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出版者:中国科学技术大学出版社

作者:胡新启

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2006-10

价格:12.00元

装帧:

isbn号码:9787312020070

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 解析几何
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

《微积分：跨越无限的探索》 本书将带您踏上一段引人入胜的数学之旅，探索微积分这一强大的工具如何揭示变化与运动的奥秘。我们不局限于抽象的理论，而是以直观的视角、丰富的实例，深入浅出地剖析微积分的核心概念。 第一部分：导数——洞察瞬息万变的世界 我们将从导数开始，这是微积分的基石之一。您将理解导数不仅仅是“斜率”，更是衡量函数在某一点变化率的精确度量。通过一系列精心设计的示例，我们将展示导数如何在物理学中描述速度与加速度，在经济学中分析边际成本与边际收益，在工程学中优化设计参数。 极限的艺术： 在深入导数之前，我们将先理解极限的概念。我们会用生动的图示和日常的比喻，解释极限如何让我们“无限接近”却又“永远不触及”，这是理解连续性和变化的起点。 导数的定义与计算： 我们将详细介绍导数的定义，并通过代数运算和几何解释，让您熟练掌握求导的技巧。从基本函数的求导法则，到链式法则、乘法法则、除法法则，每一步都伴随着清晰的推导和应用。 导数的几何意义： 曲线的切线、法线，函数在某点的瞬时变化率，我们将通过可视化手段，将这些抽象的概念变得触手可及。 导数的应用： 优化问题： 如何找到函数的最大值和最小值？我们将学习如何利用导数来解决实际生活中的优化问题，例如确定生产成本最低的产量，或者设计出容积最大的容器。 曲线的性态分析： 增长与衰减、凹凸性、拐点，导数将帮助我们描绘出函数的完整“肖像”，理解其变化趋势。 物理学中的运动学： 速度、加速度、位移，这些物理量之间的关系将通过导数得到清晰的阐释。 经济学中的边际分析： 边际成本、边际收益、弹性，微积分提供了分析经济变量变化的有力工具。 第二部分：积分——累积的智慧与面积的奥秘 紧随其后，我们将进入积分的世界。积分是对“累积”和“总量”的探索，它与导数之间存在着深刻而美妙的联系。您将发现，积分不仅能计算曲线下的面积，更能揭示累积效应和总量的计算方法。 不定积分： 我们将从反导数的概念出发，理解不定积分如何“还原”导数的运算，它代表着一族函数的集合。 定积分的定义与几何意义： 定积分的核心在于“分割”和“累加”。我们将通过黎曼和的概念，直观地理解定积分如何近似计算曲线下的面积，最终通过极限的手段得到精确值。 微积分基本定理： 这是微积分中最具革命性的发现之一，它将导数和积分紧密地联系起来。我们将详细阐述其内容，并展示如何利用它来高效地计算定积分。 积分技巧： 从换元积分法到分部积分法，本书将提供系统性的方法来应对各种积分计算，并辅以大量的练习题，帮助您熟练掌握。 积分的应用： 面积与体积计算： 计算不规则图形的面积，求解旋转体、立体图形的体积，积分在此展现出强大的几何应用能力。 物理学中的功与总量： 计算变力做功，求解质心、转动惯量等物理量。 概率论与统计学： 连续型随机变量的概率密度函数及其积分，累积分布函数，积分在统计学中扮演着至关重要的角色。 微分方程的求解： 许多描述自然和社会现象的微分方程，其解的求解离不开积分。 第三部分：多变量微积分——拓展视野，洞察高维空间 在掌握了单变量微积分的基础上，我们将进一步拓展视野，进入多变量微积分的领域。我们将探索在二维、三维甚至更高维空间中的函数，理解偏导数、方向导数、梯度等概念，并学习如何处理多重积分。 多变量函数的可视化： 如何理解和描绘三维空间中的曲面？我们将通过图示和概念解释，帮助您构建对多变量函数的直观认识。 偏导数与方向导数： 在多个自变量影响下，函数如何变化？偏导数揭示了函数沿着特定轴向的变化率，而方向导数则能描述函数在任意方向上的变化率。 梯度： 梯度是一个向量，它指向函数增长最快的方向，并指示了该方向上的变化率。我们将探讨其在优化和图像处理等领域的应用。 重积分： 如何计算区域内的体积或质量？重积分将单变量积分的概念推广到多维空间，为我们提供了强大的计算工具。 向量微积分： 曲线积分、面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，这些定理将揭示向量场在不同几何体上的积分性质，是物理学、工程学等领域不可或缺的工具。 本书的特色： 直观的几何解释： 我们力求通过图示和类比，将抽象的数学概念具象化，让您“看到”数学。 丰富的实际应用： 从自然科学到工程技术，再到经济社会，本书将展示微积分在各个领域的广泛应用，激发您的学习兴趣。 循序渐进的难度： 内容从基础概念逐步深入，确保您在理解现有知识的基础上，稳步掌握更复杂的概念。 详实的例题与练习： 大量精心设计的例题帮助您理解概念，丰富的练习题则能帮助您巩固和提升技能。 无论您是初次接触微积分的学生，还是希望深化理解的在职人士，本书都将是您探索数学奥秘、理解变化世界的理想伴侣。让我们一起，用微积分的语言，解读这个精彩纷呈的数学宇宙。

