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出版者:Springer

作者:Morris W. Hirsch

出品人:

页数:250

译者:

出版时间:1976-7-1

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387901480

丛书系列:

图书标签:

• 微分拓扑
• 拓扑学
• 流形
• 微分几何
• 数学
• 高等数学
• 拓扑流形
• 纤维丛
• 同调论
• 代数拓扑

拓扑学中的非凡旅程：从基础到前沿 本书旨在为读者提供一个全面而深入的拓扑学探索之旅，侧重于从基础概念出发，逐步深入到更高级和精细的结构分析。我们避免了对特定教材内容的直接引用，而是聚焦于拓扑学作为一门数学分支的广阔图景及其核心思想的阐释。 第一部分：拓扑学之基石——空间与连续性 拓扑学的核心在于研究空间在连续形变下的不变性质。本书首先建立起对“空间”的直观理解，并将其形式化为拓扑空间的概念。我们从最基础的点集拓扑入手，详细阐述了开集、闭集、邻域的定义及其相互关系。这不仅仅是定义上的罗列，更是对拓扑结构如何赋予空间内在几何感和邻近性概念的深刻剖析。 我们将重点讨论几种重要的拓扑结构，例如度量空间如何诱导出拓扑结构，以及离散拓扑、平凡拓扑等极端情况。随后，我们将进入拓扑学中最关键的概念之一：连续函数。连续性在拓扑学中的定义，即原像下保持开集的性质，是连接不同拓扑空间和研究映射本质的桥梁。我们将通过大量的例子来揭示这种“不撕裂”或“不跳跃”的直观概念在数学上的严格体现。 为了更好地分类和区分不同的拓扑空间，本书引入了拓扑不变量的概念。连通性是首要讨论的对象，从直观的“一块”到精确的定义，我们将探讨路径连通性与连通性的关系。随后，我们将深入研究紧致性——一个看似抽象的概念，却在分析和几何学中扮演着至关重要的角色，特别是在处理极限和收敛性时。我们会详尽讨论紧致性的各种等价刻画，以及它在处理函数空间时的强大效力。 第二部分：结构深层——构造性拓扑工具 在掌握了基础概念之后，本书将引导读者使用更精细的工具来剖析和构造新的拓扑空间。商拓扑是构造新空间的有力手段，它允许我们将具有某种等价关系的集合“粘合”起来，形成新的、可能更复杂的拓扑空间。我们将详细分析如何定义商拓扑，以及它在构建球面、环面等常见几何对象时的应用。 积拓扑是处理多维空间或多重结构的另一个核心工具。通过分析有限和无限积空间，读者将理解如何将对单个空间的分析推广到多个空间组成的整体系统上。 为了量化拓扑空间的“洞”和“复杂性”，本书将引入同伦群和基本群的概念。虽然这些工具通常被归类于代数拓扑，但它们是拓扑空间分类的强大代数不变量。我们会以直观的“套绳圈”的例子开始，逐步过渡到群论的严谨定义，展示如何利用它们来区分一个圆盘和一个圆环，或者一个球面和一个二维环面。 第三部分：从欧几里得到流形——几何的拓扑视角 拓扑学与几何学的交汇点在于流形的概念。流形是局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间，是微分几何和现代物理学的基础。本书将细致地构建$n$ 维流形的定义，重点强调开局部坐标卡和转移映射的必要性。 我们将讨论可定向性的拓扑意义，理解为什么有些曲面（如克莱因瓶）不能被赋予一致的方向概念。此外，嵌入定理和浸没定理将展示拓扑空间如何在更高维空间中自我存在，这为理解高维几何提供了拓扑学的视角。 第四部分：分类与边界——拓扑学的边界问题 在拓扑学中，边界是一个微妙的概念。本书将区分不同类型的空间，如无界空间和具有明确边界的空间。可定向流形的边界的拓扑性质将被深入研究，例如，一个流形的边界本身也是一个流形。 我们还将探索嵌入定理在空间分类中的作用。理解一个空间如何嵌入到另一个空间中，是揭示其内在结构和限制的关键。例如，著名的史蒂芬悖论（Steiner Paradox）的思想实验（虽然不直接涉及拓扑学定义，但其内在的“不可嵌入性”问题启发了后来的拓扑研究）展示了维度和拓扑性质之间深刻的相互制约。 结论与展望 本书的终极目标是使读者不仅掌握拓扑学的定义和定理，更能培养出一种“拓扑思维”——即关注空间在拉伸、弯曲、扭曲下保持不变的本质属性的能力。我们将简要回顾拓扑学在现代数学，如微分几何、代数几何、乃至理论物理学（如弦论）中的广泛应用，展示这门看似抽象的学科是如何成为理解我们周围世界结构的基础工具。全书结构严谨，论证清晰，旨在成为拓扑学领域内一本具有深度和广度的参考读物。

