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出版者:Springer

作者:Peter Deuflhard

出品人:

頁數:424

译者:

出版時間:2004-04-26

價格:USD 119.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9783540210993

叢書系列:

圖書標籤:

• Newton方法
• 非綫性問題
• 優化算法
• 數值分析
• 迭代方法
• 數學建模
• 科學計算
• 工程應用
• 數值解
• 函數求解

《現代數值分析：理論、算法與應用》 圖書簡介 本書係統而深入地探討瞭現代數值分析的核心理論、關鍵算法及其在實際工程與科學問題中的廣泛應用。它旨在為高等院校數學、計算科學、工程學及物理學等專業的學生和研究人員提供一本全麵、嚴謹且具有高度實踐指導意義的參考書。本書內容覆蓋瞭從基礎概念到前沿技術，力求在理論深度與應用廣度之間取得完美的平衡。 第一部分：基礎理論與誤差分析 本部分為後續復雜算法的理解奠定堅實的基礎。 第一章：數值計算的基本概念與誤差理論 本章首先介紹瞭數值計算在現代科學中的不可替代性，隨後深入剖析瞭有限精度算術對計算結果的影響。重點討論瞭截斷誤差（Truncation Error）與捨入誤差（Round-off Error）的來源、量化方法以及誤差傳播規律。引入瞭條件數（Condition Number）的概念，用以衡量問題的固有敏感性，並闡述瞭如何通過嚮後誤差分析（Backward Error Analysis）來評估算法的數值穩定性。詳細分析瞭浮點數的IEEE 754標準及其在C/Fortran等主流語言中的實現機製。 第二章：綫性代數方程組的求解 本章聚焦於形如 $Ax=b$ 的綫性係統的數值解法。首先復習瞭直接法（如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解）的原理、計算復雜度和穩定性。隨後，詳細闡述瞭迭代法，包括雅可比（Jacobi）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）以及超鬆弛迭代法（SOR）。特彆關注瞭對稱正定係統中的共軛梯度法（Conjugate Gradient, CG）的推導過程、收斂性證明及其預處理技術的應用，如不完全LU分解（ILU）和不完全Cholesky分解（IC）。 第二部分：插值、逼近與積分 本部分著重於利用已知數據點構造函數近似以及數值積分技術。 第三章：函數插值與數據擬閤 本章係統介紹瞭插值理論。從基礎的拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）和牛頓有限差分法齣發，分析瞭其局限性。隨後重點介紹瞭分段插值，特彆是三次樣條插值（Cubic Spline Interpolation）的構造原理，證明瞭其二階導數的連續性及其在平滑擬閤中的優勢。同時，本章也涵蓋瞭最小二乘擬閤（Least Squares Fitting），包括多項式擬閤和綫性加性模型擬閤，並探討瞭病態數據對擬閤結果的影響。 第四章：數值微分與積分 本章首先討論瞭基於泰勒展開的數值微分公式的推導，包括前嚮、後嚮和中心差分公式，並分析瞭它們的誤差階。隨後，核心內容轉移到數值積分（Quadrature），從基礎的梯形法則（Trapezoidal Rule）和辛普森法則（Simpson's Rule）入手，推廣到復閤積分公式。重點講解瞭高斯求積（Gaussian Quadrature）的理論基礎——正交多項式，闡述瞭其超收斂性及其在精確積分區間的優越性能。 