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出版者:北京理工大学出版社

作者:李以渝 编

出品人:

页数:178

译者:

出版时间:2007-4

价格:19.00元

装帧:

isbn号码:9787564010409

丛书系列:

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• 高等数学
• 数学基础
• 微积分
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• 导数
• 积分
• 解析几何
• 线性代数
• 大学教材

《高等数学基础分册》简介 《高等数学基础分册》是一本旨在为广大高等院校理工科及经济管理类专业学生构建坚实数学基础的权威教材。本书系统性地涵盖了高等数学的核心内容，力求以清晰的逻辑、严谨的证明和丰富的例题，引导读者深入理解数学概念的本质，掌握数学工具的应用，并培养解决实际问题的数学思维能力。 本书分为上下两大部分，共包含十章内容，循序渐进地为读者呈现高等数学的魅力。 上册：微积分基础 上册重点聚焦于微积分的核心理论与方法，是理解后续高等数学知识的基础。 第一章 函数与极限： 本章作为高等数学的起点，首先介绍了函数的概念、性质、运算以及各类常见函数（如多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）的性质和图像。随后，深入讲解了极限的概念，包括函数极限和数列极限，并详细阐述了极限的保号性、唯一性、夹逼性等重要性质。对无穷小、无穷大及其关系的探讨，为理解连续性奠定基础。本章还介绍了求极限的常用方法，如代数法、夹逼法、洛必达法则等，并通过大量例题展示了如何分析和求解各种类型的极限问题。 第二章 导数与微分： 导数是描述函数变化率的关键概念。本章首先从微分几何的观点出发，阐述了导数的定义、几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。随后，系统介绍了基本初等函数的导数公式，并详细讲解了导数的四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）、隐函数求导法等。特别是对抽象函数求导的技巧进行了深入分析。微分的概念及其与导数的关系也被清晰阐述。本章还介绍了高阶导数的概念及其计算方法。 第三章 导数的应用： 本章将导数理论应用于解决实际问题。通过导数，我们可以分析函数的单调性、求函数的极值和最值，以及判断函数的凹凸性。由此引出了绘制函数图像的方法，这对于直观理解函数行为至关重要。此外，本章还涉及了曲率、渐近线等概念，丰富了对函数图像的认识。在应用方面，本章通过速度与加速度、优化问题（如几何图形的最优尺寸、经济学中的成本最小化等）等具体实例，展现了导数在物理、工程、经济等领域的强大威力。 第四章 不定积分： 不定积分是求导的逆运算，是建立积分理论的基石。本章首先定义了原函数和不定积分的概念，并给出了不定积分的性质。随后，系统介绍了基本积分公式，并详细讲解了积分的两种主要方法：第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（变量代换法）。还重点介绍了分部积分法，这是解决许多复杂积分问题的有力工具。通过丰富的例题，帮助读者熟练掌握这些积分技巧。 第五章 定积分： 定积分是微积分学中的核心概念之一，它用于计算曲线下面积、体积、功等。