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出版者:科学出版社

作者:西北工业大学高等数学教研室 编

出品人:

页数:490

译者:

出版时间:2007-6

价格:49.00元

装帧:

isbn号码:9787030189851

丛书系列:

图书标签:

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《数学思维的探索与实践》 一、 导言：超越计算，拥抱理解 数学，绝非枯燥的符号与冰冷的公式的堆砌，它是一门关于模式、结构、逻辑和抽象的语言，是人类理性思维最闪耀的成果之一。本书《数学思维的探索与实践》旨在引导读者超越对数学运算技巧的机械模仿，深入挖掘数学概念的本质，理解其背后的逻辑链条，并学会如何将数学的思维方式应用于解决实际问题，乃至启迪更广阔的思考维度。我们认为，真正的数学学习，是对数学思想的浸润，是对数学方法的掌握，更是对自身思维能力的提升。 本书的核心理念在于“理解”与“应用”。我们不求速成，不提供“包会”的捷径，而是鼓励读者静下心来，与数学进行一场深入的对话。通过系统性的梳理、精选的案例分析以及富有启发性的练习，我们希望帮助读者建立起坚实的数学基础，培养敏锐的数学直觉，并最终能够自信地驾驭数学这门强大的工具。 二、 内容概述：逻辑的殿堂，思维的画卷 本书将引领您踏上一段探索数学奥秘的旅程，涵盖了多个核心数学分支，并着重于展现它们之间的内在联系以及在解决问题时的强大力量。 第一部分：数学的基石——逻辑与集合 在一切复杂的数学结构之前，是抽象而普适的逻辑规则与集合论。这一部分将深入探讨： 命题逻辑与谓词逻辑： 我们将从最基础的命题的真假判断出发，学习逻辑联结词（与、或、非、蕴含、等价）的用法，理解推理的有效性。进而，我们将引入量词（全称量词、存在量词），学习如何精确地表达数学语句，例如“对于任意的x，都存在y使得…” 这种表达在高等数学中无处不在。我们将通过实际命题的分析，练习如何构建有效的论证，如何识别逻辑谬误。 集合论基础： 集合是数学中最基本的研究对象之一。我们将学习集合的概念、表示方法（列举法、描述法）、子集、真子集、空集等。集合运算（并集、交集、差集、补集）的性质及其几何直观将得到详细阐述。理解集合论，不仅是理解数学语言的起点，更是理解函数、关系等更复杂概念的基础。我们将探讨集合之间的对应关系，为后续的函数概念铺垫。 第二部分：变量的舞蹈——函数与方程 函数是描述变量之间关系的数学语言，是连接离散与连续、静态与动态的关键。本部分将深入探讨： 函数的概念与性质： 我们将详细讲解函数的定义、域、值域、单调性、奇偶性、周期性等核心概念。通过丰富的实例，理解不同类型函数的图像特征，例如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。我们将深入探讨函数的复合、反函数等重要概念，以及如何判断一个函数是否具有这些性质。 方程与不等式的求解艺术： 方程是寻找未知数的工具，而不等式则描述了变量的范围。我们将系统地梳理各类方程（线性方程、一元二次方程、指数方程、对数方程、三角方程）的解法，并探讨方程根的存在性与唯一性问题。不等式的解法，特别是线性不等式组、一元二次不等式、指数与对数不等式的求解，以及利用函数图像辅助求解不等式的方法，也将是重点。我们将强调不等式在界定变量范围、分析函数行为中的作用。 方程组与线性代数初步： 对于包含多个未知数的方程组，我们将介绍其基本概念，包括增广矩阵、行初等变换等，并深入讲解高斯消元法等求解线性方程组的系统方法。我们将初步触及向量空间、矩阵运算的概念，为理解更高级的线性代数知识打下基础。 第三部分：无处不在的变化——微积分的奇迹 微积分是描述变化率与累积量的强大工具，是现代科学技术的核心驱动力之一。 极限的概念与计算： 极限是微积分的基石。我们将以直观的方式解释极限的含义，例如当变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。我们将学习求极限的基本法则，以及处理“0/0”、“∞/∞”等不定型极限的方法，例如洛必达法则的应用。极限在定义导数和积分中起着决定性作用。 导数：变化的度量： 导数代表了函数在某一点的瞬时变化率，是描述物体运动速度、曲线斜率等问题的关键。我们将学习导数的定义，掌握基本初等函数的求导法则，并深入探讨高阶导数、隐函数求导等。导数的应用是本书的一大亮点，我们将通过丰富的例题，展示导数在函数图像分析（单调性、凹凸性、极值）、优化问题（最大值、最小值）、物理学（速度、加速度）等领域的应用。 