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出版者:科學

作者:陳公寜

出品人:

頁數:353 页

译者:

出版時間:2007年08月

價格:56.00元

裝幀:平裝

isbn號碼:9787030195319

叢書系列:現代數學基礎叢書

圖書標籤:

• 數學
• 矩陣理論與應用
• 2007
• 矩陣理論
• 綫性代數
• 數學
• 高等教育
• 應用數學
• 數值計算
• 工程數學
• 科學計算
• 矩陣分析
• 數學建模

《離散數學基礎與算法設計》 內容簡介 本書旨在為讀者係統性地構建離散數學的理論框架，並深入探討其在現代計算機科學與工程領域中的核心應用，特彆是算法設計與分析。全書結構嚴謹，內容詳實，力求在理論深度與實踐廣度之間取得完美平衡，是高等院校數學、計算機科學、信息工程等專業本科生及研究生學習離散數學的理想教材，同時也是相關領域研究人員和工程師提升專業素養的參考手冊。 本書共分為六大部分，共計十八章，內容涵蓋瞭離散數學的經典核心概念與前沿交叉領域。 第一部分：邏輯與證明 本部分聚焦於數學推理的基石——命題邏輯與謂詞邏輯。詳細闡述瞭命題的結構、連接詞的運算、真值錶、邏輯等價性以及推理規則（如肯定前件、否定後件等）。我們不僅教授如何形式化地錶達日常語言中的邏輯語句，更側重於自然演繹法的訓練，使讀者能夠熟練運用這些工具來構建嚴謹的數學證明。 謂詞邏輯部分，引入瞭量詞（全稱量詞與存在量詞）的概念，並探討瞭如何將復雜的、含有變量的陳述轉化為規範的邏輯錶達式。重點內容包括一階邏輯的完備性與可靠性引言，為後續的集閤論和關係理論打下堅實的邏輯基礎。 第二部分：集閤論與基礎結構 本部分是理解所有離散結構的基礎。從樸素集閤論齣發，係統地介紹瞭集閤的運算（並、交、差、冪集、笛卡爾積）及其性質。我們深入探討瞭容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle），並通過豐富的實例展示瞭它在計數問題中的強大威力。 隨後，內容擴展至函數的嚴格定義（單射、滿射、雙射）及其性質，特彆是逆函數和復閤函數的概念。本部分對無窮集閤的概念進行瞭初步的接觸，引入瞭基數的直觀理解，為後續的可數性與不可數性討論埋下伏筆。 第三部分：關係、排序與圖論的引入 關係理論是連接集閤與結構的關鍵橋梁。本書詳細討論瞭二元關係的錶示方法（如鄰接矩陣）及其性質（自反性、對稱性、傳遞性）。核心章節集中於等價關係與偏序關係。等價關係下的劃分概念將被詳盡闡述，而偏序關係則引齣哈斯圖（Hasse Diagrams），直觀展示瞭部分有序集（Poset）的結構。 從關係過渡到圖論，本部分首次引入瞭圖的基本術語，如頂點、邊、度、子圖等。我們對連通性、歐拉路徑和哈密頓路徑進行瞭初步的介紹，並展示瞭如何利用矩陣來刻畫圖的結構特性。 第四部分：圖論的深入分析與應用 圖論部分是本書的重點之一，與算法設計緊密結閤。本章係統地剖析瞭各類特殊圖，如完全圖、二分圖、平麵圖等。 關鍵主題包括： 1. 圖的著色問題：圖的色數及其相關定理（如四大顔色猜想的曆史背景）。 2. 樹結構：樹的定義、性質，以及生成樹的概念。重點講解瞭最小生成樹算法（普裏姆算法和剋魯斯卡爾算法）的原理、步驟與復雜度分析。 3. 最短路徑問題：詳盡分析瞭迪傑斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）和貝爾曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm），特彆強調瞭它們處理負權邊的能力差異。 4. 網絡流：引入最大流-最小割定理，探討瞭福特-富爾剋森算法的基本思想，展示瞭圖論在資源分配問題中的實際效能。 第五部分：計數方法與組閤分析 本部分緻力於發展係統性的計數工具，超越瞭簡單的排列組閤公式。我們從鴿巢原理（Pigeonhole Principle）的簡單應用開始，逐步深化到更復雜的計數技術。 核心內容包括： 1. 生成函數（Generating Functions）：作為解決遞推關係和組閤問題的強大代數工具，本書詳細介紹瞭普通生成函數和指數生成函數的構造與使用，特彆是如何利用其係數來解答特定組閤問題。 2. 遞推關係（Recurrence Relations）：重點分析瞭綫性齊次與非齊次遞推關係的求解方法，包括特徵方程法和利用生成函數求解，並將其應用於分析算法的運行時間（如分治算法的復雜度）。 第六部分：代數結構基礎與編碼理論 最後一部分將讀者帶入抽象代數的初步視野，這些結構在加密學和編碼理論中扮演核心角色。我們定義瞭群（Groups）、環（Rings）和域（Fields）的基本概念，側重於有限域（如$mathbb{Z}_p$）的應用。 將這些代數結構應用於信息科學，本書詳細介紹瞭編碼理論的基礎。探討瞭如何利用綫性代數和群論的知識來構造和分析綫性分組碼，例如漢明碼（Hamming Codes），用於檢測和糾正傳輸中的錯誤，體現瞭離散數學在保障數據可靠性方麵的關鍵作用。 貫穿全書的特色： 本書強調算法思維的培養。幾乎每引入一個關鍵概念（如集閤的等價性、圖的連通性、遞推關係的求解），都會緊密結閤至少一個相關的算法，並對其時間復雜度和空間效率進行嚴謹的分析（使用大O符號和$Omega$符號）。大量的圖示、詳盡的逐步推導和精心挑選的例題，確保讀者能夠將抽象的數學理論轉化為解決實際計算問題的能力。習題設計兼顧理論證明和計算應用，以期全麵提升讀者的數學素養和工程實踐能力。

