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等常用的数值求解方法，为后续的计算求解做好铺垫。 第二部分：Maple求解 本部分将聚焦于利用强大的符号计算软件Maple来求解常微分方程。我们将展示Maple在理论分析和数值求解方面的强大功能。 Maple基础与符号计算： Maple环境介绍： 讲解Maple的基本操作界面、命令输入方式、变量定义与赋值等。 符号运算： 演示Maple在代数运算、微积分运算（求导、积分）、方程求解等方面的符号计算能力，为理解ODE符号解打下基础。 Maple求解一阶常微分方程： dsolve命令： 详细介绍`dsolve`命令在求解一阶显式与隐式常微分方程中的用法，包括指定初始条件和边界条件。 可视化： 利用Maple的绘图功能，绘制一阶常微分方程的解曲线，以及相平面图，直观展示解的行为。 Maple求解高阶常微分方程： dsolve命令的应用： 演示`dsolve`命令如何求解常系数、变系数以及一些特殊形式的高阶常微分方程。 解的解析形式： 展示Maple输出的解析解，并讲解如何进行化简与分析。 Maple求解常微分方程组： dsolve命令求解方程组： 演示`dsolve`命令在求解线性与非线性常微分方程组中的应用，以及如何处理多组初始条件。 Maple的数值求解功能： dsolve的数值解模式： 介绍`dsolve`命令如何设置数值求解参数，如步长、精度等。 odeplot命令： 演示如何利用`odeplot`命令绘制数值解曲线，并与解析解进行对比。 Maple在稳定性分析与相平面分析中的应用： 符号化稳定性分析： 演示Maple如何辅助进行平衡点的计算和线性化分析。 相平面可视化： 利用Maple绘制复杂系统的相平面图，帮助理解系统的动力学行为。 Maple的高级应用与技巧： 自定义函数与程序： 介绍如何利用Maple编写自定义函数和小程序来处理更复杂的ODE问题。 模型简化与参数分析： 演示Maple在简化模型和分析参数变化对解的影响方面的应用。 第三部分：MATLAB求解 本部分将转向使用广泛应用于工程与科学计算的MATLAB来求解常微分方程。我们将侧重于MATLAB的数值计算能力和丰富的工具箱。 MATLAB基础与数值计算： MATLAB环境介绍： 讲解MATLAB的开发环境，包括命令窗口、编辑器、工作空间等。 数值计算基础： 演示MATLAB在矩阵运算、向量运算、数值精度等方面的特性，为ODE数值求解奠定基础。 MATLAB求解一阶常微分方程： odefun的定义： 讲解如何按照MATLAB的要求定义ODEs的函数文件（M-file），包括显式和隐式方程。 ode45等求解器： 详细介绍MATLAB中最常用的ODE求解器，如`ode45`（基于Runge-Kutta 4(5)方法）、`ode23`、`ode113`等，讲解其调用格式和参数设置。 初始条件与时间区间： 演示如何为求解器指定初始条件和求解的时间区间。 结果的存储与处理： 讲解如何存储求解结果，并进行后续的数据分析。 MATLAB求解高阶常微分方程： 降阶处理： 演示如何将高阶常微分方程通过引入中间变量转化为一阶方程组，再利用MATLAB求解器求解。 直接求解高阶方程（有限）： 介绍MATLAB中少数可以直接求解高阶方程的函数（如果存在）。 MATLAB求解常微分方程组： 方程组函数定义： 演示如何定义描述常微分方程组的MATLAB函数文件。 求解器应用： 再次强调`ode45`等求解器在求解方程组中的通用性。 多输出变量处理： 讲解如何处理求解器返回的多个解分量。 MATLAB的数值求解与可视化： 绘图功能： 利用MATLAB的强大绘图功能，绘制数值解曲线、相平面图、三维图等，实现对解的直观理解。 动画演示： 介绍如何制作动态仿真动画，展示系统随时间演化的过程。 MATLAB的ODE工具箱与高级应用： 事件检测： 介绍如何利用MATLAB的事件函数来检测解在特定条件下的行为，如过零点。 参数扫描与灵敏度分析： 演示如何通过循环或向量化操作，对模型参数进行扫描，分析参数变化对系统行为的影响。 ODE文件的优化与效率： 讨论如何编写高效的ODE函数文件，提高计算速度。 与其他工具的结合： 简要介绍MATLAB如何与Simulink等工具结合，进行更复杂的系统仿真。 二、 学习对象 本书适合以下读者： 高等院校理工科专业的学生： 包括数学、物理、化学、工程类（机械、电子、自动化、航空航天等）专业的本科生和研究生，作为教材或参考书。 从事科学研究的科研人员： 需要利用常微分方程进行理论分析和数值仿真的研究者。 工程技术人员： 在实际工作中需要对动态系统进行建模和分析的工程师。 对常微分方程及其计算求解感兴趣的自学者。 三、 特色与亮点 理论与实践并重： 本书在深入讲解常微分方程理论的同时，提供了丰富的Maple和MATLAB实例，将抽象的数学概念与实际的计算工具紧密结合。 双软件覆盖： 同时介绍Maple（符号计算）和MATLAB（数值计算）这两种主流的数学软件，满足不同读者和应用场景的需求。Maple擅长解析求解与理论推导，MATLAB则在数值模拟与工程应用方面优势明显。 循序渐进的讲解： 内容从基础概念到高级应用，结构清晰，逻辑严谨，便于读者逐步掌握。 丰富的例题与应用： 穿插大量来源于物理、工程、生物等领域的实际问题，帮助读者理解方程的物理意义和应用价值。 可视化能力的强调： 重点展示Maple和MATLAB强大的绘图功能，鼓励读者通过图形化方式理解方程的解的行为，这是掌握ODE的重要途径。 实用性强： 强调计算工具的使用技巧，旨在培养读者独立利用软件解决实际常微分方程问题的能力。 通过本书的学习，读者将能够深刻理解常微分方程的理论精髓，并熟练掌握使用Maple和MATLAB这两种强大工具来求解各类常微分方程问题，从而为解决科学研究和工程技术中的复杂动态系统问题奠定坚实的基础。

