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出版者:開明

作者:黃緒勵

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2005-9

價格:15.0

裝幀:平裝

isbn號碼:9787801339805

叢書系列:

圖書標籤:

• 高中數學
• 數學輔導
• 解題技巧
• 公式總結
• 應試指南
• 學習資料
• 同步練習
• 知識點
• 錶格法
• 高效學習

《精煉幾何：從歐幾裏得到黎曼的思維躍遷》 內容概要 本書旨在為具有一定幾何學基礎的學習者提供一個深入、係統且富有啓發性的幾何學視野。我們不再滿足於平麵與歐幾裏得空間中的傳統構造，而是將讀者的目光引嚮更廣闊的、非歐幾何學的疆域，探究空間、度量與拓撲的本質聯係。全書結構嚴謹，邏輯清晰，力求在概念的深度挖掘與應用實例的廣度拓展之間找到完美的平衡點。 第一部分：歐氏幾何的再審視與深化 本部分從基礎公理體係齣發，對歐幾裏得幾何進行一次徹底的、現代化的重構。我們不僅復習瞭平麵與立體幾何的基本定理，更著重於探究其內在的代數結構和群論基礎。 第一章：公理係統的邏輯基石 希爾伯特公理體係的現代解讀： 詳細解析如何通過一組完備且無矛盾的公理來構建歐氏空間，重點討論“連接”、“次序”和“全等”公理的深層含義。 笛卡爾坐標係的代數映射： 深入探討解析幾何如何成為歐氏幾何的有效工具，引入嚮量空間的概念，將幾何直觀轉化為綫性代數運算。 剛體運動與變換群： 介紹歐幾裏得群（$E(3)$）——鏇轉、平移和反射的組閤——如何定義空間中的幾何不變量，為後續的非歐幾何變換打下基礎。 第二章：射影幾何的透視 射影幾何研究的是在透視變換下保持不變的幾何性質，它打破瞭歐氏幾何中對平行性和平行綫的絕對依賴。 投影與對偶原理： 闡述如何通過“無窮遠點”和“無窮遠綫”將歐氏幾何轉化為射影幾何的完備空間，詳細解析點與綫的對偶性。 穿行定理與對偶定理： 重點剖析帕斯卡定理（Pascal's Theorem）及其在圓錐麯綫上的應用，並對比布萊希定理（Brianchon's Theorem）。 度量關係的引入： 探討如何將度量（如長度和角度）引入射影空間，從而導齣雙比（Cross-Ratio）的概念，及其在光學和透視畫法中的實際意義。 第二部分：非歐幾何學的誕生與探索 這是本書的核心部分，我們將走齣平直的空間，進入麯率的領域。非歐幾何學的建立徹底改變瞭人類對宇宙形態的認知。 第三章：羅巴切夫斯基幾何：雙麯空間的魅力 平行公設的修正： 詳細分析對歐氏第五公設的否定，即“過直綫外一點有無數條不相交的直綫”。 龐加萊圓盤模型與雙麯度量： 深入講解如何使用龐加萊上半平麵模型或圓盤模型來形象地錶示無限延伸的雙麯空間。特彆關注雙麯距離的計算公式及其與歐氏距離的本質區彆。 雙麯三角學： 推導雙麯正弦定理、餘弦定理，並展示雙麯三角形內角和恒小於 $pi$ 的性質。探討其在分形幾何和圖論中的潛在聯係。 第四章：黎曼幾何的開端：橢圓幾何 球麵幾何的特性： 將球麵視為一個具有恒定正麯率的空間，分析其基本性質，如任意兩條“大圓”必然相交。 三角形性質與度量： 研究球麵三角形的內角和恒大於 $pi$ 的特性，推導相應的球麵三角函數關係。 測地綫與麯率： 引入測地綫（Geodesic）的概念，將其定義為在彎麯空間中“最短”的路徑，並初步探討高斯麯率（Gaussian Curvature）的概念，強調“內在幾何”與“外在嵌入”的區彆。 第三部分：微分幾何的工具箱與拓撲思維 本部分轉嚮研究空間結構和形變的微觀性質，為現代物理學和高級數學奠定基礎。 第五章：流形與切空間的概念 局部歐幾裏得性： 定義光滑流形（Manifold）作為一種“局部看起來像歐氏空間”的空間結構。討論坐標圖集（Atlas）和過渡函數（Transition Maps）在連接不同局部視圖中的作用。 切嚮量與切空間： 講解如何通過麯綫在流形上定義的切嚮量來捕捉局部方嚮信息，並構建每個點的切空間，這是將綫性代數工具應用於彎麯空間的橋梁。 微分形式與外微分： 引入微分形式（Differential Forms）作為描述場量（如電磁場）的強大語言，並闡述斯托剋斯定理（Stokes' Theorem）在流形上的推廣形式，超越瞭傳統的格林、高斯和斯托剋斯定理。 第六章：拓撲學的視角：不變量的追求 拓撲學關注的是在連續形變下保持不變的性質。 連續性與形變： 區分拓撲等價（同胚）與剛性變換（等距），理解咖啡杯與甜甜圈的拓撲同一性。 基本群與連通性： 介紹基本群（Fundamental Group）如何量化空間中“洞”的數量，並將其應用於區分二維球麵與環麵等基本拓撲空間。 歐拉示性數（Euler Characteristic）的普適性： 探討歐拉示性數作為一種重要的拓撲不變量，如何在不同維度和麯率的空間中保持其離散的結構意義。 結語：從幾何到物理的映射 本書最後展望瞭這些幾何學工具在現代科學中的應用，特彆是微分幾何和黎曼幾何如何成為愛因斯坦廣義相對論描述時空結構的核心數學框架。我們鼓勵讀者將所學的抽象概念內化為一種新的空間直覺，準備好迎接更深層次的數學挑戰。 本書特點： 概念驅動： 避免繁瑣的機械計算，注重幾何概念的邏輯源頭和內在聯係。 現代視角： 融閤瞭代數拓撲、微分幾何的基礎工具，而非停留在純粹的歐氏證明體係。 思維拓展： 旨在引導讀者跳齣固有的歐氏幾何框架，培養對“空間”、“距離”和“麯率”的多元化理解。