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這本書的敘事風格非常古典和嚴謹，字裏行間透露齣一種深厚的學術積澱。它對矩陣空間的綫性變換的解釋，采用瞭多角度的闡述，從行空間、列空間到零空間，層層遞進，構建瞭一個非常堅固的理論框架。我尤其贊賞它對抽象代數概念的引入，雖然我不是專業做代數的，但這些背景知識極大地幫助我理解瞭更復雜的張量分析和非綫性係統的綫性化過程。作者在講解矩陣函數（如矩陣指數）時，采用瞭級數展開和對角化分解兩種方法並行的策略，這使得讀者可以清晰地看到不同數學工具在處理同一問題時的優劣。這本書的閱讀體驗是需要投入精力的，它要求讀者保持高度的專注，但這絕對是值得的。它像是一部詳盡的地圖集，為探索更廣闊的數學世界提供瞭精確的坐標係。它不僅僅教你如何計算，更重要的是教你如何“思考”矩陣的結構。

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這本書簡直是為我量身定做的，我最近剛接觸到一些高階的工程優化問題，發現傳統的數值方法總是差那麼一點意思，尤其是處理大規模稀疏係統時，效率低下得令人發指。這本書的深度恰到好處，它沒有停留在純粹的數學推導上，而是非常清晰地闡述瞭為什麼某些矩陣分解或迭代方法在特定應用場景下會錶現齣驚人的優越性。我特彆欣賞作者在講解特徵值和奇異值分解（EVD/SVD）時，那種將理論與實際工程案例緊密結閤的敘述方式。例如，它在信號處理那一章裏，對主成分分析（PCA）的幾何意義解釋得非常到位，讓我茅塞頓開，明白瞭數據降維背後的矩陣幾何直覺。這本書的行文流暢，公式推導詳略得當，既保證瞭嚴謹性，又避免瞭枯燥的純符號遊戲。對於我這種有一定數學基礎，但希望將理論快速應用於解決實際工程挑戰的讀者來說，這本教材無疑是一座寶貴的知識橋梁，它讓我對“矩陣不僅僅是數字的排列”有瞭更深層次的理解，它是一種描述係統、提煉信息的強大語言。讀完後，我在處理我的有限元模型時，信心倍增，確實找到瞭一些優化計算流程的新思路。

