具体描述
This book is devoted to algorithms for the venerable primality problem: Given a natural number n, decide whether it is prime or composite.
The problem is basic in number theory, efficient algorithms that solve it, i.e., algorithms that run in a number of computational steps which is polynomial in the number of digits needed to write n, are important for theoretical computer science and for applications in algorithmics and cryptology.
This book gives a self-contained account of theoretically and practically important efficient algorithms for the primality problem, covering the randomized algorithms by Solovay-Strassen and Miller-Rabin from the late 1970s as well as the recent deterministic algorithm of Agrawal, Kayal, and Saxena. The textbook is written for students of computer science, in particular for those with a special interest in cryptology, and students of mathematics, and it may be used as a supplement for courses or for self-study.
《数字的奥秘：素数检测的演进与挑战》 在浩瀚的数学宇宙中，素数犹如璀璨的星辰，以其独特的质数属性，点亮了数论的殿堂。它们是构成自然数最基本的“原子”，是理解数字世界秩序的基石。然而，这看似简单的“只能被1和自身整除”的定义背后，隐藏着无穷的深度与挑战。自古以来，数学家们便沉醉于探索素数的分布规律，寻找能够高效识别素数的方法，而这些探索，不仅推动了数学理论的边界，更悄然影响着我们现代世界的运行。 本书《数字的奥秘：素数检测的演进与挑战》并非直接阐述某个特定领域（如“多项式时间中的初级测试”）的详尽理论推导与算法实现，而是将目光投向更广阔的视野，聚焦于人类历史上，尤其是近现代以来，在理解与检测素数过程中所经历的漫长旅程，以及由此衍生的数学思想和技术革新。我们将一起回顾那些划时代的发现，审视那些经典而优雅的算法，并深入探讨素数检测的理论与实践所面临的深刻问题。 第一章：素数的古老回响——从欧几里得到高斯 数的概念源远流长，而对素数的关注，早在古希腊时期便已显露端倪。欧几里得的《几何原本》不仅以其严谨的逻辑体系闻名于世，更包含了对素数无穷性的证明，这一论断至今仍是数学中最令人称道的简洁之美。他的证明，虽非算法意义上的检测，却奠定了素数作为独立存在的研究对象的基础。 随着时间的推移，数学家们逐渐积累了对素数性质的认识。从算术基本定理揭示的素数分解的唯一性，到费马小定理预示的素数与模运算的紧密联系，这些早期的探索，如同散落在历史长河中的珍珠，虽不系统，却为后来的发展铺垫了道路。高斯，这位“数学王子”，更是将数论研究推向了新的高度，他提出的“算术级数中素数无穷多”猜想，以及对同余理论的深入研究，都为素数检测的后续发展注入了新的活力。这一阶段，我们更多的是在“认识”素数，而非“检测”它们。 第二章：试除法的时代——朴素的智慧与局限 在计算机出现之前，检测一个大数是否为素数，最直观的方法便是试除法。即尝试用从2到该数平方根的所有整数去除它。如果都能整除，则该数为合数；如果都不能整除，则为素数。这是一种简单易懂的策略，在面对较小的数时，效率尚可。