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這本書的語言風格非常“接地氣”，完全沒有那種高高在上的學術腔調，讀起來就像是和一個經驗豐富、脾氣超好的學長在交流解題心得。特彆是在涉及選擇題和填空題時，它提供瞭一些非常“投機取巧”但絕對嚴謹的技巧，比如利用特殊值法、排除法等在快速得齣正確選項時的應用時機。這些技巧在考試的壓力環境下，能有效幫助我們節省寶貴的時間。它教會我，數學考試不僅僅是檢驗知識掌握程度，也是一場速度和策略的比拼。同時，對於那些容易齣錯的計算環節，它也做瞭詳盡的錯誤分析，指齣瞭哪些步驟最容易被忽略符號、哪些地方最容易齣現數值計算錯誤，防患於未然的感覺非常好。

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作為一名追求極緻效率的理科生，我最看重的是參考書能否幫我快速鎖定解題的“套路”和“陷阱”。這本書在這方麵做得非常專業和深入。它不是停留在“是什麼”的層麵，而是深入探討瞭“怎麼做”以及“為什麼這麼做”。例如，在解析數列求和問題時，它不是隻提供幾種固定的公式應用，而是係統地梳理瞭“錯位相減法”“分組求和法”背後的思想內核，並且對每種方法在不同數列結構下的適用性做瞭明確的邊界劃分。這種係統化的梳理，讓我在麵對一個全新的數列題時，腦子裏能迅速浮現齣一個“決策樹”：先判斷數列結構，然後匹配最可能適用的解題工具。這種高效的知識遷移能力，是很多隻重計算不重思想的書籍所無法給予的。

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老實說，我對數學一直抱有一種“敬而遠之”的態度，尤其是那些涉及到大量函數圖像和微積分概念的部分，總覺得和我的思維方式格格不入。但是，這本《超級錶解》的排版和呈現方式，簡直是為我這樣的“視覺學習者”量身定做的。它不像市麵上很多參考書那樣密密麻麻全是文字和公式堆砌，而是大量使用瞭色彩編碼和圖示對比。比如，在對比幾種不同的求導法則時，它會用不同的顔色塊來標識齣每種方法適用的條件和優缺點，這種一目瞭然的效果，比我花半小時在草稿紙上畫圖對比要高效得多。最棒的是，它對一些易混淆的概念，比如概率論中的條件概率和邊緣概率，都做瞭非常精細的區分，甚至用日常生活的例子來打比方，瞬間就點通瞭，這對於我這種需要大量情境代入纔能理解抽象概念的人來說，簡直是救星。

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這本書的講解方式真是令人耳目一新，尤其是在處理那些看起來很棘手的幾何證明題時。作者似乎有一套獨到的“化繁為簡”的秘訣，能把復雜的關係層層剝開，直到露齣最核心的邏輯綫索。我記得有一次，我卡在一個關於圓錐麯綫的題目上，思路完全打結瞭，翻看這本書的對應章節後，作者不是直接給齣標準答案，而是通過一係列循序漸進的設問引導我思考，每一步都像是在搭建一座邏輯的階梯。這種教學方法，讓我感覺自己不是在被動接受知識，而是在主動參與構建理解，非常符閤高中生那種渴望獨立思考、又不希望迷失方嚮的心理狀態。書中對於定理的引入也很有趣，不像傳統教材那樣枯燥地羅列公式，而是會稍微交代一下這個定理的背景或者它在解決哪類問題時特彆有效，這極大地激發瞭我學習的興趣，讓我對數學産生瞭更深的敬畏感。

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我對數學的理解，過去常常是零散的知識點集閤，知識體係不夠連貫。這本書最強大的地方在於它的“關聯性”構建。它不像一本厚厚的習題集，而更像一個知識的“導航係統”。例如，在講完三角函數公式後，它會立即在旁邊的小欄目裏做“拓展鏈接”，指齣這些公式在解析幾何中如何與嚮量、坐標係聯係起來，或者在復數運算中如何隱晦地體現。這種跨章節、跨知識模塊的橫嚮聯係，極大地幫助我建立起瞭一個完整的高中數學知識網絡。當我需要迴顧某一知識點時，我不再是孤立地查找，而是能清晰地知道這個知識點“依附”於整個數學體係的哪個位置，這讓我的知識結構變得更加穩固和立體。

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