积分：累积的艺术： 积分是求导的逆运算，用于计算曲线下面积、体积、总变化量等。我们将介绍定积分与不定积分的概念，学习基本积分公式与积分技巧（如换元积分法、分部积分法）。积分的应用同样广泛，我们将探讨它在计算几何图形面积与体积、求解物理量（功、路程）、概率统计等方面的应用。 微分方程初步： 微分方程是描述变量之间变化率关系的方程，是建模自然现象、工程问题的核心。我们将介绍一阶微分方程的基本类型（如可分离变量方程、线性方程）及其解法，并初步了解二阶线性常系数微分方程的求解。我们将强调微分方程在模拟系统演化过程中的强大能力。 第四部分：空间的描绘——解析几何与向量 解析几何与向量将代数方法引入几何问题，使几何问题得以用代数语言精确描述和解决。 平面几何的代数表达： 我们将学习如何用坐标来表示点、线、圆等基本几何图形。点与点之间的距离公式、直线方程（点斜式、两点式、截距式、一般式）、直线的位置关系（平行、相交、垂直）、点到直线的距离公式等都将得到详尽的讲解。圆的标准方程与一般方程、圆与直线的位置关系也将是重点。 曲线与曲面： 在此基础上，我们将进一步学习二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程及其几何性质。我们将理解它们如何由代数方程精确地描绘出来，以及它们的焦点、离心率、渐近线等重要参数的意义。 向量代数： 向量是具有大小和方向的量，在物理学、工程学、计算机图形学等领域至关重要。我们将学习向量的概念、表示方法、向量的加减法、数乘、点积、叉积等基本运算。点积与向量夹角、投影的关系，叉积与向量垂直、面积的关系也将得到深入探讨。向量在处理几何问题、力学问题、空间解析几何等方面展现出独特的优势。 第五部分：现代数学的视角——离散数学与概率统计初步 除了连续数学，离散数学和概率统计也是现代数学不可或缺的部分。 图论基础： 图论是研究点和线连接关系的数学分支。我们将介绍图的基本概念（顶点、边、度）、路径、回路、连通性等。我们将学习如何用图来建模实际问题，例如网络路由、社交关系等。 组合计数： 组合学是研究计数问题的数学分支。我们将学习排列、组合的概念和公式，以及如何解决复杂的计数问题，例如二项式定理的应用。 概率论基础： 概率论是研究随机现象的数学理论。我们将从基本概念出发，例如样本空间、事件、概率等。我们将学习条件概率、独立事件、全概率公式、贝叶斯定理等核心内容。 数理统计初步： 统计学是分析和解释数据的科学。我们将介绍描述性统计（均值、方差、标准差）和推断性统计的基本思想，例如参数估计和假设检验。 三、 学习方法与思维训练 本书不仅提供知识，更注重培养学习方法和数学思维。 循序渐进，夯实基础： 我们强调每一个概念的建立都基于其前置知识，鼓励读者从基础开始，不跳跃、不囫囵吞枣。 理解而非记忆： 对于公式和定理，我们不仅提供其形式，更着重解释其来源、含义以及应用场景，让读者“知其然，更知其所以然”。 化繁为简，归类分析： 遇到复杂问题，引导读者将其分解为更小的、可控的部分，并学会识别问题中的共性，将其归入已知的模型或方法。 多角度思考，融会贯通： 鼓励读者从不同角度审视同一个问题，例如几何角度、代数角度、逻辑角度，从而加深理解，建立不同数学分支之间的联系。 勤于练习，注重反思： 书中配备了不同难度和类型的习题，鼓励读者动手实践，并在解题过程中思考解题思路、技巧，总结经验教训。对于错题，更要深入分析错误原因，避免重蹈覆辙。 联系实际，体会价值： 引导读者关注数学在日常生活、科技发展、经济金融等领域的应用，体会数学的魅力与实用价值，激发学习的内在动力。 四、 结语：智慧的启迪，未来的通行证 掌握数学，不仅仅是掌握一门学科，更是开启了一种全新的思考模式。它训练您分析问题的严谨性，逻辑推理的清晰性，抽象思维的灵活性，以及解决问题的创造性。在信息爆炸、技术飞速发展的今天，数学思维已成为一项核心竞争力。 《数学思维的探索与实践》将是您在这条探索之路上忠实的伙伴。我们相信，通过系统而深入的学习，您将不仅能应对高等数学的学习挑战，更能将这份宝贵的数学思维转化为您在学术研究、职业发展乃至人生道路上的强大助力，点亮智慧，启迪未来。

评分☆☆☆☆☆

看常见错误剖析可以弥补一些思维的漏洞。 题目归纳的也不错。 不过考研并不在于多做题，而是理解。大部分题目都可以在同类型书中看到。而错误剖析则有其独到视角，一些平时学生难以在平时的课堂和学习中注意到的问题。

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物理老師林曉所贈。

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