具体描述
本书在取材上把空间解析几何中的线性部分归并到线性代数，在内容处理上采用以矩阵为代表的代数运笋为主,同时辅以线性空间与线性映封的观点的方式，从而形成了独特的新体系。这样安排在内容上要协调一些重要的概念、方法和结论在不同的层次多次反复，有利手读者理解和掌握。几何观点的尽早引人和适当加强，有利于培养读者的空间想象能力。 全书共分八章，除通常内容外，还包含一些进一步的材料。本书主要是为高等院校理工等科非数学各专业本科生一年级新生编写的教材，也可供其他类型的学生、科技人员和自学者参考。
好的，这是一份为一本名为《高等数学精要》的图书撰写的详细简介，旨在突出其内容与《线性代数教程》的差异，并以严谨、专业的学术风格呈现。 --- 图书简介：《高等数学精要》 导言：数学思维的基石与应用之桥梁 《高等数学精要》并非对某一特定数学分支的深入挖掘，而是致力于构建一套完整、严密且富有洞察力的高等数学理论框架。本书旨在服务于理工科专业、经济学、计算机科学以及对数学有深厚探究兴趣的读者。它超越了初等微积分的范畴，将分析学、拓扑基础、微积分的推广，以及对现代科学所需数学工具的系统性梳理作为核心目标。本书的叙事逻辑是：从严谨的极限概念出发，逐步搭建起连续性、可微性、积分理论的完整大厦，并辅以必要的集合论和拓扑直觉，确保读者不仅掌握计算技巧，更能理解其背后的深刻原理。 本书的定位明确：它是一部分析学的入门与进阶读物，强调“为什么”而非仅仅是“如何做”。它旨在为读者铺设一条清晰的路径，从实数系的完备性出发，直至多变量函数的微积分，为后续进入偏微分方程、泛函分析或更高级的几何学打下坚不可摧的基础。 第一部分：实数系统与极限的严谨构建（Analysis Foundations） 本部分的核心在于确立分析学的逻辑起点，这是所有高等数学讨论得以成立的基石。我们摒弃了基于直觉的描述，转而采用集合论的视角，对实数系 $mathbb{R}$ 进行严格的构造。 1.1 集合论基础与序关系： 首先回顾了集合的基本运算、笛卡尔积与函数的概念。重点阐述了序关系与全序集的性质。 1.2 实数集的完备性：戴德金截与上确界原理 这是本书最具分析色彩的部分。详细讨论了有理数集 $mathbb{Q}$ 的“不完备性”，并引入了戴德金截（Dedekind Cuts）或等价地，柯西序列的收敛性，来构造实数域 $mathbb{R}$。上确界原理（Supremum Property）被作为一条公理（或通过构造证明的定理）确立，它是后续所有极限、连续性、收敛性讨论的逻辑支柱。 1.3 数列的收敛性与极限的 $varepsilon-delta$ 定义 本书对极限的定义采取了极其审慎的态度。不仅深入探讨了数列极限的 $varepsilon-N$ 定义，更将这一思想推广到函数极限的 $varepsilon-delta$ 定义。对极限的性质（唯一性、保序性、四则运算的极限性质）进行了详尽的证明。特殊关注了单调有界定理（Monotone Convergence Theorem）和柯西收敛准则（Cauchy Criterion），这些都是判断数列收敛性的关键工具。 第二部分：连续性、可微性与微分学（Differential Calculus） 在稳固了极限的概念之后，本部分将分析的焦点转向函数的局部性质——连续性和可微性。 2.1 函数的连续性 连续性的定义不再仅仅是“没有裂口”，而是通过极限的 $varepsilon-delta$ 语言来精确表达。深入探讨了均匀连续性（Uniform Continuity）的概念，并证明了闭区间上的连续函数必有界且可达到其界（Extreme Value Theorem）以及介值定理（Intermediate Value Theorem）。这些定理是建立微积分学上层结构的重要桥梁。 2.2 导数的精确定义与微分法则 导数被定义为特定差商的极限。本书详述了微分的线性近似性质。在微分法则方面，除了链式法则、乘积法则等常规内容外，重点剖析了费马定理（Fermat's Theorem for Local Extrema）和罗尔定理（Rolle's Theorem）的严格证明，这些是均值定理（Mean Value Theorem）的基石。均值定理被用来证明导数零点的意义、函数的单调性与凸凹性。 2.3 泰勒定理与幂级数（Power Series） 泰勒定理被视为描述函数局部行为的终极工具。本书不仅给出了拉格朗日余项的形式，更深入探讨了柯西余项，并利用分析工具证明了函数何时可以被其泰勒级数所表示（即收敛于函数本身的条件）。幂级数的收敛半径、收敛域的确定，以及在收敛区间内的逐项求导与积分操作的合法性，是本章的重头戏。 第三部分：积分理论的升华（Integration Theory） 本书将积分的讨论提升到黎曼积分的严格定义，并初步引入更具普适性的勒贝格积分思想的萌芽。 3.1 黎曼可积性 详细定义了黎曼和、上和（Upper Sum）与下和（Lower Sum）。我们严谨地论证了哪些函数是黎曼可积的（例如：有界函数，其间断点集合的测度为零）。重点分析了积分的线性、保序性质以及微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）的两个主要部分，并对其进行完整的证明，揭示导数与积分之间的对偶关系。 3.2 广义积分 讨论了无穷区间上的积分（第一类广义积分）和被积函数在有限区间内有界不完备点的情况（第二类广义积分）的收敛性判别法，如比较判别法与极限比较判别法。 第四部分：多元微积分的基础架构（Multivariable Foundations） 本部分将分析的场景从直线推广到高维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$。 4.1 欧几里得空间与拓扑预备知识 在进入多元函数之前，本书建立了 $mathbb{R}^n$ 上的度量（距离）概念，并引入了开集、闭集、邻域、极限等基础拓扑概念，这使得对多变量函数的讨论具有几何上的清晰性和代数上的严谨性。 4.2 偏导数、梯度与链式法则的推广 讨论了偏导数的概念，并重点阐述了全微分与梯度的几何意义。多元函数的链式法则的复杂性被系统地分解，清晰地展示了其在不同坐标变换下的应用。 4.3 多重积分 定义了 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 上的二重、三重积分。核心在于累次积分（Fubini 定理的初级形式），即积分次序的交换。这部分内容为后续的物理和工程应用（如质量、转动惯量计算）提供了坚实的分析基础。 总结与展望 《高等数学精要》的核心价值在于其分析的深度和严谨性。它关注的是概念的精确定义、定理的逻辑推导和证明的完整性。本书不侧重于向量空间、矩阵运算、特征值分解等代数结构的系统性讲解，也不深入探讨微分方程的数值解法或更复杂的几何结构。它是一部聚焦于实数分析这一核心分析领域的奠基之作，为读者提供了一套可以独立支撑起更复杂数学分析、物理建模的严密思维工具。 ---
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