第三部分：常微分方程的數值解法 本部分是工程和物理模擬的基石，詳細介紹瞭求解常微分方程（ODE）的數值方法。 第五章：單步法與穩定性分析 本章針對初值問題 $frac{dy}{dt} = f(t, y)$ 展開。首先介紹瞭歐拉方法（Euler's Method）的正嚮、後嚮形式，並分析瞭其局部截斷誤差和全局誤差。隨後，係統闡述瞭龍格-庫塔（Runge-Kutta, RK）方法，特彆是二階和四階RK方法的具體步驟。重點討論瞭局部截數範圍（Local Truncation Error）和絕對穩定性域（Region of Absolute Stability）的概念，這是判斷方法能否應用於剛性（Stiff）問題的前提。 第六章：多步法與剛性方程組 本章引入瞭利用多個曆史信息點來預測當前值的多步法。詳細介紹瞭Adams-Bashforth（顯式）和Adams-Moulton（隱式）公式的構造與收斂性。進一步深入探討瞭剛性微分方程組（Stiff ODEs）的特性及其對顯式方法造成的計算睏難。引入瞭嚮後差分公式（BDF）和隱式歐拉法作為求解剛性問題的有效工具，並討論瞭在每一步迭代中求解代數方程組的數值策略。 第四部分：特徵值問題的數值解法 本部分關注矩陣的固有特性——特徵值和特徵嚮量的計算。 第七章：矩陣特徵值問題的直接法 本章探討瞭計算大型稀疏矩陣特徵值的有效策略。首先迴顧瞭冪迭代法（Power Iteration）及其局限性（如無法找到最小特徵值）。隨後，重點闡述瞭將一般的對稱矩陣轉化為對角化矩陣（通過Householder變換）或三對角矩陣（通過Givens鏇轉）的相似變換方法。詳細介紹瞭QR算法的迭代過程，包括QR分解如何逐步收斂到Schur形式，從而提取特徵值。 第八章：大規模稀疏特徵值問題的迭代法 針對超大型稀疏矩陣，直接法計算成本過高。本章聚焦於基於投影的方法。詳細介紹瞭Lanczos迭代法在對稱矩陣上的應用，該方法通過構造三對角矩陣來近似原問題。對於非對稱矩陣，則介紹瞭Arnoldi迭代法及其在構建Hessenberg矩陣中的應用。最後，討論瞭子空間迭代法和瑞利商預處理在加速特徵值收斂中的作用。 第五部分：非綫性方程組的數值求解 本部分迴歸到超越方程和方程組的求解，是工程優化和係統辨識的核心工具。 第九章：單變量非綫性方程的求解 本章係統介紹瞭求解 $f(x)=0$ 的方法。從基於區間收斂的二分法（Bisection Method）開始，到要求導數的牛頓法（分析其二次收斂性）。隨後，重點介紹瞭割綫法（Secant Method）和假位法（Regula Falsi）作為牛頓法的替代方案。深入分析瞭全局收斂性，並探討瞭阻尼牛頓法在處理病態函數時的魯棒性增強策略。 第十章：多維非綫性方程組的求解 本章擴展至求解 $mathbf{F}(mathbf{x}) = mathbf{0}$。核心在於多維牛頓法，詳細推導瞭雅可比矩陣（Jacobian Matrix）的構建和利用綫性係統求解器（如CG或稀疏LU）求解牛頓步長。著重分析瞭大規模稀疏非綫性係統的迭代策略，包括準牛頓法（Quasi-Newton Methods），如BFGS和Broyden方法，它們通過近似雅可比矩陣的逆來避免昂貴的矩陣求逆操作。本章還討論瞭信賴域方法（Trust-Region Methods）在確保全局收斂性中的關鍵作用。 總結 全書結構嚴謹，覆蓋瞭現代數值分析的主要分支。每個算法都配有詳細的數學推導、清晰的收斂性分析以及對計算復雜度和穩定性的深入探討。書中穿插瞭大量的算例和應用背景介紹，旨在培養讀者利用理論知識解決實際問題的能力。本書不僅適用於課堂教學，更是從事計算科學領域研究工作的專業人士案頭必備的工具書。

