具体描述
A unified treatment of the limit theory of branching processes, this volume focuses on basics and is appropriate for graduate and advanced undergraduate students. The authors cover basic Galton-Watson process, potential theory, one dimensional continuous time Markov branching processes, age-dependent processes, multi-type branching processes, and special processes. Exercises. 1972 edition.
概率论与随机过程前沿探索 深入理解复杂系统的动态演化 本书旨在为概率论和随机过程领域的研究者、高级学生以及对复杂系统建模感兴趣的专业人士提供一份全面、深入的参考资料。它侧重于介绍和分析那些描述系统随时间演化、状态或规模不断变化的数学工具和理论框架，这些模型广泛应用于物理学、生物学、金融工程、通信网络等多个前沿领域。 第一部分：基础理论回顾与深化 本部分首先对概率论和测度论的核心概念进行严谨的回顾，确保读者对马尔可夫链、鞅理论以及随机积分的数学基础有扎实的理解。我们不会仅仅停留在教科书式的介绍，而是会着重探讨在处理无限维空间和高频动态时，这些基础理论所面临的挑战与现代解决方案。 随机变量与大数定律的现代阐释： 讨论各种收敛模式（依概率收敛、依分布收敛、几乎必然收敛）在高维概率空间下的精确行为。重点分析中心极限定理在不同依赖结构（如弱相依）下的推广形式，特别是关于 Berry-Esseen 定理在非标准条件下的改进应用。 鞅论在金融与统计中的应用： 深入探讨Doob-Meyer分解，将其应用于分析信息流的演化和公平性问题。我们会详细推导随机微积分中的Itô公式，并展示其在构造局部鞅和半鞅时的关键作用。此外，本书将介绍鞅方法的现代变体，例如次鞅（submartingale）在风险评估中的作用。 泊松过程的精细结构： 除了标准的计数过程，本章将聚焦于非齐次泊松过程和复合泊松过程。我们探讨如何利用这些过程来建模具有突发特性的事件序列，并引入高阶矩的计算方法，以精确评估系统在短时间窗口内的波动性。 第二部分：连续时间随机过程的高级分析 本部分转向描述系统在连续时间尺度上行为的随机过程，重点在于随机微分方程（SDEs）的解的性质和稳定性分析。 随机微分方程（SDEs）理论： 我们从Stratonovich积分与Itô积分的转换开始，阐述它们在不同物理背景下的适用性。随后，深入研究由SDE定义的随机流的性质，包括其解的存在性、唯一性、平稳分布（如果存在）的计算。重点分析Lévy过程驱动的SDEs，如欧式期权定价中使用的跳扩散模型。 随机动力系统与遍历性： 探讨具有随机扰动的常微分方程的长期行为。引入随机吸引子（Random Attractors）的概念，分析系统在随机噪声作用下是否会收敛到一个稳定的统计集合。我们使用Lyapunov指数来衡量这些随机系统的混沌或稳定性，并讨论如何通过数值模拟来验证理论预测。 半群理论与演化方程： 将随机过程的演化视为一个作用在概率空间上的半群算子。介绍无穷小生成元（Infinitesimal Generator）的概念，并将其与偏微分方程（如Fokker-Planck方程）联系起来，从而实现对过程概率密度函数演化的精确描述。 第三部分：网络、图与空间随机模型 本部分将随机过程的工具应用于描述结构化系统，特别关注网络拓扑和空间分布现象。 随机图理论的概率视角： 区别于纯组合意义上的随机图，本书侧重于具有动态演化特性的图模型。我们将分析连接概率、网络直径的随机性，以及信息或疾病在这些随机网络上传播的速率。重点讨论重尾度网络（如Barabási-Albert模型）的概率特性。 空间过程与随机场： 介绍马尔可夫随机场（MRFs）和高斯随机场（GRFs）。这些模型是进行空间插值、图像处理和地质统计学的核心工具。我们详细推导条件概率场的性质，并展示如何利用这些场来描述物理系统中空间相关性的建模。 簇集过程与空间填充： 分析诸如随机几何模型（如Poisson点过程）在空间中点的形成和演化。重点研究由这些点过程诱导的覆盖时间、最近邻距离分布等几何概率量，这在无线通信覆盖和材料科学中具有直接应用。 第四部分：非平衡统计力学与信息论的交叉 本部分是全书最具前沿性的部分，探讨随机过程在描述远离热力学平衡系统的动力学中的作用。 耗散函数与涨落定理： 介绍Flucutation Theorems，特别是Jarzynski等式和Crooks理论，它们将系统在非平衡过程中的功的分布与平衡态的自由能联系起来。这些定理是理解微观尺度下不可逆过程的基础。 信息论与随机性度量： 从随机过程的角度重新审视熵的概念。讨论Kolmogorov-Sinai熵率在描述动态系统的随机性强度上的应用。此外，分析互信息在评估两个随机过程之间的依赖程度和因果关系方面的作用。 随机过程的数值方法与模拟： 鉴于许多现代SDEs缺乏解析解，本章详述高精度数值模拟技术，包括Milstein方案、稳定性和收敛性分析，以及马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法在估计复杂分布时的效率优化策略。 本书的深度和广度，使其成为研究生及以上水平读者掌握现代随机过程理论、并将其应用于解决实际复杂问题不可或缺的工具书。全书配有大量详细的数学推导和精心设计的例题，以促进对抽象概念的深刻理解。
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