然而，当数字变得越来越庞大，试除法的计算量呈平方级增长，其局限性便暴露无遗。 本书将回顾试除法的原理，分析其在不同场景下的适用性，并探讨数学家们如何在这个基础上进行优化，例如利用一些已知的素数性质来跳过一些不必要的试除。我们也会深入探讨，为何在早期，即使是拥有大量计算力的手工计算者，面对巨型素数时也常常束手无策。这不仅仅是计算能力的限制，更是算法效率的根本性问题。 第三章：概率的曙光——蒙特卡罗与费马测试 随着数学和计算科学的发展，人们开始寻求更快捷、尽管可能不完全精确的方法来识别素数。概率素性测试应运而生。其中，费马素性测试是最早且最著名的一种。它基于费马小定理：若p为素数，则对于任意不被p整除的整数a，都有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。测试者随机选择一个a，计算 a^(p-1) mod p。如果结果不等于1，那么p一定是合数。 然而，费马测试并非完美无缺。存在一些特殊的合数，称为“费马伪素数”，它们对某些a值会“欺骗”测试，使得测试结果误判为素数。本书将详细阐述费马素性测试的原理，分析其成功的条件和失败的根源。我们将讨论，为何即使存在伪素数，它在某些应用场景下仍然具有一定的价值，以及如何通过结合多个随机选择的a值来提高测试的可靠性。 第四章：米勒-拉宾的精进——迈向高置信度 为了克服费马测试的局限性，数学家们不断地进行改进。米勒-拉宾素性测试便是其中的佼佼者。它在费马测试的基础上，引入了更强的判定条件，显著降低了误判的概率。米勒-拉宾测试利用了平方剩余的性质，并且通过多次随机选择底数a，可以达到极高的置信度，使得一个合数被误判为素数的概率极小，小到在实际应用中可以忽略不计。 本书将详细解析米勒-拉宾测试的算法流程，包括其核心的“偶数判断”和“平方根判断”。我们将深入探讨其数学依据，解释为何它比费马测试更加可靠。同时，也会讨论在实际应用中，如何根据所需的置信度来确定测试的迭代次数，以及它在密码学等领域扮演的关键角色。 第五章：确定性的追寻—— AKS 的里程碑 长期以来，素数检测领域存在着一个显著的鸿沟：概率测试虽然快速，但无法保证绝对的正确性；而能够保证绝对正确性的确定性测试，其计算复杂度却又非常高，无法满足实际应用的需求。在许多人看来，找到一个能够在多项式时间内确定性地检测素数的方法，似乎是一个遥不可及的梦想。 然而，2002年，阿格拉瓦尔（Manindra Agrawal）、凯亚尔（Neeraj Kayal）和萨克斯纳（Nitish Saxena）共同发表的论文，以其革命性的洞见，震惊了整个数学界。他们提出了一种全新的、完全确定性的算法，能够在多项式时间内解决素数判定问题。这一发现，不仅在理论上意义重大，也为寻找高效、可靠的素数检测方法指明了方向。 本书将对AKS算法进行深入的探讨，但并非以其作为唯一焦点。我们将从历史的角度，理解AKS算法的出现是如何填补了此前理论的空白，以及它在多项式时间内的确定性证明是如何实现的。我们将剖析其核心思想，例如“循环群”和“多项式同余”等概念，并从更宏观的角度，理解这一成就对于计算复杂性理论和数论研究的深远影响。我们将聚焦于这一突破性成就所代表的精神——对高效、确定性算法的不懈追求，以及它如何激发了后续的研究。 第六章：素数检测的未来图景——挑战与机遇 尽管AKS算法在理论上实现了多项式时间的确定性检测，但其在实际计算中的效率，在某些情况下，仍不如优化过的概率性测试。因此，素数检测领域的研究并未因此停滞。本书将展望素数检测的未来发展趋势。 我们将探讨，如何进一步优化AKS算法，使其在实际应用中更具竞争力。同时，也会关注那些在特定条件下表现优异的概率性测试方法，以及如何通过组合不同的测试策略来兼顾效率与可靠性。此外，我们还将探讨素数检测与现代密码学、编码理论等领域的交叉应用，例如在公钥密码系统中，大素数的生成和检测是基础；在某些纠错码的设计中，素数性质也发挥着重要作用。 本书旨在为读者勾勒出一幅关于素数检测的宏伟画卷。它不是一本专注于某个具体算法的“操作手册”，而是希望通过回顾历史、剖析原理、展望未来，让读者深刻理解人类在探索素数世界的过程中所付出的智慧与努力，以及由此驱动的数学和技术的进步。从古老的回响，到概率的曙光，再到确定的里程碑，素数检测的演进，本身就是一部精彩的数学发展史，充满了智慧的闪耀和对未知的不懈探索。
