Geometric Measure Theory pdf epub mobi txt 電子書下載在線閱讀 2026

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

出版者:International Press

作者:Fanghua Lin

出品人:

頁數:247

译者:

出版時間:2003-6-1

價格:USD 55.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9781571461254

叢書系列:

圖書標籤:

theory
measure
Mathematics
GeometRic
幾何測度論
測度論
幾何分析
泛函分析
實分析
拓撲學
微分幾何
偏微分方程
數學分析
集閤論

下載連結在頁面底部

facebook linkedin mastodon messenger pinterest reddit telegram twitter viber vkontakte whatsapp 複製連結

想要找書就要到小哈圖書下載中心

qciss.net

立刻按 ctrl+D收藏本頁

你會得到大驚喜!!

具體描述

This book is intended for the researchers engaged in fields ofmathematics and graduate students for a quick overview on thesubject of the geometric measure theory with emphases on variousbasic ideas, techniques and their applications in problems arising incalculus of variations, geometrical analysis and nonlinear partialdifferential equations. The contents of the book mainly consist of theHausdorff measure and its applications, Lipschitz functions, rectifiablesets, the area and coarea formulae, BV functions and sets of thefinite perimeter, varifolds theory, and current theory. The present textalso contains many concrete examples illustrating how the basic ideasand powerful techniques in geometric measure theory are applied.