本章从分割、求和、取极限的角度出发，严格定义了定积分，并阐述了定积分存在的条件。随后，详细介绍了微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），这是连接微分和积分的关键桥梁。本章还讲解了定积分的性质，以及计算定积分的常用方法，包括换元法和分部积分法。对瑕积分（反常积分）的概念及其计算方法也进行了初步介绍。 下册：积分的应用与多元函数微积分 下册将进一步拓展积分的应用范围，并引入多元函数微积分的概念，为读者提供更广泛的数学工具。 第六章 定积分的应用： 本章是定积分理论的延伸和深化，集中展示了定积分在解决各类实际问题中的应用。包括计算平面图形的面积（如各种曲线围成的区域）、曲线的弧长、旋转体体积、以及平面曲线的曲率。此外，还涉及了物理学中的应用，例如计算变力做功、压力、质量中心和转动惯量等。本章的重点在于引导读者将抽象的定积分概念与具体的物理或几何量联系起来，培养运用数学解决实际问题的能力。 第七章 微分方程初步： 微分方程是描述变量之间变化关系的重要数学工具。本章作为微分方程的入门，重点介绍了一阶微分方程的几种基本类型，如可分离变量方程、齐次方程、线性方程和伯努利方程。对这些方程的解法进行了详细阐述，并给出了求解的基本步骤。此外，还介绍了二阶常系数线性微分方程及其解法，这是许多实际问题建模的基础。通过对微分方程的初步学习，读者将能够初步掌握建立和求解描述动态过程的数学模型。 第八章 多元函数微分： 本章将微积分的视野从单变量函数扩展到多变量函数。首先介绍了二元函数的概念、定义域、极限和连续性。随后，核心内容是偏导数的概念、计算及其几何意义（曲面在某一点的切平面）。还介绍了方向导数和梯度，它们反映了函数在空间中的变化趋势。对多元函数的可微性及其与偏导数的关系进行了严谨的讨论。链式法则在多元函数中的推广也是本章的重要内容。此外，还介绍了高阶偏导数和二阶偏导数的混合相等性。 第九章 多元函数微分的应用： 本章将多元函数微分理论应用于实际问题。重点讲解了如何利用偏导数求多元函数的极值和最值，包括局部极值和全局极值。特别是对条件极值问题，引入了拉格朗日乘数法这一重要的求解工具。此外，还介绍了泰勒公式在多元函数中的应用，以及隐函数定理和反函数定理，这些是理解和处理复杂函数关系的关键。 第十章 多元函数积分： 本章介绍了多元积分的概念，包括二重积分和三重积分。详细阐述了二重积分的定义、性质以及计算方法，重点讲解了利用直角坐标系和极坐标系进行二重积分的计算。对三重积分的概念、性质和计算也进行了介绍，并展示了如何利用柱坐标和球坐标简化计算。最后，对曲线积分和曲面积分进行了初步介绍，为进一步学习更高级的数学分析奠定基础。 《高等数学基础分册》在内容组织上，遵循由浅入深、由易到难的原则，逻辑严密，条理清晰。每个章节都配有大量的例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，掌握解题技巧。习题的设置由基础性问题到综合性问题，覆盖了各类题型，能够有效检验和提升读者的数学能力。本书的语言表达力求准确、简洁、生动，避免使用过于晦涩难懂的术语，力求让每一位读者都能轻松愉快地掌握高等数学的精髓。 无论您是初次接触高等数学的学生，还是需要巩固和深化基础知识的在校生或从业人员，《高等数学基础分册》都将是您理想的学习伙伴。通过对本书的学习，您将能够构建起扎实的数学基础，为后续更高级的课程学习和科学研究打下坚实的基础。

