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isbn号码:9787810430678

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目录 第一部分：基础概念与群论初步 第一章 集合论与逻辑基础 1.1 集合的定义与表示 1.2 集合的运算：并、交、差、补集 1.3 笛卡尔积与关系 1.4 函数及其性质：单射、满射、双射 1.5 数理逻辑基础：命题、谓词、量词 1.6 证明的基本方法：直接证明、反证法、数学归纳法 第二章 整数系与数论初步 2.1 自然数公理与皮亚诺公理（简述） 2.2 整数的构造与序关系 2.3 整除性与最大公约数：欧几里得算法 2.4 裴蜀等式与线性丢番图方程 2.5 模运算与同余关系 2.6 整数环的基本性质 第三章 群论基础 3.1 运算与代数结构 3.2 群的定义、性质与基本例子（对称群 $S_n$、循环群 $C_n$） 3.3 子群与陪集 3.4 拉格朗日定理及其推论 3.5 正规子群与商群的构造 3.6 同态与同构：第一同构定理 第二部分：环论与域 第四章 环的基础 4.1 环的定义与基本例子（矩阵环、多项式环） 4.2 零因子、整环与域的定义 4.3 子环与环同态 4.4 理想的概念及其在环中的作用 4.5 商环的构造 第五章 主理想域与欧几里得域 5.1 整环中的整除性概念 5.2 零因子与素元、不可约元 5.3 欧几里得整环：定义与例子（如 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$） 5.4 主理想域（PID）的性质 5.5 唯一分解整环（UFD） 第六章 多项式环 6.1 在域上的多项式运算 6.2 多项式的除法算法与带余除法 6.3 多项式的因式分解理论 6.4 多项式的根与因式定理 6.5 域的扩充：扩域的概念 第三部分：线性代数核心 第七章 向量空间 7.1 域的引入与标量乘法 7.2 向量空间的定义与基本性质 7.3 子空间、和空间与直和 7.4 线性相关性、基与维数定理 7.5 坐标变换与基的选取 第八章 线性映射与矩阵 8.1 线性映射的定义与性质 8.2 线性映射的矩阵表示 8.3 矩阵的乘法与线性变换的复合 8.4 矩阵的秩与零空间、像空间 8.5 矩阵的行列式：定义、性质与计算（拉普拉斯展开） 8.6 行列式与逆矩阵 第九章 行列式理论与应用 9.1 行列式与排列的关系 9.2 行列式与线性方程组的解（克莱姆法则） 9.3 矩阵的初等变换与行阶梯形 9.4 矩阵的等价关系与初等因子理论概述 第十章 线性算子的结构 10.1 特征值与特征向量的求解 10.2 相似矩阵与相似变换 10.3 不变子空间与矩阵的对角化条件 10.4 最小多项式与特征多项式 10.5 若尔当标准型（概述，不涉及复杂计算） 第四部分：二次型与欧几里得空间 第十一章 双线性函数与二次型 11.1 双线性形式的定义与矩阵表示 11.2 二次型的概念与二次曲面 11.3 惯性定理与拉格朗日法化简 11.4 正定、负定与不定二次型 第十二章 欧几里得空间与酉空间 12.1 内积的定义与性质 12.2 