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我必须强调一下这本书在章节组织上的精妙之处。它不是那种按部就班、线性推进的教材，而更像是一部精心编排的探险指南。它在讲解完基础的一阶方程后，并没有急着跳到高阶常系数方程，而是穿插了一个关于“定性分析”的专题章节。这一章节的引入非常及时，它告诉我们，即使找不到精确解，我们也可以通过研究特征值和相图来预测系统的长期行为。这种先“做减法”（定性分析）再“做加法”（精确求解）的结构，极大地拓宽了我的数学思维框架。它让我明白，求解微分方程不仅仅是寻找函数表达式，更是一种对系统行为的深刻洞察。这种“先见之明”的教学安排，体现了作者深厚的教学经验和对学科脉络的深刻把握。

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这本书的实用性令人惊叹，尤其是它对计算工具的整合。我过去学习微分方程时，总觉得理论学得再好，一旦面对复杂的非线性方程或需要数值解时就束手无策。但这本书直接将Maple和MATLAB的求解能力嵌入到了理论讲解中。我记得有一章专门讲龙格-库塔方法的收敛性和稳定性，书里不仅详细推导了公式，还紧接着给出了相应的Maple代码片段和MATLAB脚本，展示了如何设置步长、如何观察误差变化。这使得抽象的数值方法变得可视化、可操作化。每次我推导出一个解析解，都会立刻打开软件对照验证，这种即时反馈机制极大地增强了学习的信心和效率。对于想将数学知识应用于工程领域的人来说，这本书简直就是一本活的“工具手册”，教会你如何把笔尖上的数学“搬运”到计算机上运行。

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说实话，这本书的排版和图示设计也是我持续阅读的重要动力之一。很多数学书往往内容精彩但图文并茂方面做得不尽人意，让人阅读起来枯燥乏味。然而，这本书在图形展示方面做得非常出色。例如，在相平面分析部分，书中提供的那些相图——各种奇点的类型、轨迹的走向——都清晰得令人赞叹。作者似乎非常懂得如何用图形来辅助理解那些抽象的动态行为。我尤其喜欢它在介绍稳定性和极限环时，如何通过改变参数来动态观察系统行为的对比图示，那些曲线的微妙变化，比单纯的文字描述更能直观地揭示系统的敏感性。这种对视觉学习者的友好度，让长时间的深度阅读也不会感到疲劳，保持了极高的专注度。

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这本《常微分方程及其Maple MATLAB求解》简直是理论与实践结合的典范！我印象最深的是它对基本概念的讲解，清晰而不失深度。作者没有满足于简单罗列公式，而是深入剖析了常微分方程背后的物理和几何意义。比如，在讲解线性常微分方程的通解结构时，那种层层递进的逻辑推导，让我这个初学者也能茅塞顿开。书里大量的例题都非常贴近实际应用，从电路分析到振动问题，每一步的数学建模过程都展现得淋漓尽致。特别是那些涉及高阶方程和偏微分方程初步概念的章节，作者的处理方式非常巧妙，既不过分深奥，又能为后续的高级学习打下坚实的基础。读完前几章，我感觉自己对“微分方程是描述动态系统变化的语言”这句话有了更深刻的体会，而不仅仅是停留在解题层面。那种扎实严谨的学术风范，在众多数学教材中是难能可贵的。

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这本书对于自学者而言，友好度简直爆表，这可能是它最大的价值所在。我发现书中的每一个定理或引理后面，几乎都紧跟着一个详细的、不跳跃的证明过程。很多教材要么只给结论，要么证明过程跳过了关键的代数推导步骤，导致自学者卡壳。但《常微分方程及其Maple MATLAB求解》在这方面做到了极致的细致入微。即便是涉及到傅里叶变换在求解非齐次方程中的应用，作者也耐心地把积分和变换的每一步都掰开了揉碎了讲。我发现自己很少需要查阅其他参考资料来理解某个步骤，这极大地节省了我的时间，并培养了一种独立解决问题的能力。它更像是一位耐心的导师，时刻在你身边，在你需要的时候给出最清晰的指引。

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