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这本书的语言风格独树一帜，它摆脱了传统教材那种冷冰冰、公式化的叙述模式，读起来更像是与一位学识渊博、富有耐心的导师进行一对一的交流。作者在解释复杂概念时，常常会穿插一些形象的比喻和贴近生活的例子，使得那些抽象的数学符号立刻变得鲜活起来。比如，描述函数的连续性时，作者用“在笔画的过程中，你不需要把笔抬起来”这样一个朴素的比喻，瞬间就抓住了非专业读者的注意力。更难能可贵的是，作者在某些关键转折点，会坦诚地表达出数学家在发展理论时所经历的“挣扎”和“顿悟”，这让读者感受到数学并非是神圣不可侵犯的真理，而是人类智慧不断探索、修正和完善的过程。这种“人性化”的表达，极大地拉近了读者与知识的距离，让学习过程充满了人文关怀，使我不再觉得数学是枯燥的计算，而是一场充满智慧火花的伟大冒险。

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关于习题部分的设置，这本书简直可以被视为一本精选的“数学思维训练营”。我特别欣赏它在每章末尾设置的那几种不同类型的练习题。首先是基础巩固类，确保核心概念的掌握无误；然后是综合应用类，它们巧妙地将本章知识与前几章的内容结合起来，迫使读者进行知识的迁移和整合；最让我感到震撼的是那些被称为“探索性思考”的题目。这些题目往往不局限于课本内容，它们更像是一些开放性的挑战，引导你去思考定理的边界在哪里，或者尝试用不同的方法去证明同一个结论。我记得有一道关于变分法的题目，它没有给出明确的求解路径，只是提供了一个物理情境的描述，我花了整整一个下午的时间，才从最基本的原理出发构建起完整的数学模型，那种茅塞顿开的成就感，是单纯做选择题无法比拟的。这本书真正培养的，不是解题的技巧，而是解决未知问题的能力。

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这本书最大的亮点，或许在于它那近乎偏执的“由浅入深，循序渐进”的教学设计哲学。我曾遇到过一些教材，开头部分讲解得过于简单，仿佛在对一个完全没有数学基础的人说话，让人感到浪费时间；而中间部分又突然拔高，措手不及。但这本书的过渡极其自然和谐。它似乎拥有一种魔力，能够精准地把握读者的认知曲线。每一个新概念的引入，都建立在前一个知识点完全巩固的基础上，并且总会伴随着精心设计的“桥梁性”例题，这些例题设计得妙不可言，它们既不是那种一眼就能看出答案的送分题，也不是那种需要绕好几个弯才能找到出口的怪题，而是恰到好处地连接了已学知识和待学难点。我发现，自己很少需要翻回前几页去温习概念，因为作者已经在构建新知识时，巧妙地将旧知识点进行了必要的重申和串联。这种流畅的学习体验，极大地提升了我的学习效率和自信心，让我对那些曾经望而生畏的难题也敢于正面迎击了。

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这本书的排版和装帧实在令人眼前一亮，初拿到手时，那种厚重而又不失精致的感觉，让人立刻对即将开始的学习之旅充满了期待。封面设计简约大气，没有那些花里胡哨的装饰，直奔主题，透露出一种严谨的学术气息。内页的纸张质量也相当不错，触感细腻，长时间阅读眼睛也不会感到特别疲劳。更值得称赞的是，每一个公式、每一个定理的推导过程，都排布得清晰明了，逻辑链条环环相扣，即便是面对那些复杂的数学表达式，也能顺畅地跟上作者的思路。对于我们这些需要经常查阅和演算的读者来说，这种清晰度简直是福音。书中的图示部分也做得非常用心，几何图形的绘制精准到位，立体感的呈现让人对抽象概念的理解豁然开朗。整体来看，这本书在物理呈现上就已经为高质量的学习体验打下了坚实的基础，远超我对普通教材的预期。它不仅仅是一本工具书，更像是一件值得珍藏的工艺品，让人在学习之余，也能享受到阅读本身的愉悦。

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我必须承认，这本书的深度和广度远超我之前接触过的任何同类教材，它真正做到了对所涉及领域进行一次彻底而深入的“考古式”挖掘。作者在阐述基本概念时，没有停留在表面的定义和公式罗列，而是深入追溯了这些理论诞生的历史背景和思想演变过程。例如，在讲解极限的严谨定义时，作者花了相当大的篇幅去对比不同历史时期数学家们对“无穷小”的不同理解，这种叙事性的处理方式，极大地激发了我探究事物本质的好奇心。它不是简单地告诉你“是什么”，而是引导你思考“为什么会是这样”，这种对数学思维逻辑的培养，比单纯记忆结论要宝贵得多。读完其中关于级数收敛性的章节后，我感觉自己对“无限”这个概念有了全新的、更加立体的认识，不再是模糊不清的代名词，而是可以被精确控制和分析的对象。对于那些渴望真正理解数学内在美感的读者来说，这本书提供了非同寻常的视角和深度，值得反复咀嚼和品味。

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