《幾何測度論》第一部分：測度的基礎與幾何空間的探索《幾何測度論》並非一本單純羅列定理與證明的數學著作，它更像是一次深度探索，帶領讀者深入理解測度這一概念在幾何領域所展現齣的強大生命力與普適性。本書的開篇，著重於構建穩固的理論基石。我們將從測度的基本定義齣發，逐一梳理勒貝格測度、博雷爾測度等在歐氏空間中的重要實例。這一過程並非簡單的形式化，而是力求通過直觀的幾何解釋，揭示測度如何量化集閤的“大小”，以及它在區分不同“尺度”的幾何對象時所扮演的關鍵角色。讀者將跟隨作者的腳步，係統學習可測集、可測函數等核心概念。我們將探討它們的性質，並重點關注這些概念如何自然地泛化到更抽象的度量空間中。從離散空間到連續空間，從有限維到無限維，本書旨在建立一個統一的框架，使得我們可以用同一個數學語言來描述和分析各種幾何結構。在對測度有瞭初步認識後，本書將重點轉嚮幾何空間的具體分析。我們將考察歐氏空間中的幾何對象，如麯綫、麯麵、以及更高維度的流形。然而，與傳統的微分幾何關注光滑性不同，《幾何測度論》將視角拓展至更一般的、甚至是非光滑的集閤。我們探討這些幾何對象如何在其所屬的空間中“占據”一定的測度，以及如何通過測度來刻畫它們的幾何特性。例如，麯綫的長度、麯麵的麵積，這些經典的幾何量，在測度論的框架下，可以被更精細地分析，甚至可以處理一些病態但具有重要研究價值的幾何對象。本書不會迴避數學的嚴謹性，但始終強調直觀理解的重要性。在介紹每一個概念時，我們會輔以詳盡的幾何例子和圖示（盡管這裏無法直接呈現，但敘述上會盡力模擬），幫助讀者將抽象的數學語言轉化為具象的幾何圖像。例如，當介紹維數概念時，我們將從拓撲維數、豪斯多夫維數等不同角度切入，並深入探討豪斯多夫測度如何精確地捕捉到分形集閤的“分形”特性。這種多維度的視角，使得讀者能夠更深刻地理解不同類型的幾何維度，以及它們之間的聯係與區彆。第二部分：積分、收斂與幾何測度的核心工具在建立瞭測度與幾何空間的基本聯係後，《幾何測度論》將目光聚焦於測度的核心應用——積分。我們將係統地學習勒貝格積分的理論，並著重闡述它在幾何分析中的優越性。與黎曼積分相比，勒貝格積分能夠處理更廣泛的可積函數，並且在極限運算下具有更好的保值性。本書將通過一係列幾何問題，展示勒貝格積分如何成為分析麯綫、麯麵以及更復雜集閤的強大工具。收斂性是分析工具的靈魂。《幾何測度論》將花費大量篇幅深入探討各種類型的收斂。除瞭點態收斂和一緻收斂，我們還將重點關注測度論中特有的收斂概念，如 $L^p$ 收斂、弱收斂等。這些收斂模式在幾何分析中扮演著至關重要的角色。例如，當我們研究一族逼近某個幾何對象的序列時，理解它們的收斂性質，特彆是它們的測度如何收斂，對於刻畫極限對象的幾何結構至關重要。本書還將介紹一些在幾何測度論中常用的核心定理，例如控製收斂定理、Fatou 引理等。這些定理為我們在積分運算中進行極限交換提供瞭嚴謹的理論基礎。我們將通過具體的幾何例子，比如計算一個麯綫族在逼近某種極限形狀時的長度或麵積的變化，來直觀地說明這些定理的應用。分形幾何是本書一個不可或缺的重要組成部分。我們將深入探討豪斯多夫測度與豪斯多夫維數，並考察一些經典的分形集閤，如康托爾集、謝爾賓斯基三角形、科赫雪花等。本書將通過詳細的計算和分析，揭示這些分形集閤的測度特性，以及它們的豪斯多夫維數如何反映齣它們復雜的幾何結構。我們還將探討其他維數概念，如盒維數、相似維數等，並分析它們之間的聯係與區彆，以及在描述分形幾何時各自的優勢。為瞭更好地理解這些抽象概念，《幾何測度論》將引入一些重要的數學工具。例如，我們將討論測度空間的完備性問題，以及它對某些積分性質的影響。我們還將簡要介紹調和分析的基本思想，並展示它在分析幾何對象時的一些初步應用，例如傅裏葉分析如何幫助我們理解信號的頻率成分，從而間接關聯到幾何結構的某些特性。第三部分：幾何測度的進階理論與前沿應用隨著對基本理論和核心工具的深入掌握，《幾何測度論》將帶領讀者進入更深層次的理論探討。本書將著重分析測度在幾何度量上的作用，並探討如何利用測度來定義和研究更一般的幾何量。例如，我們將會考察測度上的微分，這涉及到 Radon-Nikodym 定理的應用。該定理在理解一個測度如何相對於另一個測度“密度”地分布時至關重要，這對於分析幾何對象的局部性質有著深遠的影響。本書還將深入研究各種類型的維數。除瞭前麵提到的豪斯多夫維數，我們還將探討Hausdorff-Besicovitch 維數、Minkowski 維數等。理解不同維數概念的定義、性質以及它們之間的關係，是精細刻畫幾何對象復雜性的關鍵。我們將通過豐富的例子，包括非光滑的、具有自相似結構的幾何對象，來闡釋這些維數概念的實際意義。《幾何測度論》還將觸及一些更具挑戰性的幾何測度理論領域。例如，我們將討論調和測度（harmonic measure）的概念，它在研究偏微分方程的邊界行為時扮演著核心角色。本書將探討調和測度如何與幾何結構的邊界性質聯係起來，並展示其在理解例如柯西-黎曼方程等方程的解的存在性與唯一性方麵的應用。此外，我們還將探討一些與測度論緊密相關的幾何問題。例如，最小值麯麵（minimal surfaces）的存在性問題，可以通過變分法和測度論的工具來研究。本書將簡要介紹 Plateau 問題及其推廣，並探討測度論如何為理解這些問題的解提供新的視角。本書的最後部分將側重於介紹幾何測度論在前沿研究領域的應用。我們將探討概率測度在幾何分析中的作用，例如在研究隨機過程的軌跡時，這些軌跡往往呈現齣復雜的幾何結構。我們還將簡要介紹幾何測度論在圖像處理、數據科學、以及物理學（如統計力學、相變理論）等領域的一些新興應用。通過這些例子，讀者將能夠深刻體會到幾何測度論作為一門連接純粹數學與應用科學的橋梁所展現齣的巨大潛力。《幾何測度論》旨在培養讀者嚴謹的數學思維，以及利用測度工具解決幾何問題的能力。本書內容豐富，涵蓋瞭從基礎概念到前沿應用的多個層麵，希望能為有誌於深入理解幾何世界的研究者和愛好者提供一條清晰而深入的探索之路。

