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出版者:重庆出版社

作者:王则柯

出品人:

页数:287 页

译者:

出版时间:1990年10月1日

价格:6.95

装帧:精装

isbn号码:9787536613744

丛书系列:

图书标签:

• 同伦方法
• 拓扑学
• 代数拓扑
• 数学
• 高等数学
• 抽象代数
• 同调论
• 数学分析
• 微分几何
• 理论数学

拓扑动力学基础：结构、稳定性和演化 本书旨在为读者提供一个关于拓扑动力学领域的全面而深入的介绍，重点关注系统的结构、稳定性和时间演化过程中的不变性。我们避开了纯粹的代数拓扑或几何学视角，而是将重心放在如何利用拓扑概念来理解和分析实际系统（如微分方程、映射或随机过程）的行为。 全书分为五大部分，共十七章，层层递进，力求在理论严谨性与直观理解之间找到平衡。 第一部分：基础概念与度量空间（第1章至第3章） 本部分奠定了分析动力学系统的数学基础。我们首先从拓扑空间的基本概念出发，包括开集、闭集、紧致性、连通性以及度量空间的引入。在此基础上，我们探讨了拓扑结构如何影响函数和映射的性质，特别是连续性的定义在动力系统语境下的意义。 第1章：拓扑空间的重访与构造 详细讨论了常用拓扑结构（如子空间、商空间）的构造方法，并引入了均匀空间的概念，为后续讨论收敛性打下基础。着重分析了在有限维欧几里得空间中拓扑与度量的等价性，并引入了度量诱导拓扑的特性。 第2章：动态系统的初步视角：映射与流 将动力学系统抽象为拓扑空间上的映射或流。我们定义了前向和后向轨迹的概念，并引入了不变集和吸引子的初步描述。重点分析了Poincaré截面的概念，如何将高维连续流的分析转化为低维离散映射的研究。 第3章：收敛性、极限环与渐近行为 讨论了轨迹在长时间演化后可能收敛到的各种极限结构，包括不动点、周期轨道（极限环）和更复杂的结构。引入了李雅普诺夫函数的拓扑视角解释，即通过能量或某种“距离”函数的单调性来保证稳定性的存在。 第二部分：不变集与结构稳定性（第4章至第7章） 本部分深入探究了动力学系统中“不随时间变化”的结构，即不变集，以及系统对微小扰动（拓扑形变）的抵抗能力。 第4章：不变集的分类与层级 详细分析了最大不变集的性质。我们引入了互不连通不变集（Isolated Invariant Sets）的概念，并利用Bratteli图来描述这些集合之间的相互关系和能量传递的可能性。讨论了如何利用拓扑不变量来区分不同类型的互不连通不变集。 第5章：吸引子与吸引域的拓扑刻画 吸引子是系统演化的最终归宿。本章专注于吸引子的拓扑性质，如维度、连通性以及马克斯-普朗克吸引子的拓扑边界。引入了拓扑熵的概念，用以量化吸引子内部轨迹的复杂性或“混乱程度”。 第6章：结构稳定性与同胚 结构稳定性是动力系统鲁棒性的核心。我们定义了拓扑同胚，并讨论了何种系统（如莫斯定理所描述的系统）具有结构稳定性。关键在于理解拓扑等价与微分等价的区别，以及拓扑同胚如何保持系统的基本相图结构。 第7章：拓扑共轭与等效性 拓扑共轭提供了判断两个动力学系统本质上是否相同的标准。本章严格定义了拓扑共轭关系，并讨论了Ornstein-Weiss等关键结果在验证共轭性中的应用。