欧几里得空间的性质：长度、角度与正交性 12.3 格拉姆-施密特正交化过程 12.4 正交基与正交矩阵 12.5 伴随算子与自伴算子（对称矩阵的谱定理） 附录 A：数域的扩充 A.1 有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$ A.2 有限域 $mathbb{F}_p$ 简介 附录 B：计算工具与方法 B.1 矩阵运算的数值稳定性讨论（简述） B.2 初等变换在求解线性方程组中的应用回顾 图书简介：代数结构与线性空间探究 本书旨在为读者提供一个严谨而清晰的代数结构和线性空间理论框架。全书内容涵盖了从抽象代数的基础元素——群、环、域的构建，到线性代数的核心内容——向量空间、线性映射、矩阵理论，并延伸至二次型与内积空间的几何特性。本书的撰写风格力求逻辑连贯，论证详实，避免了过于繁琐的计算细节，着重于概念的内涵、定理的证明逻辑以及不同代数结构间的内在联系。 第一部分：代数世界的基石 本部分着重于为后续的抽象代数学习打下坚实的基础。我们从最基本的集合论和数论工具入手，确保读者对数学证明的严谨性有初步认识。随后，章节迅速过渡到群论的探讨。群作为第一个需要掌握的代数结构，其定义、性质、子群、陪集和商群的构造被系统地阐述。特别强调了拉格朗日定理及其在有限群分类中的基础作用，并引入了同态的概念，揭示了不同群之间的结构映射关系。这一部分为理解更复杂的代数结构（如环）奠定了抽象思维的基调。 第二部分：环与域的精深 在群论的基础上，本书引入了环这一更为丰富的代数结构，它同时具备加法和乘法运算。重点分析了环中的理想结构，这是理解商环构造的关键。随后，我们将焦点集中在特殊的环——整环上，探讨了零因子、素元与不可约元之间的微妙关系。为实现多项式的唯一分解，本书详细讨论了欧几里得整环、主理想域（PID）和唯一分解整环（UFD）的特性，并深入研究了域上的多项式环，包括因式分解理论和域扩张的初步概念。 第三部分：线性代数的骨架 本书的第三部分全面回归到线性代数的核心。向量空间的概念被从标量域 $mathbb{F}$ 的角度严格定义，并系统地讨论了基、维数、线性相关性等基本概念。线性映射及其矩阵表示是本部分的重中之重，详细解析了矩阵运算与线性变换复合的对应关系。行列式的计算、性质推导及其在求解线性方程组中的作用得到了详尽阐述。最后，本部分以线性算子的结构理论收尾，深入剖析了特征值、特征向量，并探讨了矩阵对角化、相似性判断的充要条件，为理解矩阵的深层结构——若尔当标准型——铺平了道路。 第四部分：几何与度量结构的融合 本书的终章将抽象代数与几何直观相结合。首先，通过双线性形式研究了二次型的代数特性，并利用拉格朗日法实现了二次型的规范化，引入了惯性定理，为判断二次型的正负定性提供了代数工具。最后，构建了欧几里得空间（或酉空间），引入了内积的概念，探讨了正交性、长度和角度等度量属性。格拉姆-施密特正交化过程展示了如何将任意基转化为正交基，而自伴算子理论则将线性算子的性质与内积结构紧密联系起来，特别是对称矩阵的谱定理，是理论与应用的完美结合。 本书适合于具有微积分基础，希望深入理解现代代数和线性代数理论体系的理工科学生及研究人员。全书结构严谨，推理细致，旨在培养读者对代数系统内在逻辑的深刻洞察力。

