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页数:395

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出版时间:2007-5

价格:20.00元

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isbn号码:9787542737212

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• 数学
• 初中数学
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《数学解题的艺术：策略、技巧与思维拓展》 本书并非关于特定教材的习题解析，而是旨在揭示数学解题背后更深层次的思维逻辑与方法论。它将引领读者穿越题海的迷雾，抵达智慧的彼岸，学习如何“思考”数学问题，而非仅仅“解答”数学问题。本书的核心在于培养学生独立思考、灵活运用、融会贯通的能力，让数学学习从被动接受转变为主动探索。 第一篇：数学解题的底层逻辑——思维的基石 在进入具体的解题技巧之前，我们必须夯实思维的基石。本篇将从根本上剖析数学解题为何如此，以及我们应该以怎样的心态去面对它。 第一章：理解数学的本质：抽象、建模与逻辑 数学的语言：符号与定义。 我们将深入探讨数学符号的精确性，理解每一个定义背后所蕴含的严谨性。为何数学需要如此精确？这是为了避免歧义，保证推理的无懈可击。我们将通过一些生动的例子，展示模糊语言在实际问题中的潜在危害，以及数学语言如何成为沟通无误的桥梁。 抽象的力量：从具体到一般。 数学最迷人的地方在于其强大的抽象能力。本章将引导读者理解如何从具体的现象或问题中提炼出事物的本质属性，建立起普遍适用的数学模型。我们会分析从几何图形的性质到代数方程的形成，每一步抽象都蕴含着深刻的洞察力。 逻辑的脉络：推理与证明。 数学是一门严谨的逻辑科学。本章将详细阐述数学推理的类型（演绎推理、归纳推理、类比推理），以及证明在数学体系中的核心地位。我们将学习如何构建严密的逻辑链条，从已知条件出发，一步步推导出结论，并理解证明的“为什么”比“怎么做”更重要。 第二章：解题者的自我修养：心态、习惯与视野 克服畏难情绪：自信与坚持。 很多学生在面对难题时容易产生畏难情绪，导致思维停滞。本章将分析产生这种情绪的心理根源，并提供切实可行的方法来培养解题的自信心和坚持不懈的毅力。我们将强调，每一次尝试都是一次学习，即使失败也是向成功迈进的一步。 养成良好习惯：审题、分析与反思。 精准的审题是解题成功的一半。本章将指导读者如何仔细阅读题目，提取关键信息，排除干扰项。同时，我们将强调分析问题、理解问题的重要性，以及解题后的反思环节——“我为什么会做对/做错？”，“有没有更优的解法？”。 拓展解题视野：触类旁通与举一反三。 优秀的解题者能够将一道题的解法迁移到其他类似问题上。本章将探讨如何培养这种“触类旁通”的能力，理解不同知识点之间的联系，从而实现“举一反三”的学习效果。我们会展示一些看似无关的题目，背后却有着共通的解题思想。 第二篇：数学解题的核心策略——思维的武器库 本篇将进入具体的解题策略层面，为读者提供一套系统化的思维工具，帮助他们应对各种类型的数学问题。 第三章：审视问题的本质：建模与转化 将实际问题数学化：情境建模。 许多数学问题来源于现实生活。本章将教导读者如何识别和提取实际问题中的数学要素，将其转化为数学模型（方程、不等式、函数、几何图形等）。我们会通过不同领域的实例，如物理、经济、工程等，来展示数学建模的强大应用。 将复杂问题简单化：等价转化。 “化归思想”是数学解题中最具普适性的策略之一。本章将深入讲解如何将一个陌生的问题转化为一个熟悉的问题，将一个复杂的问题转化为一个简单的问题。这包括将代数问题几何化，将高维问题低维化，将非线性问题线性化等。 借助图形的力量：数形结合。 数形结合是一种强大的思维方式，能够将抽象的代数概念与直观的几何图形联系起来，加深理解，简化推理。本章将展示如何运用数形结合解决代数、几何、解析几何等问题，以及如何通过图形分析来指导代数运算。 第四章：寻找解题的突破口：分析、构造与假设 逆向思维：从结果推导条件。 有时，从已知条件入手难以找到解题思路，这时不妨尝试逆向思维，从问题的结论出发，反推其必要条件。