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出版者:

作者:Cramer, Harald; Leadbetter, M. R.;

出品人:

頁數:348

译者:

出版時間:2004-11

價格:$ 24.80

裝幀:

isbn號碼:9780486438276

叢書系列:

圖書標籤:

• 概率
• 隨機過程
• 平穩過程
• 時間序列分析
• 概率論
• 統計學
• 隨機分析
• 馬爾可夫鏈
• 濾波理論
• 信號處理
• 排隊論

《瞬時與相關隨機過程》圖書簡介 導論：時空演化中的隨機性 本書旨在為讀者提供一個關於“瞬時與相關隨機過程”的全麵而深入的探討，聚焦於在時間維度上展現齣復雜、非確定性演化行為的係統建模。我們所處的物理、金融、生物乃至社會係統，無不充斥著隨機波動。理解這些過程的內在結構、演化規律及其相互關聯性，是現代科學與工程領域麵臨的核心挑戰之一。 本書的構建，旨在跨越純粹的理論數學與高度應用化的工程實踐之間的鴻溝。我們不將隨機過程視為孤立的數學對象，而是將其視為描述真實世界中動態變化的強大工具。重點將放在那些其狀態在任意給定時刻都依賴於過去曆史，並且不同時間點或不同空間位置上的觀測值之間存在顯著依賴關係的係統。 第一部分：基礎理論的夯實與隨機演化的刻畫 本部分著重於建立理解更復雜過程所必需的數學框架。 第一章：概率論基礎的迴顧與隨機變量的動態視角 雖然概率論是理解隨機過程的基石，但本章將從動態演化的角度重新審視基礎概念。我們探討隨機變量在時間序列中的演化，引入測度論在描述無限次試驗空間中的必要性。關鍵在於理解隨機變量的聯閤概率分布如何隨著時間的推移而變化。我們將深入討論條件期望和條件概率在刻畫信息積纍對未來預測影響中的核心地位。 第二章：馬爾可夫過程：記憶的限製與狀態空間 馬爾可夫性，即“無後效性”，是隨機過程理論中最重要、應用最廣泛的假設之一。本章將細緻區分離散時間馬爾可夫鏈（DTMC）和連續時間馬爾可夫鏈（CTMC）。我們將詳細分析狀態空間的結構——連通性、常返性、瞬時性，並探討平穩分布的收斂性。對於CTMC，過渡速率矩陣的建立與求解是重點，這直接關係到係統在長時間尺度上的穩態行為。此外，我們還會討論馬爾可夫性在實際模型中的局限性，並為此後的非馬爾可夫過程做鋪墊。 第三章：鞅論基礎：公平性與信息流 鞅論是處理金融數學和最優停止問題等領域不可或缺的工具。本章將介紹鞅、次鞅（Submartingale）和超鞅（Supermartingale）的概念，它們分彆對應於“公平賭博”、“有利賭博”和“不利賭博”的數學錶達。重點在於理解Doob上界和鞅收斂定理，這些工具為分析隨機過程的依概率收斂性和幾乎必然收斂性提供瞭強大的分析手段。我們還將探討鞅在信息過濾和信號處理中的應用，即如何利用已觀測到的信息對過程進行最優估計。 第二部分：相關性的建模與連續時間過程的精細描述 本部分聚焦於那些具有連續時間演化和內在相關結構的隨機過程。 第四章：平穩性與遍曆性：時間平均與概率平均的統一 對於許多物理和通信係統，我們更關心其長期行為，而非某一特定路徑的細節。本章將深入探討寬弱平穩（WSS）和嚴平穩（SSS）的定義及其相互關係。遍曆性定理（Ergodic Theorem）的引入，使得我們可以用時間平均來估計概率平均，這在工程實踐中具有至關重要的意義。我們將分析平穩過程的功率譜密度與自相關函數之間的傅裏葉變換關係，為後續的譜分析奠定基礎。 第五章：布朗運動與維納過程：隨機漫步的極限 作為最基本的連續時間、連續狀態空間隨機過程，標準布朗運動（維納過程）是後續所有連續時間隨機過程（如隨機微分方程）的構建塊。本章將詳細闡述布朗運動的構造、獨立增量、平穩增量以及二次變差的確定性結果。我們還將討論布朗運動的路徑性質，如路徑不可微性、自相似性，並引入幾何布朗運動（GBM）作為描述金融資産價格變動的初步模型。 第六章：平穩過程的譜錶示與時間相關性 本章將重點分析平穩隨機過程的時間相關性結構。通過維納-辛欽定理，我們將自相關函數與譜密度函數聯係起來。對於廣義平穩過程（如加性噪聲過程），譜密度是描述過程頻率特性的核心指標。本章將通過傅裏葉分析的視角，解釋不同頻率分量如何貢獻於過程的整體方差和相關性。 第三部分：高級過程：隨機演化的驅動力與耦閤 本部分將深入研究那些更具復雜性和非綫性特徵的過程，以及它們在特定應用場景中的體現。 第七章：隨機微分方程（SDEs）與伊藤微積分 當係統的演化速率本身是隨機的時，我們需要隨機微分方程來描述。本章將全麵介紹伊藤積分的定義、性質及其與普通勒貝格-斯蒂爾切斯積分的根本區彆，特彆是伊藤恒等式。我們將求解一些經典的SDEs，如Ornstein-Uhlenbeck過程和幾何布朗運動，並探討其數值模擬方法（如Euler-Maruyama方法）。本章是連接連續時間隨機過程與實際動態係統建模的關鍵橋梁。 第八章：泊鬆過程與計數過程：事件的隨機發生 計數過程是描述離散事件發生速率的隨機過程。本章重點分析泊鬆過程的性質，包括其獨立增量和指數到達時間間隔。我們將區分齊次泊鬆過程和非齊次泊鬆過程。更進一步，我們將討論更一般的純跳過程，以及如何利用其到達時間間隔和跳躍大小來構建更復雜的隨機模型，例如在排隊論和可靠性工程中的應用。 第九章：隨機場的空間相關性與多維耦閤 將一維時間擴展到多維空間，我們進入隨機場的領域。本章探討具有空間相關性的隨機場，例如高斯隨機場，其核心在於其協方差函數或核函數如何描述空間中不同位置點之間的依賴程度。我們將討論剋裏金（Kriging）插值方法，這是一種基於最優綫性無偏估計的隨機場應用，在地球科學和空間統計中扮演重要角色。 結論：建模的藝術與挑戰 本書最後將總結隨機過程理論在現代科學中的地位，並展望未來的研究方嚮，包括隨機非綫性動力學、隨機場在機器學習中的應用，以及高維復雜係統中的精確模擬挑戰。理解瞬時與相關隨機過程，不僅是掌握一套分析工具，更是培養一種在不確定性中洞察規律的思維方式。 目標讀者： 本書適閤具有微積分、綫性代數和概率論基礎的工程師、物理學傢、金融分析師、應用數學研究生以及對動態係統建模感興趣的高級本科生。對每一概念的推導都力求嚴謹，同時配以豐富的實例和應用案例，以確保理論的有效性和可操作性。

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