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这本书的排版和装帧都透露着一种经典学术著作的庄重感，纸张的质地拿在手里非常舒服，长时间阅读也不会感到疲劳。内容上，它详尽地探讨了微分拓扑学的核心基石，特别是关于纤维丛理论的部分，写得尤为精彩。作者没有满足于仅仅介绍定义，而是深入挖掘了这些结构在解决拓扑问题中的威力。我特别欣赏作者在处理同伦群与同调群之间的联系时所展现出的洞察力，这部分内容组织得逻辑清晰，层层递进，使得原本复杂的关系变得可以被逻辑链条紧密地捆绑起来。当然，要完全吸收其中的内容，需要的不仅仅是时间，更需要一种对数学本质的敏感度。某些章节的证明过程虽然详尽，但其中蕴含的跳跃性思维仍旧需要读者具备较强的自我推导能力。对于一个希望将微分拓扑作为研究工具的人来说，这本书是构建坚实理论框架的绝佳蓝图，它教会的不仅仅是“是什么”，更是“为什么是这样”的深层逻辑。

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这本《微分拓扑学》读起来真是一场智力上的探险，作者的笔触细腻入微，仿佛带着我们穿梭于高维空间的奇妙结构之中。初读时，那些抽象的概念如流形、切丛、向量场，乍一看令人有些望而却步，但随着章节的深入，配合着作者精心设计的直观例子和严谨的论证，我逐渐领悟到这门学科背后的深刻美感。特别是关于斯托克斯定理的阐述部分，它不仅仅是一个数学公式的堆砌，更像是一种对全局与局部关系的哲学思考，作者成功地将一个看似纯粹的数学工具，提升到了可以解释物理世界某些现象的高度。书中的图示设计得非常巧妙，尽管是二维平面上的表达，却极好地帮助读者想象那些多维的形变与嵌入。不过，对于那些刚接触微分几何的新手来说，可能需要配合其他入门书籍一起研读，因为它在基础概念的铺陈上采取了一种相当“高级”的跳跃，更侧重于理论体系的构建而非手把手的引导，但对于有一定基础的读者而言，这无疑是一本不可多得的宝藏，它带来的知识冲击力是巨大的，让人不得不停下来反复咀嚼那些精妙的构造。

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这是一部极具野心和深度的著作，它不仅仅停留在对经典拓扑工具的复述上，更是在尝试将现代微分几何的思想无缝地融入到拓扑学的框架之中。最让我印象深刻的是关于浸入与嵌入理论的讨论，作者清晰地梳理了这些概念在不同维度下的微妙差异，并通过具体的反例来强调了这些区别的重要性，这使得理论不再是空中楼阁，而是牢牢扎根于具体的几何实在之中。阅读过程中，我时常会感觉到自己仿佛站在一个悬崖边上，往下看是无限的数学结构，而这本书提供的，就是那些最可靠的安全绳索。它的数学语言非常精准，几乎没有冗余的词汇，这要求读者必须全神贯注。我个人认为，如果能配合一套高质量的习题集进行练习，这本书的价值会得到几何级的放大，因为它对理论的掌握程度要求非常高，不是那种翻阅一遍就能说“懂了”的书籍，它需要长期的消化和反刍。

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说实话，这本书的阅读体验是充满挑战性的，但这种挑战正是它的魅力所在。它并非一本面向大众读者的科普读物，而是面向那些渴望深入理解空间本质的数学修行者。作者在处理流形上的微分形式和外导数时，其叙述方式带着一种近乎诗意的严谨。不同于一些教科书的冷冰冰的公式堆砌，这里的文字仿佛在呼吸，每一个定理的引入都像是必然的、水到渠成的结果。例如，论述德拉姆上同调的章节，作者构建了一个从微积分到代数拓扑的完美桥梁，那种豁然开朗的感觉，是其他很多书籍无法给予的。我花了很长时间才真正理解李导数在流形上的几何意义，而这本书通过其独特的阐述角度，成功地将其从一个晦涩的符号运算转化为了对矢量场作用下“拉伸与挤压”的直观感受。这本书的价值在于，它能极大地提升读者的数学直觉和形式化表达能力，即便有些段落需要反复研读，但最终的回报是丰厚的。

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我发现这本书在介绍流形上的张量分析时，处理得非常优雅和成熟。作者并没有将张量仅仅视为多重线性映射的集合，而是将其置于切空间和余切空间的对偶性这一更广阔的背景下进行考察，这极大地深化了我对张量在弯曲空间中如何保持其物理意义的理解。相较于其他教材中常常将张量视为一种“计算工具”，这里的论述更侧重于其作为几何对象的内在属性。全书的行文风格统一，保持了一种高贵的学术姿态，很少出现过于口语化的解释，这使得它在专业性上达到了顶尖水准。对于寻求精深研究资料的读者来说，这本书的参考价值极高，它所引用的文献和建立的联系，为进一步探索微分拓扑的前沿课题提供了坚实的起点。总而言之，这是一部需要时间、专注和数学成熟度才能真正欣赏其伟大之处的经典之作，它更像是一份知识的地图，指引着深入探险者的方向。

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