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我是一位跨界研究者，目前的工作涉及大量的數值模擬，對數值穩定性的要求極高。這本書在處理矩陣的條件數和病態問題時的論述，簡直是一劑強心針。它沒有迴避數值計算中那些令人頭疼的“髒”問題，而是坦率地分析瞭誤差是如何在矩陣運算中被放大和傳播的。特彆是關於正交投影和最小二乘法的章節，作者不僅給齣瞭理論解，還深入探討瞭QR分解和Cholesky分解在實際求解中的效率差異和穩定性對比。這種對計算復雜度和穩定性的雙重考量，正是工程應用中最需要的。我發現，以往我隻是憑經驗去選擇算法，現在我能更清晰地從理論層麵解釋為什麼某個算法在我的特定數據結構下會崩潰或收斂緩慢。這本書的參考資料部分也相當豐富，為我後續深入探索更前沿的稀疏矩陣求解技術指明瞭方嚮。它不僅僅是一本教科書，更像是一本高級數值方法實踐指南的理論基石。

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說實話，我本來對這種偏理論的教材有點望而卻步，畢竟我的背景更偏嚮於計算機科學而非純數學。但是，這本書的編排結構非常巧妙，它沒有一上來就拋齣一堆抽象的公理和定義，而是用非常直觀的方式引入瞭綫性代數的核心概念。我最喜歡它處理矩陣不等式和範數那部分內容，作者沒有把這些僅僅看作是證明工具，而是將其視為衡量係統穩定性和誤差界限的物理量。這種“應用導嚮”的思維貫穿全書，使得原本可能顯得艱澀的內容變得生動起來。我記得有一段關於迭代收斂性的討論，它用瞭流體力學中的一個例子來說明迭代步長選擇的重要性，這比純粹用收斂半徑來解釋要形象得多。對於初學者或者希望鞏固基礎的專業人士來說，這本書的數學嚴謹性是毋庸置疑的，但它真正的高明之處在於，它能將那些冰冷的數學符號賦予實際的物理或信息意義。閱讀過程中，我感覺自己不是在解題，而是在與一個經驗豐富的導師對話，他耐心地引導我，讓我看到每一步推導的“意義”所在。

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從一個應用開發者的角度來看，這本書在討論矩陣分解的計算效率方麵，可以說是鞭闢入裏。它花瞭大量的篇幅來比較LU分解、QR分解以及SVD在不同硬件架構和數據稀疏度下的實際性能錶現。書中關於如何利用矩陣的稀疏特性來優化存儲和運算的討論，對我目前處理的TB級數據模型優化工作帶來瞭直接的啓發。我發現，一些教科書常常忽略瞭實際計算中的內存訪問模式和緩存局部性對算法性能的影響，而這本書恰恰彌補瞭這一點，它將理論的優雅性與現實計算的“粗糙性”巧妙地結閤在瞭一起。它沒有迴避高階概念，比如廣義逆和僞逆，但總是能將這些抽象的概念拉迴到解決實際問題的層麵，比如參數估計或係統辨識。總的來說，這本書提供的知識深度和廣度，遠超一本標準教材的範疇，它更像是一部關於如何駕馭矩陣這一強大工具的百科全書，能夠有效提升你在數據驅動型科學領域的競爭力。

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內容很詳盡

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太乾巴，矩陣理論隻有甘特馬赫爾寫的最好

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虧這本書也能進入現代數學叢書的行列，說實話還不如市麵上一些低分的矩陣論教材寫得好

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虧這本書也能進入現代數學叢書的行列，說實話還不如市麵上一些低分的矩陣論教材寫得好

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內容很詳盡