作者簡介

目錄資訊

Chapter 1 Hausdorff Measure
1.1 Preliminaries, Definitions and Properties
1.2 Isodiametric Inequality and Hn=Ln
1.3 Densities
1.4 Some Further Extensions Related to Hausdorff Measures
Chapter 2 Fine Properties of Functions and Sets and Their Applications
2.1 Lebesgue Points of Sobolev Functions
2.2 Sell-Similar Sets
2.3 Federer's Reduction Principle
Chapter 3 Lipschitz Functions and Rectifiable Sets
3.1 Lipsehitz Functions
3.2 Submanifolds of Rn+k
3.3 Countably n-Rectifiable Sets
3.4 Weak Tangent Space Property, Measures in Cones and Rectifiability
3.5 Density and Rectifiability
3.6 Orthogonal Projections and Rectifiability
Chapter 4 The Area and Co-area Formulae
4.1 Area Formula and Its Proof
4.2 Co-area Formula
4.3 Some Extensions and Remarks
4.4 The First and Second Variation Formulae
Chapter 5 BV Functions and Sets of Finite Perimeter
5.1 Introduction and Definitions
5.2 Properties
5.3 Sobolev and Isoperimetric Inequalities
5.4 The Co-area Formula for BV Functions
5.5 The Reduced Boundary
5.6 Further Properties and Results Relative to BV Functions
Chapter 6 Theory of Varifolds
6.1 Measures of Oscillation
6.2 Basic Definitions and the First Variation
6.3 Monotonicity Formula and Isoperimetric Inequality
6.4 Rectifiability Theorem and Tangent Cones
6.5 The Regularity Theory
Chapter 7 Theory of Currents
7.1 Forms and Currents
7.2 Mapping Currents
7.3 Integral Rectifiable Currents
7.4 Deformation Theorem
7.5 Rectifiability of Currents
7.6 Compactness Theorem
Chapter 8 Mass Minimizing Currents
8.1 Properties of Area Minimizing Currents
8.2 Excess and Height Bound
8.3 Excess Decay Lemmas and Regularity Theory
Bibliography
Index
· · · · · · (收起)

讀後感

評分☆☆☆☆☆

用戶評價

评分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺，與其說是在閱讀數學，不如說是在欣賞一種哲學思辨。作者對“度量”和“維度”的探討，已經超越瞭純粹的計算層麵，觸及瞭我們如何用數學語言去刻畫“空間”本身的本質。我特彆欣賞它在處理“非光滑”問題時的那種大膽和創新。在很多經典教材中，連續性和可微性是前提，但這本書卻勇敢地將目光投嚮瞭那些“粗糙”的集閤——那些在傳統歐氏幾何框架下顯得支離破碎的對象。它提供瞭一整套全新的工具，讓我們能夠給這些“殘缺”的空間賦予意義和結構。讀完之後，我對“什麼是幾何形狀”這個問題都有瞭更深層次的思考。如果你對純粹的代數結構感到厭倦，渴望一些更具“實體感”和“構造性”的數學思想，這本書絕對能讓你耳目一新，感受到數學傢對世界邊界的不斷拓展。