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这本书的章节结构安排，遵循了一种非常古典的数学逻辑递进方式，这种方式极其强调逻辑的闭环和严密性。从实数系的完备性开始，每一步都像是搭建一座由基础砖石垒砌起来的宏伟建筑。它不急于引入复杂的概念，而是花大量篇幅来夯实“极限”这一基石。我注意到，作者对收敛性的讨论极其冗长而详尽，几乎涵盖了所有可能遇到的边界情况和反常现象。这种谨慎的态度，使得读者在面对一些看似微小的细节时，也能找到其理论上的支撑。但这种严谨性，在快节奏的学习环境下，有时会变成一种负担。例如，在学习级数收敛判断时，对于Ratio Test（比值判别法）和Root Test（根值判别法）的证明，它用了好几页篇幅去论证其在特定条件下的充分必要性，这对于只想快速判断一个级数是否收敛的读者来说，未免有些“杀鸡用牛刀”的感觉。这本书更适合那些愿意慢下来，彻底理解“为什么”而不是“怎么做”的探索者。

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我花了数周时间研读这本书的某些部分，特别是在尝试理解二重积分的区域划分和坐标变换时，深感其对几何直觉的挑战。书中对坐标变换的讲解，虽然在代数推导出雅可比行列式时处理得非常清晰，但在将其与三维空间中的实际扭曲和拉伸过程建立联系时，略显不足。它更多地侧重于符号运算的规则，而非空间想象的培养。我常常需要结合外部的动态可视化工具，才能真正领会变量替换是如何影响面积或体积元素的。如果能有更多配图，尤其是一些能展示函数映射前后空间形变过程的插图，将会极大地方便读者建立直观感受。总的来说，这本书像一位知识渊博但略显古板的导师，他能给出最准确的定理和最无懈可击的证明，但可能需要学生自己去寻找通往直观理解的“捷径”。它要求学习者必须具备高度的抽象思维能力，否则很容易在符号的海洋中迷失方向。

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坦白说，这本书的实用性与理论的“高冷”形成了一种有趣的张力。当你沉浸在那些关于黎曼积分和牛顿-莱布尼茨公式的抽象推导中时，会有一种强烈的“学以致用”的冲动。然而，它在实际应用案例上的选择，显得相当保守和经典，似乎更侧重于建立纯粹的数学模型。比如，在涉及到实际物理问题（如变力做功或曲线下面积）时，它提供的应用实例大多是教科书式的范例，缺乏一些近年来新兴领域中，高等数学是如何被创造性地应用的鲜活案例。这使得某些章节的学习过程略显枯燥，就像在精雕细琢一个结构完美但尚未装配到任何机器上的精密零件。如果你是工程或计算机科学的学生，可能需要自行补充大量的实际问题来激活这些理论知识的“能量”。这本书就像一座储备丰富的知识宝库，里面的工具都极其精良，但你需要自己动手将它们与现实世界的锁孔对应起来。它的优点在于，一旦你理解了这些基础工具的原理，你将有能力去解决任何类型的工程问题，而不是仅仅套用几个现成的公式模板。

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拿起这本书，最直观的感受就是其排版的精良和对概念辨析的极致追求。它不像市面上流行的那些“速成”读物，试图用大量生动的比喻来“稀释”数学的难度；相反，它坚守了高等数学应有的精确性。尤其让我印象深刻的是它对“连续性”和“可微性”之间微妙关系的论述。作者没有停留在表面上指出“可微蕴含连续”，而是深入挖掘了两者在拓扑结构上的区别，并通过一系列巧妙构造的反例，清晰地展示了为什么一个函数可能在某点连续却无法求导。这种细致入微的拆解，让那些在其他教材中常被混淆的概念变得泾渭分明。我特别喜欢它在章节末尾设置的“辨析与辨伪”栏目，这部分内容常常能直击那些自以为掌握了知识点，实则存在认知盲区的“陷阱”。它迫使你不能只是记住公式的结构，而是必须理解公式背后所蕴含的限制条件和适用范围。对于追求理论完备性的读者来说，这本书无疑是一份珍宝，它为你打下的基础将非常牢固，足以支撑后续学习任何更高级的数学分支。

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这本被誉为“数学基石”的教材，拿到手上就给人一种严谨而厚重的实在感。我尝试着从头开始啃读，起初被那些密集的公式和抽象的符号压得有些喘不过气来。不得不说，它的深度远超我高中时接触的任何数学读物。例如，在讲解极限的ε-δ定义时，作者并未采取那种“一笔带过”的敷衍处理，而是用近乎哲学的思辨方式，层层剥开其内在逻辑的必然性，仿佛在引导读者进行一场智力上的探险。书中对于微积分的起源和历史背景的穿插叙述，使得冰冷的数学定理仿佛拥有了鲜活的生命力，让人理解了为什么这些概念会以这种方式被构建出来，而不是凭空产生的教条。然而，这种深度也意味着极高的阅读门槛，对于初学者而言，可能需要反复阅读才能真正抓住其精髓。某些章节，比如多元函数的泰勒展开式，讲解得如同天书一般，需要结合大量的课后习题和外部参考资料才能勉强跟上作者的思路。它更像是一份为未来数学家准备的蓝图，而不是为满足应试需求而简化的工具书。我个人认为，它在构建严密的数学思维框架方面无可匹敌，但若期待快速掌握解题技巧，或许需要寻找辅以大量应用案例的辅助材料。

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