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我必须承认，在接触到其他一些声名显赫的“经典”高等代数教材后，我才真正体会到这本书在“简明”二字上的独到匠心。那些厚重的砖头书，动辄引用深奥的范畴论或者过于严格的公理化证明体系，读起来就像在攀登珠穆朗玛峰，稍有不慎就会迷失在冗长的逻辑推导中。而这本《教程》，则更像是一位耐心且幽默的向导，它会巧妙地绕开那些暂时不需要深入钻研的“技术细节”，将重点聚焦在最核心、最常用的工具和思想上。例如，在线性方程组的求解上，它对高斯消元法的讲解步骤细致入微，每一步的动机都解释得非常到位，甚至连数值计算中的稳定性问题都有所提及，这对于我这种需要运用代数知识进行实际工程计算的人来说，比那些纯粹理论化的论述要实用得多。我特别欣赏它在习题设计上的梯度控制，基础题让你巩固概念，中等难度的题目开始考察综合运用，而最后的几道思考题，虽然有挑战性，但绝不至于让人产生挫败感，它们更多的是激发你对理论更深层次的思考，而不是单纯的计算堆砌。这本书的价值不在于它包含了多少内容，而在于它高效地传递了高等代数的“灵魂”。

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说实话，这本书的排版和设计风格，透露出一种古典的、沉稳的气质，这与它所承载的数学内容是相得益彰的。内页的留白恰到好处，使得密集的公式和定理之间有了呼吸的空间，阅读起来眼睛不容易疲劳。装帧质量也相当不错，即便是频繁翻阅，书脊也没有出现松动的迹象，这对于一本经常被我带去图书馆和咖啡馆的“学习伙伴”来说至关重要。更让我感到惊喜的是，书中对一些关键的历史背景有所提及。比如，在介绍向量空间的概念时，作者简短地回顾了早期数学家们如何从欧几里得几何和微积分中逐步抽象出这些概念的过程。这种历史的纵深感，让枯燥的符号操作有了一种人文学科的厚重感。它提醒我，这些知识并非凭空出现，而是人类智慧的结晶，是无数先贤在解决实际问题过程中逐步提炼和完善的结果。这种人文关怀的渗透，使得学习过程不再是冷冰冰的知识灌输，而更像是一场与数学思想的对话，让人在学习技艺的同时，也领略到了数学之美。

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我对这本书的评价必须从它在“抽象与具体”之间拿捏的平衡感来切入。高等代数最大的难点在于，它要求读者在瞬间完成从具体数字到抽象空间的思维跳跃。很多教材处理这个问题时要么过于偏向具体（像高中代数那样大量例子却缺乏系统性），要么过于偏向抽象（定义先行，读者难以建立直观模型）。《简明教程》在这里找到了一个绝佳的平衡点。它在引入抽象概念（比如线性无关组、基、维度）时，总是会紧接着用二维或三维欧氏空间中的向量集合来进行具象化说明。比如，在讲解子空间的交集和并集时，它不会直接给出集合论的证明，而是配上一张清晰的图形，展示两条不平行的直线在三维空间中相交形成一条直线，或者两个平面相交形成一条直线，这种视觉辅助极大地降低了理解的门槛。这种教学策略成功地让读者在不牺牲严谨性的前提下，保持了对知识的“触感”。在我看来，这本书的价值不在于它是否囊括了所有前沿研究，而在于它能有效地将数代数核心思想植入到初学者的心智模型中，让抽象的结构变得“可见”且“可操作”。

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这本《高等代数简明教程》简直是为我这种数学基础薄弱，但又必须啃下高等代数这块硬骨头的学生量身定做的。初拿到书时，我对厚厚的代数符号和抽象概念感到一阵头疼，但翻开目录，我就发现它的编排思路非常清晰。不像有些教材上来就是一大堆定义和定理，这本书在引入新概念时，会先用一些非常直观的例子或者生活中的类比来铺垫，让人感觉那些原本高不可攀的抽象结构似乎也没那么可怕了。尤其是在讲矩阵运算和行列式那一块，作者似乎深谙“授人以渔”的道理，不仅仅是给出公式，更重要的是解释了这些运算背后的几何意义，比如矩阵变换如何对应于空间中的拉伸、旋转。我记得有一次为了理解特征值的概念，我翻遍了图书馆里好几本经典教材，都觉得云里雾里，但在这本书里，通过作者精心设计的“动态演示”般的解释，我仿佛看到了那个抽象的向量在经过变换后只沿着某个方向伸长的过程，豁然开朗。对于自学者来说，这种循序渐进、注重直观理解的讲解方式，简直是救命稻草。它没有过度追求内容的完备性和难度，而是把核心知识点打磨得晶莹剔透，确保读者能够扎扎实实地掌握基础，为将来的专业学习打下坚实的地基。

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如果让我用一个词来概括我对这本《高等代数简明教程》的感受，那就是“高效的内功心法”。它没有那些花里胡哨的选修章节或者过于偏门的定理探讨，所有的篇幅都聚焦于如何构建扎实的核心能力。我发现，使用这本书进行复习后，我在学习其他相关课程，比如离散数学中的图论或者概率论中的随机向量分析时，突然有了更清晰的底层逻辑支撑。举个例子，对于向量空间的内积和正交性这一章，这本书的处理方式极为精妙，它不仅仅停留在定义上，更深入地探讨了施密特正交化过程的每一步的意义——即如何将一组线性无关的向量“正交分解”成一组更易于操作的基底。这个过程在傅里叶级数展开中有着至关重要的应用，而这本书将这种联系讲得极其透彻，让我体会到代数理论是如何跨越学科壁垒的。它不是一本用来炫耀知识广度的书，而是一本旨在锤炼思维深度和应用能力的心血之作。对于任何想要真正“掌握”高等代数，而不是仅仅“通过考试”的学生来说，它无疑是一份不可多得的财富。

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