Introduction to Enumerative Combinatorics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:McGraw-Hill Science/Engineering/Math

作者:Miklos Bona

出品人:

页数:544

译者:

出版时间:2005-9-27

价格:$ 218.66

装帧:Hardcover

isbn号码:9780073125619

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 计算机科学
• 组合数学
• 列举组合学
• 计数原理
• 组合论
• 数学
• 离散数学
• 排列组合
• 数学教材
• 高等教育
• 算法

好的，这是一本关于离散数学中组合计数主题的图书简介，它完全专注于该领域的经典和现代研究方向，避免了与《Introduction to Enumerative Combinatorics》直接重叠的特定内容，而是聚焦于更偏向于图论、结构组合、以及某些特定代数方法在计数问题中的应用。 离散结构与结构计数：从图论到代数方法 图谱与结构上的计数难题 本书深入探讨了离散数学中一个核心且富有挑战性的分支：结构计数。它侧重于那些不能简单通过传统生成函数或双射映射直接求解的复杂组合对象。本书的核心理念是将计数问题视为对特定离散结构（如图、超图、排序集、以及特定类型的抽象代数结构）的内在属性的深入分析。 第一部分：图论与结构计数的基础 本部分为读者奠定了理解复杂结构计数的数学基础，尤其强调了图论在计数中的关键作用。 第一章：细致入微的图计数 本章从图论的视角重新审视计数问题。不同于仅仅计算具有特定属性的图的数量，本章关注的是结构的细微变化如何影响总计数。我们探讨了具有特定度序列的图的计数问题，这比简单的无标签图计数要复杂得多。重点分析了随机图模型（如 $G(n, p)$）中特定子结构（如三角形、团、哈密顿环）出现概率的精确计算，并引入了基于谱理论（Spectral Graph Theory）的计数技巧。 第二章：覆盖、因子与匹配的精确计数 本章深入研究了图的因子分解和覆盖问题，这些在网络流、优化和生物信息学中至关重要。我们详细分析了完美匹配、因子（如 1-因子、2-因子）的精确计数方法。这包括使用割集（Cut Sets）和Tutte 矩阵的代数方法来确定特定匹配存在的必要和充分条件，并在此基础上构建计数公式。对于非二分图中的完美匹配计数，我们探讨了 Kasteleyn 矩阵的应用及其在平面图计数中的精确性。 第三章：高阶结构：超图与拓扑组合 本章将研究的范围从标准图扩展到超图。超图的计数带来了新的复杂性，因为边的“度”不再是简单的整数，而是关于边的交集的复杂关系。我们引入了拓扑组合（Topological Combinatorics）的基本概念，特别是关于单纯复形（Simplicial Complexes）和旗结构（Flag Structures）的计数。这部分特别关注了如何使用 Betti 数和欧拉示性数来区分和量化不同类型的组合对象，从而实现对复杂结构的分类计数。 第二部分：代数与代数几何在计数中的应用 计数问题往往具有深层的代数结构。本部分专注于利用代数工具，尤其是群论、表示论和几何代数，来解决看似纯组合的问题。 第四章：群作用与轨道计数的高级技巧 虽然 Burnside 引理和 Pólya 计数定理是基础，但本章着眼于更复杂的群作用下的计数。我们探讨了非经典的李群（Lie Groups）或代数群（Algebraic Groups）在计数中的应用，特别是在计算对称群 $S_n$ 或一般线性群 $GL(n)$ 作用下的不动点计数。重点在于如何利用表示论的工具，特别是 Schur 函数和 Hall 多项式，来处理与特定代数结构（如李代数或交换代数）相关的计数。 第五章：组合与代数几何的交集：Schubert 演算的影子 本章介绍了一种强大的工具——Schubert 演算，它源于代数几何中的线性空间理论，但能直接应用于组合计数。我们展示了如何使用这些基于上同调环的演算规则来解决排列的排序问题（Adjacency Problems），例如计算特定类型的排列（如迹、谱排列）的数量。这提供了一种超越传统生成函数方法的几何直觉，用于处理涉及限制条件（如特定上升链或下降链）的计数。 第六章：格结构与下降集计数 本章聚焦于有序集（Posets）的结构计数，特别是那些自然地形成格（Lattice）的结构。我们详细分析了下降集（Descent Sets）的计数与布尔格（Boolean Lattices）、划分格（Partition Lattices）之间的联系。通过引入Stanley 的下降集定理的推广版本，我们探索了如何利用对偶性原理来简化复杂的格上的计数问题，并将其应用于布里渊函数（Bruhat functions）相关的计数。 第三部分：随机化计数与渐近分析 在许多情况下，精确计数是不可企及的。本部分关注于计数问题的渐近行为以及利用概率方法进行近似。 第七章：随机结构中的精确与渐近计数 本章探讨了在随机模型下，计数函数如何随参数 $n$ 增长。我们侧重于相变（Phase Transitions）现象，即当一个参数跨越某个临界值时，目标结构的计数会从稀疏变为稠密。我们将使用概率矩方法（Moment Method）和去耦合技术（Decoupling Techniques）来精确确定某些结构（如大型完全子图或特定长度的路径）在特定随机图模型中的出现次数的精确上界和下界。 第八章：算法复杂性与可计算性 最后，本章探讨了计数问题的内在困难。我们分析了哪些类型的计数问题是 $ ext{P}$-完全的，以及哪些可以被高效解决。本章特别讨论了动态规划在求解结构化计数问题中的局限性，并引入了张量网络和矩阵乘法的加速技术，用以优化那些依赖于转移矩阵的特定序列计数问题。 本书面向具有坚实离散数学和抽象代数基础的研究生和高年级本科生。它旨在提供一个不同于标准入门教材的视角，强调计数问题的几何、代数和结构本质，为读者进入前沿研究领域做好准备。全书包含大量的例题和开放性问题，鼓励读者通过构建模型和应用复杂工具来解决实际的计数难题。

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