本章将演示如何运用逆向思维来设计解题步骤，尤其是在证明题和构造题中。 “构造法”的艺术：“无中生有”的智慧。 在某些情况下，为了解决问题，我们需要主动构造辅助元素，如辅助线、辅助角、辅助方程等。本章将介绍各种构造方法的原理和技巧，以及如何判断何时需要构造以及如何构造出有效的辅助。 “假设法”的逻辑：试探与验证。 对于一些存在性或唯一性问题，我们可以通过假设来探寻解题的可能路径。本章将详细讲解假设法的基本原理，包括如何合理假设、如何从假设出发进行逻辑推理，以及如何通过验证来确定假设的正确性。 第五章：运用数学工具：方程、函数与数列 方程与不等式的求解艺术：代数智慧的结晶。 方程和不等式是解决量化问题的基本工具。本章将探讨不同类型方程（一元一次、一元二次、高次方程、方程组）和不等式的求解策略，包括因式分解、配方法、求根公式、图像法等。我们将强调理解解的意义，而不仅仅是机械套用公式。 函数在解题中的地位：变化的规律。 函数是描述事物变化关系的重要数学模型。本章将深入挖掘函数在解题中的应用，包括利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）来简化问题，利用函数的图像来分析问题，以及利用函数方程来解决复杂问题。 数列的魅力：规律的延续与求和。 数列是研究离散变量变化规律的工具。本章将重点介绍等差数列、等比数列等常见数列的性质及其应用，以及如何利用数列的通项公式和求和公式来解决问题。我们还将探讨数列与函数、方程之间的联系。 第三篇：数学解题的思维拓展——智慧的升华 在掌握了基础的解题策略后，本篇将带领读者进一步提升思维的层次，培养更具创造性和深刻性的解题能力。 第六章：解题思想的升华：整体性、对称性与周期性 整体思想：“以整体代部分”。 很多复杂的代数运算和方程问题，可以通过将某些式子或变量视为一个整体来简化。本章将通过大量实例，展示整体思想如何帮助我们快速解决问题。 对称性思维：美的数学。 对称是自然界和数学中最普遍的现象之一。本章将引导读者识别和运用各种对称性（点对称、轴对称、中心对称、函数对称性等）来简化几何图形的证明，解决代数方程，以及分析函数的性质。 周期性思维：规律的循环。 周期性在许多数学问题中都有体现，如三角函数、数列、以及一些数的性质。本章将探讨如何识别和利用周期性来简化计算、预测规律、解决问题。 第七章：问题解决的进阶策略：反例、特殊化与一般化 反例法的威力：证伪的利器。 当我们对某个命题或结论产生怀疑时，寻找反例是检验其真实性的最有效方法。本章将详细讲解如何构造反例来证伪命题，以及在解题过程中如何避免陷入错误的方向。 特殊化方法：从一般到具体。 对于一个具有普遍意义的命题或问题，我们可以尝试用特殊的数值、图形或情况来验证其性质。本章将展示特殊化方法如何帮助我们找到解题思路，理解问题的本质。 一般化思维：从具体到一般。 与特殊化相反，一般化思维是将从特殊情况中获得的见解提升到普遍适用的规律。本章将指导读者如何从具体的解题过程和结论中抽象出一般性的方法和原理，从而触类旁通。 第八章：数学思想的融会贯通：联系、建模与创新 学科间的联系：数学是一门整体。 本章将强调数学内部各分支（代数、几何、概率统计、解析几何等）之间的紧密联系，以及数学与其他学科（物理、信息技术、经济学等）之间的相互作用。我们将通过综合性的案例，展示如何运用跨学科的知识来解决问题。 数学建模在复杂问题中的应用：从现实到抽象再到现实。 本章将进一步深入探讨数学建模的完整过程，包括模型构建、模型求解、模型检验与修正。我们将分析一些更复杂的实际问题，演示如何通过数学建模来理解和解决它们。 走向创新：培养数学家的思维。 最后的章节将鼓励读者跳出习题的框架，尝试自己提出问题，探索新的解法，培养数学的创新精神。我们将分享一些数学史上的创新故事，以及鼓励读者保持好奇心和探索欲。 结语： 《数学解题的艺术：策略、技巧与思维拓展》并非一本提供标准答案的“工具书”，而是一本引导读者掌握“思考工具”的“启迪书”。它希望帮助每一位读者，在面对数学问题时，不再感到束手无策，而是能够以一种更加自信、灵活、富有创造性的方式去探索和解决。通过掌握这些解题的艺术，你将发现数学的魅力远不止于计算和公式，更在于它所蕴含的深刻的逻辑思维和解决问题的智慧。

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