高等代數學習指導與習題詳解 pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:

作者:楊振華

出品人:

頁數:455

译者:

出版時間:2005-9

價格:17.50元

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isbn號碼:9787561332900

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圖書標籤:

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• 高等代數
• 綫性代數
• 大學數學
• 數學輔導
• 學習指南
• 習題詳解
• 教材
• 考研數學
• 數學學習
• 代數基礎

抽象代數的深度探索：群、環與域的結構解析 本書導讀： 本書旨在為學習抽象代數（Abstract Algebra）的讀者提供一本結構嚴謹、內容詳實的參考讀物。它聚焦於代數結構中最核心的三個概念：群（Groups）、環（Rings）和域（Fields），並力求在概念的引入、定理的證明以及例題的選取上，達到理論深度與直觀理解的完美平衡。 我們深知，抽象代數是數學學科中一座需要攀登的高峰。其抽象性往往令初學者望而卻步。因此，本書的核心理念是通過精心的組織和詳盡的闡釋，將晦澀的數學語言轉化為清晰的邏輯路徑，引導讀者逐步掌握現代代數學的精髓。本書並非一本單純的習題解答手冊，而是緻力於構建一個完整的、相互關聯的知識體係，幫助讀者真正“理解”代數結構的美感與力量。 --- 第一部分：群論基礎——對稱性的語言 本部分是整個抽象代數學習的基石。我們從最基本的代數結構——群開始，探討其公理化定義及其在不同領域中的具體體現。 第一章：群的基本概念與例子 1.1 群的定義與基礎性質： 首先，我們將嚴謹地定義一個群所需的四個基本公理（封閉性、結閤律、單位元存在性、逆元存在性）。接著，我們將推導齣所有群都具有的基本性質，例如單位元的唯一性、逆元的唯一性，以及左消去律和右消去律。 1.2 重要的群實例： 為瞭幫助讀者建立直觀認識，我們引入瞭一係列重要的群實例： 整數加法群 ($mathbb{Z}, +$)： 最直觀的阿貝爾群。 非零有理數乘法群 ($mathbb{Q}^, imes$)： 展示瞭乘法結構下的封閉性。 對稱群 ($S_n$)： 這是理解非阿貝爾群的關鍵。我們詳細討論 $S_3$ 和 $S_4$ 的結構，特彆是置換的乘法和循環分解。 二麵體群 ($D_n$)： 作為幾何對稱性的代數錶示，是理解生成元和關係式錶示法的絕佳起點。 一般綫性群 ($ ext{GL}_n(F)$)： 矩陣代數中最重要的群結構，為後續的模和錶示論打下基礎。 第二章：子群、陪集與拉格朗日定理 2.1 子群的判定與性質： 如何從一個大群中“提取”齣具有相同結構的小群？本章詳細闡述子群的充要條件，並區分正規子群和一般子群的本質區彆。 2.2 陪集（Cosets）： 陪集的引入是理解群作用和商群結構的關鍵步驟。我們詳細討論左陪集和右陪集的定義、性質，以及它們如何對原群進行劃分。 2.3 拉格朗日定理及其推論： 拉格朗日定理——“子群的階整除群的階”——是群論中最具威力的定理之一。我們將提供其清晰的證明，並立即應用該定理得齣重要推論，如： 群中任意元素的階整除群的階。 任何階為素數的群必為循環群。 歐拉定理和費馬小定理的群論證明。 第三章：群同態、同構與正規子群 本章將群論從集閤結構提升到代數結構之間的映射關係。 3.1 群同態與同構： 我們定義保持群運算的映射——同態（Homomorphism）。重點在於同構（Isomorphism）的概念，它意味著兩個群在結構上是完全等價的。我們提供瞭判定兩個群是否同構的若乾標準（例如，階、生成元數量、元素階的分布等）。 3.2 核（Kernel）與像（Image）： 同態的核是群同構理論的靈魂所在，它總是群的一個正規子群。我們深入探討核與像之間的關係。 3.3 商群（Factor Groups）與第一同構定理： 當一個子群是正規子群時，我們可以在其上構造齣商群，這是一個在保留代數結構的同時簡化瞭原群結構的結構。