特别关注了具有相同拓扑熵的系统是否必然共轭的问题。 第三部分：连通性、度量与拓扑测度（第8章至第10章） 本部分将拓扑学的连通性概念与系统演化的测度理论相结合，为理解遍历性打下基础。 第8章：连通性、路径连通性与拓扑本征值 探讨了在动力学系统中，连通性如何影响轨迹的传播能力。引入了拓扑本征值的概念，它们描述了空间中特定结构（如环或高维孔洞）的“大小”，并与系统的谱隙问题相关联。 第9章：测度论基础与不变测度 将测度引入拓扑空间，定义了不变测度（Invariant Measure）。这对于概率性的动力系统至关重要。我们探讨了勒贝格测度在流形上的推广，并讨论了Borel集的性质如何影响不变测度的定义。 第10章：遍历定理与拓扑混合性 重点介绍庞加莱回归定理（Poincaré Recurrence Theorem）的拓扑解释，以及拓扑混合性的概念，即系统是否能“触及”空间的任何两个非空开区域。讨论了拓扑混合性与遍历性之间的微妙关系。 第四部分：流形上的动力学与微分结构（第11章至第14章） 本部分将分析对象置于光滑流形上，引入了切丛和张量场的概念，探讨拓扑与微分结构的交汇点。 第11章：流形与向量场的基础 回顾了光滑流形的定义，以及如何在此基础上构造向量场（微分方程的几何表述）。引入了流（Flow）的概念，以及流的局部性质（如存在性和唯一性定理）。 第12章：不变流形与 Hartman-Grobman 定理的几何解读 深入分析了线性化（Jacobian矩阵）在不动点附近对动力学行为的局部预测能力。本章提供了Hartman-Grobman定理的拓扑视角，即局部拓扑共轭的存在性，并讨论了其局限性（如中心流形问题）。 第13章：同调群与环路结构 利用代数拓扑工具，特别是基本群和同调群，来捕捉流形上的“洞”和“环路”。这些拓扑不变量对于识别系统中不存在的简单极限环或区分具有不同拓扑结构的流形至关重要。 第14章：李雅普诺夫指数与混沌的拓扑指标 引入了李雅普诺夫指数作为量化指数分离或收敛的指标。我们将指数的平均值与拓扑熵联系起来，并探讨了单调李雅普诺夫谱的性质，这是区分确定性混沌与随机过程的关键拓扑特征。 第五部分：拓扑不变量与系统分类（第15章至第17章） 本部分总结前述工具，专注于如何利用拓扑不变量对动力学系统进行更精细的分类，特别是对于那些具有复杂结构的系统。 第15章：吸引子的拓扑几何 聚焦于复杂吸引子（如奇异吸引子）的拓扑维度和Hausdorff维度的关系。讨论了分形结构的出现如何挑战传统拓扑概念，并引入了拓扑维度（如覆盖维度）来描述这些复杂集合的内在结构。 第16章：全局截面与拓扑分类 探讨了在更高维空间中，如何通过构造全局截面（Global Cross-Sections）来简化系统的研究，并利用截面上映射的拓扑性质来推断整个流的性质。讨论了鞍点的拓扑结构对全局相图的决定性影响。 第17章：拓扑动力学的未来展望与未解决问题 总结了当前领域内悬而未决的重大问题，如拓扑熵与其它系统参数之间的精确关系，以及在无限维空间中应用这些拓扑工具的挑战。强调了拓扑方法在理解复杂网络和生物系统中的潜力。 本书的叙述风格力求清晰、严谨，并辅以大量的几何直觉和例子，帮助读者从根本上理解拓扑学原理在动力学分析中的核心作用。