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我最近在進行一項關於復雜係統建模的工作，手頭正好缺一本能係統梳理和對比主流數值求解算法的參考書。這本書的廣度和深度給我留下瞭非常深刻的印象。它不僅僅停留在牛頓法本身，而是非常深入地探討瞭各種變體，比如擬牛頓法（Quasi-Newton Methods）的實現細節，包括BFGS和DFP算法的推導過程，這一點我非常欣賞。很多同類書籍往往隻是蜻蜓點水地提一下，但這裏卻是詳盡地給齣瞭每一步矩陣更新的理由和實際應用中的注意事項。更讓我驚喜的是，它對全局收斂性策略的討論非常到位，不像有些理論書籍隻關注局部收斂，這本書花瞭大量篇幅講解如何通過綫搜索（Line Search）技術，比如Armijo條件或者Wolfe條件，來保證算法在更廣泛的初始點附近也能穩定工作。這種將理論推導與實際工程魯棒性緊密結閤的處理方式，極大地提升瞭這本書作為工具書的價值。我感覺它更像是一個資深顧問，而不僅僅是一個知識的搬運工。

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我從一個側麵評價這本書的價值：它成功地將一個看似單一的數學主題——牛頓迭代，拓展成瞭一整個數值優化方法論的景觀。它不是一本快速入門指南，而是像一本“方法論辭典”，每一個章節都可以單獨拿齣來進行深入研讀。例如，關於信賴域（Trust Region）方法的介紹，不僅涵蓋瞭經典模型，還探討瞭在計算量受限時如何動態調整區域大小的啓發式算法。這本書的行文風格非常冷靜、客觀，極少使用誇張的修辭，但其嚴謹的邏輯鏈條本身就構成瞭強大的說服力。它要求讀者投入時間去理解每一個數學符號背後的物理意義或幾何直覺，一旦跨越瞭最初的理解門檻，你會發現自己對整個非綫性方程求解領域都有瞭一個全新的、更加結構化的認識。這本書無疑會成為我書架上被頻繁翻閱的參考工具之一。

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坦白說，這本書的閱讀過程充滿挑戰，但收獲也頗豐。它對算法收斂速度的分析部分，尤其是涉及高階導數連續性的假設，寫得極其嚴謹。作者沒有迴避數學證明的復雜性，而是采取瞭一種逐步深入的方式，先給齣直觀的解釋，隨後是嚴密的定理闡述，最後輔以反例來界定理論的邊界。我個人特彆關注非光滑優化問題，而這本書中關於次梯度（Subgradient）方法的介紹，雖然篇幅相對較短，但它精準地指齣瞭這些方法在處理非凸、非光滑函數時的固有局限性，以及何時應該轉嚮更現代的正則化技術。這讓我對現有工具的適用範圍有瞭更清醒的認識。唯一讓我感到略有遺憾的是，在涉及並行計算或GPU加速求解大型稀疏係統時，書中的案例多傾嚮於傳統的串行實現，對於緊跟當前高性能計算潮流的讀者來說，可能需要額外查閱其他資料來彌補這方麵的應用視角。

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這本書的裝幀設計確實挺有意思，封麵選用的那種深藍色調，配上簡潔的幾何字體，給人一種既專業又略帶復古的感覺。拿到手裏掂量瞭一下，紙張的質感相當不錯，印刷清晰，排版也很有條理，這對於一本需要長時間閱讀和查閱的專業書籍來說，是至關重要的。我特彆注意到，作者在章節的開頭似乎加入瞭一些簡短的“思考題”或者“曆史背景”的引言，這讓原本可能枯燥的數學概念顯得生動瞭一些。它不像很多教材那樣隻是冷冰冰地羅列公式，而是試圖構建一個知識的脈絡，讓你明白為什麼需要發展齣某一種特定的數值迭代方法。比如，在討論到收斂性分析的部分，作者用瞭大量的圖示輔助理解，這些圖示的設計非常巧妙，清晰地展示瞭不同參數下迭代路徑的差異，這一點對於我這種更依賴視覺學習的人來說，簡直是福音。不過，話說迴來，雖然排版和設計上力求友好，但內容的深度顯然是為有一定數學基礎的讀者準備的，那些基礎概念的鋪墊相對較少，估計初學者上手需要更高的專注度。整體來看，這本書在“閱讀體驗”這個維度上，是下瞭不少功夫的。

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這本書的實用性體現在它對“失敗案例”的剖析上。很多教科書總是展示算法如何完美工作，但這本書卻花瞭相當的篇幅去探討：當你的雅可比矩陣病態（ill-conditioned）時會發生什麼？當函數值在迭代過程中發散時，你該如何“診斷”問題齣在哪裏？作者提供瞭一套非常實用的調試清單和排查思路，這對於那些試圖將理論應用於真實世界復雜、往往不那麼“聽話”的數據集的研究人員來說，是無價之寶。舉個例子，它詳細分析瞭有限差分逼近梯度時步長選擇的敏感性，並給齣瞭基於相對誤差控製的建議步長範圍。這種細節上的關注，體現瞭作者深厚的實踐經驗。它不僅僅是告訴你“怎麼做”，更是在教你“為什麼這樣做會齣錯”以及“如何避免齣錯”，這種教學理念非常成熟和人性化。

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