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好的，这是一份关于一本假设的图书《高等代数》的详细简介，旨在完全避免提及您提供的《高等语文》，并以自然、专业的风格撰写： --- 《超越基础：现代高等代数导论》 作者： 钱思明 教授 / 张立新 副教授 出版社： 启航教育科学出版社 ISBN： 978-7-5681-2901-7 定价： 128.00 元 开本： 16 开 装帧： 精装/平装（可选） 内容简介 《超越基础：现代高等代数导论》是一部面向数学、物理学、计算机科学、工程学等理工科专业高年级本科生和初研研究生的权威性教材。本书旨在系统、深入地构建读者对抽象代数核心概念的理解，从结构化的视角梳理线性代数向更广阔的抽象代数领域的自然延伸。 本书的编写秉持“从具体到抽象，从基础到前沿”的原则，力求在保证严谨性的同时，保持清晰的逻辑脉络和丰富的应用实例，帮助读者建立起坚实的数学思维框架。 核心内容结构与特色 全书共分为七大部分，循序渐进地引导读者进入现代代数的核心领域： 第一部分：预备知识与群论的基石 本部分首先回顾了集合论、映射、二元运算的基本性质，为抽象结构的讨论奠定语言基础。随后，我们引入了群这一最基本的代数结构。 详细内容涵盖： 循环群、子群、陪集与拉格朗日定理的完整证明与应用。特别地，我们详细探讨了同态与同构的概念，并通过具体的例子（如矩阵群、对称群 $S_n$）来巩固这些抽象定义。 特色亮点： 引入了“代数结构考古学”的视角，通过对数论中模运算和几何中变换群的追溯，展现群论在不同学科中的普遍性。 第二部分：正规子群、商群与同态定理 这是群论理论深化的关键部分。我们详细阐述了正规子群的概念，这是构建商群的桥梁。 关键定理剖析： 篇幅着重于第一、第二、第三同态定理，并提供了多角度的几何和代数解释。对第二同态定理（钻石同构定理）的推导过程进行了细致的分解，确保读者理解其结构上的对称性。 应用拓展： 初步引入了$p$群和Sylow定理的背景，为后续的有限群分类打下基础。 第三部分：环论的建立与结构 从群论到环，我们引入了两个运算（加法和乘法），探讨了分配律如何支配整个结构。 环的分类与例子： 详细讨论了整环、域、交换环等概念。重点分析了多项式环 $mathbb{F}[x]$ 的性质，这是后续伽罗瓦理论的重要基石。 理想与商环： 系统的阐述了理想的概念，并将其与群论中的正规子群进行类比，强化了结构之间的统一性。主理想、极大理想和素理想的性质被深入探讨。 第四部分：域论的初步探索 本部分将代数结构提升到域的层面，这是解决多项式方程不可或缺的工具。 域的扩张： 系统地介绍了域扩张、域的度数。我们着重于代数元与超越元的区别，并提供了构造域扩张 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 和 $mathbb{Q}(i)$ 的完整步骤。 最小多项式： 详尽地讲解了最小多项式的唯一性与性质，以及它如何决定了代数元在扩张域中的“自由度”。 第五部分：线性代数的回顾与升华 虽然本书的重点在于抽象代数，但线性代数的知识对于理解模和向量空间至关重要。本部分将线性代数建立在更抽象的代数框架之下。 向量空间作为模的特例： 将向量空间定义为域上的模。讨论了模的子模、商模、模同态。 结构定理的引入： 简要介绍了有限生成模的基本结构定理（Finitely Generated Modules over a Principal Ideal Domain, PID），这是连接线性代数（矩阵的相似标准形）与抽象代数的重要枢纽。 第六部分：伽罗瓦理论的开端 这是全书的理论高潮之一。本部分将域论的知识应用于解决一个经典问题：多项式方程的根式解问题。 伽罗瓦群的构造： 详细定义了域扩张的伽罗瓦群 $Gal(L/K)$，并探讨了群结构如何反映域扩张的性质。 基本对应定理： 阐述了伽罗瓦理论的核心成果——域的中间扩张与伽罗瓦群的子群之间的反序对应关系。 第七部分：应用与前沿展望 本部分旨在展示高等代数在现代科学中的实际价值，并为有兴趣的读者指明深入研究的方向。 应用案例： 包含关于编码理论（如循环码、BCH码）中用到环论和有限域的实例分析；以及在密码学（椭圆曲线密码体制的代数基础）中的简要介绍。 理论展望： 简要提及了非交换代数（如环论中的Wedderburn-Artin定理）和更一般的抽象结构（如范畴论的视角）。 本书的教学特点 1. 严格的逻辑推导： 所有的定理和推论都提供了清晰、完整的证明链条，鼓励学生独立思考证明的每一步。 2. 丰富的习题设计： 每章末尾配有大量的习题，分为“基础巩固”、“方法应用”和“探索与挑战”三类，以适应不同层次的学习需求。 3. 历史背景穿插： 在关键概念（如高斯环、伽罗瓦的贡献）的介绍中，穿插了相关的历史背景，使学习过程更富有人文色彩。 《超越基础：现代高等代数导论》不仅是传授知识的工具书，更是培养严谨的数学思维、提升抽象问题解决能力的必备阶梯。 ---
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