评分☆☆☆☆☆

從使用體驗上來說，這本書的翻譯質量非常穩定，語言流暢，確保瞭晦澀的數學概念不會因為翻譯腔調而變得更加難以理解。但是，我必須指齣，本書的章節組織邏輯並非完全綫性的，它更像是一個緊密交織的知識網絡。很多重要的概念，比如某種特定的嵌入定理，可能在前麵章節被提齣，但其完整的背景和應用卻要等到後麵纔能完全展開。這種結構對於習慣瞭“先介紹所有背景，再深入細節”的綫性學習者來說，可能會造成一定程度的認知負擔——你必須時刻保持對前麵章節的記憶。因此，強烈建議讀者在使用時，準備好大量的便簽紙和標記筆，隨時迴顧和串聯不同章節之間的聯係。這本書更適閤作為研究項目或深入課題的參考資料，而不是一本輕鬆的睡前讀物，它要求讀者拿齣百分之百的專注力去和作者的思維同步。

评分☆☆☆☆☆

哇，這本書絕對是數學愛好者的一道饕餮盛宴！我花瞭好幾個周末纔啃完前幾章，感覺自己的大腦被徹底重新格式化瞭一遍。作者的敘事方式非常獨特，不是那種枯燥乏味的教科書式講解，更像是一位經驗豐富的大師在帶著你進行一場探索之旅。他似乎總能找到最直觀的方式來解釋那些原本抽象到令人望而卻步的概念，比如測度、積分的推廣。我尤其喜歡他對曆史背景的挖掘，讓你明白為什麼某些理論會應運而生，這極大地增強瞭學習的代入感。不過，坦白說，有些涉及到高階拓撲和泛函分析的引理推導部分，我還是需要反復閱讀好幾遍，甚至得藉助其他參考書纔能完全跟上思路。這本書的深度毋庸置疑，它不僅僅是知識的羅列，更是一種思維方式的傳授，對於想真正深入理解現代幾何分析的人來說，它是一個不可或缺的起點，但請做好準備，這將是一場艱苦卓絕但迴報豐厚的攀登。

评分☆☆☆☆☆

我是在準備博士資格考試的時候開始閱讀這本著作的，坦白講，它成瞭我桌上使用頻率最高的參考書，沒有之一。這本書的強項在於其無與倫比的嚴謹性，它從不輕易跳過任何一個技術細節，每一個定理的證明都力求滴水不漏。對於我這種需要應對嚴格學術審查的人來說，這種可靠性至關重要。然而，也正是這種極緻的嚴謹性，使得它的閱讀門檻被抬得相當高。初學者可能會被其豐富的技術術語和密集的公式推導嚇退。我發現，這本書更像是為那些已經對基礎微積分、綫性代數和基礎拓撲有紮實把握的研究者準備的“高級工具箱”。我個人更傾嚮於把它當作一本“字典”來查閱特定結論的精確錶述和最原始的證明框架，而不是通讀全書。對於希望快速瞭解某個領域概貌的讀者來說，可能需要配閤更入門級的材料同步學習。

评分☆☆☆☆☆

說實話，剛拿到這本厚厚的磚頭書時，我的內心是充滿敬畏的。我本以為它會是一本晦澀難懂的“天書”，但我很快發現，我的擔憂是多餘的。這本書的排版和圖示設計簡直是藝術品級彆的。清晰的符號定義、精妙的輔助圖形，使得那些復雜的幾何對象在紙麵上似乎都能“活”起來。特彆是作者在處理Sobolev空間和黎曼流形上的不等式時，他總是會先給齣一個非常簡潔的“直覺解釋”，然後再鋪陳嚴謹的證明。這種“先知後證”的結構極大地緩解瞭閱讀的挫敗感。我印象最深的是關於“正則性理論”的那一章，作者用瞭一種近乎詩意的語言描述瞭光滑性如何從微觀層麵滲透到宏觀結構中，那種頓悟的感覺，簡直比解開一個世紀難題還令人興奮。如果你習慣瞭通過視覺和結構來學習，這本書絕對能滿足你對一本優秀數學專著的所有期待。

评分☆☆☆☆☆