第一同構定理（或稱基本同構定理）將同態、核、像與商群聯係起來，構成瞭理解代數結構分解的基礎框架。 第四章：群的作用與西洛夫定理 4.1 群在集閤上的作用： 群作用將抽象的代數結構與具體的幾何或排列對象聯係起來。我們定義瞭群作用的兩個基本性質（兼容性與單位元作用）。 4.2 軌道與穩定子： 通過群作用，集閤被劃分成互不相交的軌道（Orbits）。對於軌道上的任一點，其穩定子（Stabilizer）給齣瞭對該點具有保持作用的元素集閤。軌道-穩定子定理是計算群作用中特定結構數量的強大工具。 4.3 西洛夫定理（Sylow Theorems）： 這是有限群論中最強大的結構分析工具。本書將詳細介紹西洛夫第一、第二和第三定理： 第一定理： 保證存在階為素數冪 $p^k$ 的子群（西洛夫 $p$-子群）。 第二定理： 保證所有西洛夫 $p$-子群相互共軛。 第三定理： 提供瞭西洛夫 $p$-子群數量的精確計算公式，該公式是判斷群是否為阿貝爾群或單群的關鍵依據。 --- 第二部分：環論——拓展的代數結構 群論主要處理一個二元運算，環論則引入瞭第二個運算，使得結構更加豐富，更接近於我們熟悉的數域。 第五章：環的基本概念與構造 5.1 環的定義與例子： 環是在加法群的基礎上，引入一個滿足結閤律和分配律的乘法運算的代數結構。我們將區分交換環和非交換環，單位環和無單位環。重點分析 $mathbb{Z}$（整數環）、多項式環 $F[x]$ 和矩陣環 $M_n(F)$ 的結構。 5.2 子環與理想（Ideals）： 類似於子群，我們定義瞭子環。更重要的是理想，它是環中“吸收”乘法元素的重要概念，對應於群論中的正規子群。我們將區分左理想、右理想和雙邊理想。 5.3 商環（Quotient Rings）與同態： 理想使得構造商環成為可能，這與群論中的商群結構高度平行。環同態的性質和第一同構定理在環論中得到瞭完美的繼承和推廣。 第六章：特殊的環結構與域 本章聚焦於那些在代數和數論中具有特殊意義的環。 6.1 整環（Integral Domains）： 我們引入瞭零因子（Zero Divisors）的概念，並定義整環為無零因子的交換環。我們將探討 $mathbb{Z}$、多項式環 $F[x]$ 作為典型例子。 6.2 域（Fields）： 域是最“完全”的環結構，其中所有非零元素在乘法下都有逆元。我們探討有限域（如 $mathbb{Z}_p$）和特徵（Characteristic）的概念。 6.3 主理想整環（Principal Ideal Domains, PIDs）與歐幾裏得整環（Euclidean Domains）： 我們將研究那些具有良好除法性質的環。歐幾裏得整環（如 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$）是PIDs，而PIDs又是唯一因子分解整環（UFDs）的特例。我們通過歐幾裏得算法來展示這些結構的相互包含關係。 --- 第三部分：域論與伽羅瓦理論的預備 本部分開始接觸代數在求解方程中的應用，這是抽象代數最激動人心的部分之一。 第七章：域的擴張（Field Extensions） 7.1 域擴張的基本概念： 給定一個域 $F$，域 $E$ 如果包含 $F$ 且 $E$ 本身也是一個域，則稱 $E$ 是 $F$ 的擴張。我們引入擴張次數 $[E:F]$ 的概念，並使用構造多項式環 $F[x]$ 來生成新的擴張域。 7.2 代數元與超越元： 一個元素 $alpha in E$ 如果是某個以 $F$ 中元素為係數的多項式的根，則稱 $alpha$ 為代數元。我們詳細分析最小多項式的概念及其在構造域擴張中的核心作用。 7.3 構造有限域： 利用不可約多項式，我們可以明確地構造齣任意階為素數冪 $p^n$ 的有限域 $ ext{GF}(p^n)$，這對於密碼學和編碼理論至關重要。 --- 總結與展望： 本書通過清晰的邏輯鏈條，從最基礎的對稱性（群）到更復雜的算術結構（環），再到對多項式方程根的研究基礎（域），為讀者構建瞭一個堅實的抽象代數知識框架。對每個關鍵定理，我們不僅提供瞭嚴格的證明，更結閤瞭豐富的、具有代錶性的例子，確保理論學習能夠紮根於可操作的數學對象之上。完成本書的學習，讀者將具備深入研究更高階代數分支（如錶示論、代數幾何或伽羅瓦理論）的必備素養。

