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《高等数学(上册)》以微积分学为核心内容，一元函数和多元函数是微积分研究的主要对象，微分方程则作为微积分学的延伸和应用。《高等数学(上册)》除每节后有少量习题外，在每一章的末尾，都配有总习题，以便使读者易于抓住每章的重点并测试自己对基本内容的掌握程度。
《线性代数与几何学基础》 内容简介 本书旨在为读者系统地构建扎实的线性代数和基础几何学知识体系，作为理工科、经济学、计算机科学等领域深入学习的基石。全书内容涵盖了从最基本的向量空间概念到复杂的矩阵分解与线性变换理论，并辅以必要的几何学直观理解，力求理论的严谨性与应用的广泛性相结合。 第一部分：基础代数与向量空间 第一章 域与数域的初步认识 本章首先回顾了实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的基本性质，并引入了抽象的“域”的概念，为后续的抽象向量空间打下基础。我们讨论了域上的加法和乘法运算的封闭性、结合律、分配律以及单位元和逆元的存在性。重点解析了有限域（如 $mathbb{F}_2$）在某些特定应用（如编码理论）中的初步意义。 第二章 线性方程组与高斯消元法 线性代数的核心问题之一是求解线性方程组。本章详尽介绍了线性方程组的行表示和矩阵表示。核心内容聚焦于高斯消元法（Gaussian Elimination）的算法与原理。我们不仅演示了如何利用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形和简化行阶梯形，更深入探讨了这些形式在判断方程组解的存在性（唯一解、无穷多解或无解）中的决定性作用。通过对自由变量和基本变量的分析，读者将掌握求解任意线性方程组的系统方法。 第三章 向量空间的概念 本章将抽象的线性代数世界的大门敞开。我们正式定义了向量空间（Vector Space）及其上的线性组合、张成（Span）的概念。随后，引入了线性无关性（Linear Independence）作为向量组的核心性质，并讨论了如何通过计算秩（Rank）来判断一组向量是否线性无关。一个向量空间中的基（Basis）是其结构的核心，本章详细阐述了基的定义、存在性定理（如维数定理的雏形），并解释了为什么不同基下，同一个向量的坐标表示是唯一的。 第四章 线性变换与矩阵表示 线性变换是向量空间间的结构保持映射。本章将线性变换（Linear Transformation）与矩阵运算紧密联系起来。对于任意两个有限维向量空间之间的线性变换 $T: V o W$，我们展示了如何根据选定的基构造出其对应的表示矩阵 $A$。矩阵乘法在此语境下被赋予了复合变换的几何意义。本章还探讨了线性变换的核（Kernel，即零空间）和像（Image，即值域）的概念，以及它们与矩阵的零度（Nullity）和秩之间的深刻关系（秩-零度定理）。 第二部分：矩阵理论与结构分解 第五章 行列式 行列式是衡量方阵性质的一个重要标量。本章从置换的奇偶性出发，给出行列式的代数定义，并阐述了行列式的基本性质，如转置性、行（列）的线性性质、以及行列式与初等行变换的关系。我们重点介绍了如何利用代数余子式（Cofactors）和拉普拉斯展开来计算行列式，并探讨了行列式在判断矩阵可逆性、求解线性方程组（Cramer's Rule，克拉默法则）中的应用。 第六章 特征值与特征向量 本章深入探讨了线性变换作用下保持方向不变的向量——特征向量（Eigenvectors）和它们对应的特征值（Eigenvalues）。我们推导出求特征值和特征向量的特征方程 $det(A - lambda I) = 0$。本章强调了特征值和特征向量在系统动力学、稳定性分析中的物理意义。此外，我们讨论了代数重数和几何重数，并引入了相似矩阵的概念，为下一章的对角化做准备。 第七章 对角化与相似变换 对角化是将矩阵化繁为简的关键技术。本章判定了矩阵可对角化的充分必要条件（即存在一组完整的线性无关的特征向量）。我们详细演示了如何通过相似变换 $A = P D P^{-1}$ 来简化矩阵的幂运算、微分方程求解等问题。对于不可对角化的矩阵，本章介绍了 Jordan 标准型（Jordan Canonical Form）作为最终的简化形式，揭示了矩阵结构的最本质形态。 第八章 内积空间与正交性 本章将代数结构与几何直觉相结合，引入了内积（Inner Product）的概念，从而定义了长度、距离和角度，将向量空间提升为内积空间（或称为欧几里得空间/酉空间）。核心内容包括施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），用于从任意基中构造一组正交基或标准正交基。本章还深入探讨了正交投影，以及最小二乘法在工程近似问题中的核心作用。 第九章 对称矩阵的谱理论 对称矩阵（在实数域上）具有极其优良的性质。本章证明了实对称矩阵的特征值必为实数，且其特征向量可以相互正交。我们将对角化过程提升到正交相似变换的高度，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $A = Q D Q^T$。这在二次型理论中至关重要，它保证了二次型可以被化为标准形，为二次曲面的分类提供了坚实的代数基础。 第三部分：几何与应用 第十章 几何向量与仿射空间 本章将抽象的向量空间与我们熟悉的几何空间（二维、三维）相结合。我们使用向量来表示空间中的点、位移和力。内容包括向量的加法、数乘在几何上的意义，点积（Dot Product）与投影，以及叉积（Cross Product）在确定平面法向量和计算面积、力矩上的应用。引入仿射空间的概念，区分点与向量，为理解欧几里得几何打下基础。 第十一章 二次型与主轴定理 二次型是多项式中关于变量的二次齐次函数，其可以表示为 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的形式，其中 $A$ 是对称矩阵。本章利用对称矩阵的谱分解（主轴定理），将复杂的二次型通过旋转坐标轴（正交变换）化简为标准形，消去交叉项。这直接应用于分析二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）和二次曲面（椭球、双曲面等）的几何形态，是理解多变量微积分中极值问题的几何前奏。 第十二章 广义特征值问题与矩阵分解 在实际应用中，矩阵往往不是方阵。本章介绍奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）——这是对任意 $m imes n$ 矩阵的最优分解形式。我们将SVD视为对线性变换的几何分解：缩放、旋转和投影的组合。SVD在数据压缩（如主成分分析PCA的理论基础）、图像处理和求解最小二乘问题中具有不可替代的地位。此外，本章还将简要回顾 $QR$ 分解在数值计算中的重要性。 学习目标 通过对本书内容的系统学习，读者将不仅能够熟练地运用高斯消元法和行列式等代数工具，更将深刻理解向量空间、线性变换、特征值分解等核心概念背后的几何意义。本书培养的逻辑推理能力和抽象思维将是未来学习更深层次数学和工程科学的坚实阶梯。
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