作者简介
目录信息
1. Introduction: Efficient Primality Testing
1.1 Algorithms for the Primality Problem
1.2 Polynomial and Superpolynomial Time Bounds
1.3 Is PRIMES in P?
1.4 Randomized and Superpolynomial Time Algorithms for the Primality Problem
1.5 The New Algorithm
1.6 Finding Primes and Factoring Integers
1.7 How to Read This Book
2. Algorithms for Numbers and Their Complexity
2.1 Notation for Algorithms on Numbers
2.2 O-notation
2.3 Complexity of Basic Operations on Numbers
3. Fundamentals from Number Theory
3.1 Divisibility and Greatest Common Divisor
3.2 The Euclidean Algorithm
3.3 Modular Arithmetic
3.4 The Chinese Remainder Theorem
3.5 Prime Numbers
3.5.1 Basic Observations and the Sieve of Eratosthenes
3.5.2 The Fundamental Theorem of Arithmetic
3.6 Chebychev's Theorem on the Density of Prime Numbers
4. Basics from Algebra: Groups, Rings, and Fields
4.1 Groups and Subgroups
4.2 Cyclic Groups
4.2.1 Definitions, Examples, and Basic Facts
4.2.2 Structure of Cyclic Groups
4.2.3 Subgroups of Cyclic Groups
4.3 Rings and Fields
4.4 Generators in Finite Fields
5. The Miller-Rabin Test
5.1 The Fermat Test
5.2 Nontrivial Square Roots of 1
5.3 Error Bound for the Miller-Rabin Test
6. The Solovay-Strassen Test
6.1 Quadratic Residues
6.2 The Jacobi Symbol
6.3 The Law of Quadratic Reciprocity
6.4 Primality Testing by Quadratic Residues
7. More Algebra: Polynomials and Fields
7.1 Polynomials over Rings
7.2 Division with Remainder and Divisibility for Polynomials...
7.3 Quotients of Rings of Polynomials
7.4 Irreducible Polynomials and Factorization
7.5 Roots of Polynomials
7.6 Roots of the Polynomial Xr-1
8. Deterministic Primality Testing in Polynomial Time
8.1 The Basic Idea
8.2 The Algorithm of Agrawal, Kayal, and Saxena
8.3 The Running Time
8.3.1 Overall Analysis
8.3.2 Bound for the Smallest Witness r
8.3.3 Improvements of the Complexity Bound
8.4 The Main Theorem and the Correctness Proof
8.5 Proof of the Main Theorem
8.5.1 Preliminary Observations
8.5.2 Powers of Products of Linear Terms
8.5.3 A Field F and a Large Subgroup G of F* .
8.5.4 Completing the Proof of the Main Theorem
A. Appendix
A.1 Basics from Combinatorics
A.2 Some Estimates
A.3 Proof of the Quadratic Reciprocity Law
A.3.1 A Lemma of Gauss
A.3.2 Quadratic Reciprocity for Prime Numbers
A.3.3 Quadratic Reciprocity for Odd Integers
References
Index
· · · · · · (收起)
1.1 Algorithms for the Primality Problem
1.2 Polynomial and Superpolynomial Time Bounds
1.3 Is PRIMES in P?
1.4 Randomized and Superpolynomial Time Algorithms for the Primality Problem
1.5 The New Algorithm
1.6 Finding Primes and Factoring Integers
1.7 How to Read This Book
2. Algorithms for Numbers and Their Complexity
2.1 Notation for Algorithms on Numbers
2.2 O-notation
2.3 Complexity of Basic Operations on Numbers
3. Fundamentals from Number Theory
3.1 Divisibility and Greatest Common Divisor
3.2 The Euclidean Algorithm
3.3 Modular Arithmetic
3.4 The Chinese Remainder Theorem
3.5 Prime Numbers
3.5.1 Basic Observations and the Sieve of Eratosthenes
3.5.2 The Fundamental Theorem of Arithmetic
3.6 Chebychev's Theorem on the Density of Prime Numbers
4. Basics from Algebra: Groups, Rings, and Fields
4.1 Groups and Subgroups
4.2 Cyclic Groups
4.2.1 Definitions, Examples, and Basic Facts
4.2.2 Structure of Cyclic Groups
4.2.3 Subgroups of Cyclic Groups
4.3 Rings and Fields
4.4 Generators in Finite Fields
5. The Miller-Rabin Test
5.1 The Fermat Test
5.2 Nontrivial Square Roots of 1
5.3 Error Bound for the Miller-Rabin Test
6. The Solovay-Strassen Test
6.1 Quadratic Residues
6.2 The Jacobi Symbol
6.3 The Law of Quadratic Reciprocity
6.4 Primality Testing by Quadratic Residues
7. More Algebra: Polynomials and Fields
7.1 Polynomials over Rings
7.2 Division with Remainder and Divisibility for Polynomials...
7.3 Quotients of Rings of Polynomials
7.4 Irreducible Polynomials and Factorization
7.5 Roots of Polynomials
7.6 Roots of the Polynomial Xr-1
8. Deterministic Primality Testing in Polynomial Time
8.1 The Basic Idea
8.2 The Algorithm of Agrawal, Kayal, and Saxena
8.3 The Running Time
8.3.1 Overall Analysis
8.3.2 Bound for the Smallest Witness r
8.3.3 Improvements of the Complexity Bound
8.4 The Main Theorem and the Correctness Proof
8.5 Proof of the Main Theorem
8.5.1 Preliminary Observations
8.5.2 Powers of Products of Linear Terms
8.5.3 A Field F and a Large Subgroup G of F* .
8.5.4 Completing the Proof of the Main Theorem
A. Appendix
A.1 Basics from Combinatorics
A.2 Some Estimates
A.3 Proof of the Quadratic Reciprocity Law
A.3.1 A Lemma of Gauss
A.3.2 Quadratic Reciprocity for Prime Numbers
A.3.3 Quadratic Reciprocity for Odd Integers
References
Index
· · · · · · (收起)
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