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我之前在自學高代時，最大的障礙就是概念之間的相互關聯性不強，總感覺像是在啃一堆孤立的知識點。這本書的編排結構，巧妙地解決瞭這個問題。它不是簡單地按照教材的章節順序進行羅列，而是引入瞭一種基於“核心主題”的串聯方式。例如，在綫性變換和矩陣對角化這一部分，作者會反復迴顧前麵學過的內積空間、特徵值等概念，並用更高級的視角去整閤它們，讓你清晰地看到知識是如何層層遞進、相互支撐的。這種結構上的匠心，極大地提升瞭我的宏觀把握能力。當我閤上書本，嘗試在大腦中構建整個高等代數的知識地圖時，發現這本書已經幫我鋪設好瞭主要的乾道和次級分支，這對於建立穩固的數學知識體係至關重要。它培養的不僅僅是解題技巧，更是數學思維的框架。

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對於那些準備參加專業考試的讀者來說，這本書的價值更是難以估量。我注意到，書後附帶的那些模擬測試捲和曆年真題的解析部分，其深度和廣度都遠超一般參考書。解析部分不僅僅是給齣步驟，而是深入到“考察意圖”的層麵。比如，一道關於正交基變換的題目，解析會詳細分析齣這道題考察的是學生對施密特正交化過程的理解程度，以及在具體計算中如何避免捨入誤差。這種深層次的解讀，讓我在做題時不再是被動地套用公式，而是主動地去揣摩齣題人的意圖，從而更好地組織自己的解題策略。讀完這些解析，我感覺自己不再是僅僅在應對“一道題”，而是在學習一個“知識點”的完整應用場景。這對於提升考試的應變能力和拿到高分，無疑起到瞭決定性的作用。

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這本書的閱讀體驗，從裝幀設計到排版細節，都體現齣一種嚴肅而友好的態度。紙張的質量很好，長時間閱讀眼睛也不容易疲勞，這對於動輒需要花費數小時攻剋一個章節的學習者來說，是一個非常貼心的設計。更重要的是，字體和圖錶的清晰度極高。高等代數中涉及大量的分數、矩陣和希臘字母，任何模糊不清的印刷都可能導緻理解上的偏差。這本書在這方麵做得非常到位，每一個符號都清晰銳利，特彆是那些手寫體的嚮量符號，區分得非常明確。此外，書中的例題和習題的編號係統設計得十分閤理，方便在查閱或者與同學討論時快速定位。總的來說，它不僅僅是一本學習工具書，更像是一位陪伴你度過高代學習“攻堅戰”的可靠夥伴，讓人感到踏實和信賴。

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這本厚厚的書擺在書桌上，光是看著就讓人覺得脊背挺得更直瞭些。我拿到它的時候，其實對“高等代數”這個詞心裏還是有點打鼓的，畢竟它聽起來就充滿瞭各種抽象的概念和復雜的公式。但是，當我真正翻開第一頁，開始閱讀那些對基本概念的解釋時，心裏的不安感漸漸消退瞭。作者顯然非常清楚初學者的睏惑點在哪裏，他們不是簡單地羅列定義和定理，而是用一種近乎“對話”的方式來引導你進入這個數學領域。比如，在講到綫性空間的構造時，作者沒有直接拋齣公理係統，而是先從嚮量、矩陣這些具象的例子入手，慢慢引導讀者理解為什麼需要這些公理，這些公理背後隱藏著怎樣的幾何直覺。這種層層遞進的講解方式，讓那些原本晦澀難懂的理論知識，變得可以觸摸、可以理解瞭。特彆是那些幾何意義的闡釋，非常到位，仿佛給冰冷的數學公式注入瞭靈魂。

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說實話，我接觸過不少數學學習資料，很多都存在一個通病：理論講得頭頭是道，但一到實際應用或習題環節就戛然而止，留給學生一個“自己悟去”的尷尬局麵。然而，這本書在這方麵做得實在太齣色瞭。它不僅僅是“指導”和“詳解”，它更像是一個耐心的陪練。我尤其欣賞它在每一個章節末尾設置的那些“陷阱題”分析。這些題目往往是教科書裏不會明確指齣的，但卻是考試中最容易失分的地方。作者會把一個常見的解題誤區剖析得淋灕盡緻，不僅告訴你“為什麼這樣做是錯的”，更重要的是告訴你“正確的思路應該是什麼樣的”，並且會追溯到最初的原理去論證。這種對細節的打磨，讓我感覺作者是真正站在一個經曆過無數次考試和教學失敗的老師的角度來編寫這本書的。每一次攻剋一個難題，都會有一種被“點撥開”的豁然開朗的感覺，這遠比單純記住答案要來得有價值。

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