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我发现这本书在理论的广度和深度上取得了令人称赞的平衡。它既没有过度简化，以至于丧失了数学的严谨性，也没有陷入不必要的细节泥潭，使得读者望而却步。书中对某些现代研究热点（例如，与低维流形分类相关的最新进展）的介绍，也体现了作者对学科前沿的敏锐把握。对于研究生阶段的学生而言，这本书无疑是一本极佳的参考书。它提供了一个扎实的理论基石，足以支撑后续深入到更专业化、更前沿的课题研究中去。更重要的是，它培养了一种“拓扑思维”——即关注不变性和整体结构的能力，而非仅仅关注局部细节。这种思维方式的培养，对于任何希望在数学或理论物理领域做出创新性工作的研究者来说，都是无价的。它教会我们如何从更宏观的角度去审视问题，抓住问题的本质结构。

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这本书的排版和图示质量，对一本涉及复杂几何概念的专业书籍来说，至关重要。令人欣慰的是，出版方在这方面投入了极大的精力。那些三维空间的投影图、流形上的切向量场示意图，都清晰锐利，标注准确无误，极大地降低了读者在脑海中重构复杂几何场景的认知负荷。很多同类书籍在处理高维空间的可视化时往往显得力不从心，导致读者不得不依赖外部资源辅助理解，但这本教材则提供了一个自洽的视觉环境。此外，作者在章节间的逻辑过渡处理得非常优雅，一个概念的引入往往是基于前一个概念的自然延伸，如同构建一座精巧的数学迷宫，每走一步都能清晰地看到出口的方向，但又不失探索的乐趣。这种结构上的清晰度，使得我在进行深度学习时，很少需要频繁地回溯查阅前文，阅读体验堪称流畅顺滑。

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这本书的语言风格，在我阅读过的专业教材中，可以说是独树一帜的。它摈弃了传统教科书那种刻板、说教式的口吻，转而采用了一种更具对话性和启发性的笔调。作者似乎更像是一位经验丰富的导师，耐心地引导你思考，而不是简单地向你灌输既定的知识点。阅读过程中，你会时不时地感受到那种“啊，原来如此！”的豁然开朗的时刻，这很大程度上归功于作者善于捕捉到初学者在概念理解上的常见难点，并提前设置好“陷阱”或“引导点”。这种人文关怀渗透在每一页的字里行间，使得漫长的阅读过程也变得充满趣味性。对于那些曾经因为枯燥教材而放弃学习某些高深数学领域的读者，我强烈推荐尝试这本书，它或许能重新点燃你对数学结构之美的热情和探索欲。

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对于一个侧重于应用数学背景的读者而言，我原以为这种偏向纯粹理论的书籍可能会显得有些枯燥和遥远，但事实证明我的担忧是多余的。这本书在讲解基本原理时，采用了非常务实的态度。它没有止步于空泛的理论探讨，而是通过一系列精心挑选的例子，展示了这些拓扑工具在解决实际工程或理论物理问题时的强大威力。例如，书中对某些特定网络结构的分析，清晰地揭示了传统基于距离的度量方法在处理复杂连接性问题时的局限性，进而自然地引出了更高阶的结构分析方法的必要性。我尤其关注了其中关于稳定性分析的部分，作者如何利用代数拓扑的工具来界定系统的鲁棒性边界，这种跨学科的融合处理得非常流畅。整本书的节奏把握得恰到好处，每章末尾的习题设计也非常巧妙，它们不是简单的重复计算，而是引导读者思考如何将新学的概念迁移到不同的场景中去解决问题，真正做到了学以致用，而不是仅仅停留在纸上谈兵的层面。

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这本书的内容简直是为那些对高维空间、拓扑结构及其在现代物理学中应用感到好奇的人量身定制的。作者的叙述方式非常引人入胜，他巧妙地将抽象的数学概念与直观的几何图像结合起来，使得即便是初学者也能在不感到迷茫的情况下，逐步深入到复杂的理论框架中去。特别是对于那些长期在传统线性代数和微积分的范畴中打转，渴望接触更深层次结构性理论的读者来说，这本书提供了一个绝佳的切入点。它不仅仅是关于如何计算积分或求解微分方程，而更多的是关于理解空间本身的“形变”和“连接性”如何影响我们对世界的基本认知。我特别欣赏其中对经典拓扑学分支的梳理，那些关于连通分支、洞的数量（亏格）的讨论，都处理得深入浅出，没有那种为了炫耀数学深度而堆砌的晦涩术语，反而处处体现着教学的匠心。读完后，我感觉自己对现代物理学中那些依赖于流形理论和纤维丛理论的基础构建，有了一种全新的、更加扎实的理解基础。这种由内而外的领悟，远比死记硬背公式来得更有价值。

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