线性代数简明教程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:科学出版社

作者:方小娟

出品人:

页数:108

译者:

出版时间:2005-8

价格:12.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030156709

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 高等数学
• 数学教材
• 大学教材
• 理工科
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 方程组
• 数值计算

矩阵的几何直观与代数运算的深度融合：深入理解抽象结构 本书并非《线性代数简明教程》的替代品，而是旨在为读者提供一个迥异的视角，侧重于对线性代数核心概念的几何直观阐释与严谨的代数结构构建，尤其强调两者间的深刻联系与相互印证。 本书的叙事逻辑摒弃了传统教材中常见的“先定义、后证明”的刻板流程，转而采用“问题驱动、几何构建、代数抽象”的递进方式，力求让读者在解决实际问题的过程中，自然而然地领悟线性代数的精髓。 第一部分：空间的重构与基础变换的直觉 本书开篇不急于介绍向量的运算规则，而是首先聚焦于二维和三维欧几里得空间的直观感受。我们通过对“位移”、“旋转”、“投影”等基本几何操作的细致剖析，引入向量的概念，将其视为空间中的“箭头”，而非单纯的数字序列。重点阐述了线性组合的几何意义——即通过线性组合可以到达的空间范围，这直接导向了线性相关性与张成空间的直观理解。 线性变换是本书的第一个核心支柱。我们不直接给出变换矩阵的定义，而是首先探讨“拉伸”、“剪切”、“反射”等连续形变对空间中网格和图形的影响。通过观察这些变换如何将基向量映射到新的位置，读者将自然而然地理解到矩阵即变换的本质。矩阵的乘法不再是简单的数字乘积，而是连续变换的复合。例如，先旋转再拉伸，其复合效果可以通过两个矩阵的相乘来精确表达。 我们深入探讨了基的概念，将其视为描述空间的“坐标系”。理解了不同基下的向量表示和坐标变换后，坐标系转换矩阵的引入变得水到渠成。这部分内容通过大量的二维图形演示，帮助读者建立起对“基底变换”这一抽象操作的坚实直觉。 第二部分：方程组的几何解读与核心结构分析 本书在处理线性方程组时，采取了完全不同的路径。首先，将一组线性方程组视为一组平面的交集问题，或者在更高维度上视为仿射子空间的交集问题。这种几何视角极大地简化了对解集存在的理解。 随后，我们引入高斯消元法（或称行化简），但其目的不再仅仅是求出一个数值解。我们着重分析行阶梯形所揭示的列空间（即所有可能的输出向量的集合）和零空间（即所有被映射到零向量的输入向量的集合）。 零空间的探讨被提升到与列空间同等重要的地位。我们将其几何意义解释为“变换下的内核”或“保持不变的维度”，并通过构造零空间的一组基来精确刻画“变换的盲区”。这种对零空间和列空间的结构性分析，为后续理解秩-零化度定理提供了坚实的几何基础。读者将深刻体会到，方程组的解并非孤立的数字，而是特定子空间上的结构性关系。 第三部分：特征的发现——特征值与特征向量的物理意义 特征值和特征向量的引入，被置于“不变方向的寻找”这一物理背景下。我们提出的问题是：在所有可能的线性变换中，是否存在某些向量在变换后仅仅被拉伸或压缩，方向保持不变？ 本书详细分析了特征分解在简化复杂系统动力学中的应用，如振动分析或马尔可夫链的长期行为预测。我们侧重于对角化的意义——即找到一组最能体现变换本质的“自然基”（特征基），使得在该基下，复杂的线性变换仅仅表现为对各个坐标轴的简单拉伸或压缩。 特征方程的求解过程被置于一个更宏观的框架下：寻找使得$det(A - lambda I) = 0$的标量$lambda$的过程，本质上是在寻找那些使得变换矩阵$A - lambda I$“丢失了信息”（即其零空间非平凡）的值。这再次强化了行列式、零空间与特征值之间的内在联系。 第四部分：内积空间与几何投影的延伸 在建立起对线性变换的直观理解后，本书将讨论引入内积。我们探讨的重点是如何在更一般的向量空间（而不仅仅是$mathbb{R}^n$）中定义长度、角度和正交性。 正交性被视为向量空间中最“独立”的关系。我们详细推导了正交投影的公式，并将其应用于最小二乘法的几何解释中。最小二乘问题不再是单纯的代数求近似，而是寻找：在某个子空间内，离目标向量最近的点在哪里？ 正交投影定理提供了这一问题的完美几何答案。 施密特正交化过程的推导，着重强调了它如何系统地将一组线性无关向量转化为一组结构更优（正交）的基，使得后续的计算和分析（例如特征分解的简化）变得更为高效和直观。 第五部分：抽象空间的拓展与应用视角 最后一部分将视野从有限维欧几里得空间拓展到更抽象的抽象向量空间，例如函数空间（由多项式或连续函数构成）。我们证明了线性代数的基本定理（如秩-零化度定理、基的存在性等）在这些抽象结构中依然成立。 通过对线性泛函和对偶空间的简要介绍，本书展示了线性代数工具的普适性，为读者理解泛函分析和偏微分方程中的变分法打下坚实的代数基础。 总结而言，本书的独特之处在于：它将线性代数视为一种描述空间结构、分析变换行为的几何语言，并辅以严谨的代数工具进行精确的表达和计算。它力求让读者在每一次计算背后，都能“看到”空间正在发生的形变。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

读完这本教材，我最大的感受是它非常注重“代数”而非“几何”的视角。很多概念的引入都是基于纯粹的代数推导，这对于习惯了从图像和空间感去理解数学的读者来说，是一个不小的挑战。比如，向量空间的抽象定义，虽然在书本上被清晰地列出了公理，但在实际操作层面，比如如何直观地想象一个五维空间中的子空间，这本书提供的视觉辅助非常有限。我不得不反复翻阅一些经典教材中关于投影和变换的几何插图，才能将书中的抽象符号与我脑海中的三维世界建立联系。如果能在每个章节的开头或结尾，增加一小节“几何洞察”或“空间直觉”，相信能极大缓解初学者的认知压力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者显然在试图用最精炼的语言传达线性代数的核心概念，但坦白说，这种“简明”的代价是牺牲了足够的铺垫和直观感受。对于一个初次接触这个领域的读者来说，很多定理和定义像是凭空出现的，缺乏必要的上下文来支撑它们的合理性。例如，在讲解特征值和特征向量时，虽然公式推导清晰，但对于它们在实际应用中扮演的角色，例如在数据降维或动力系统中的意义，着墨不多。我花了大量时间在网上查找补充材料，才能真正理解为什么我们要计算这些东西。如果能增加一些更具启发性的实例，哪怕是篇幅稍微增加一些，对于理解深度来说都会是质的飞跃。这本书更像是一本为已经有一定基础的人准备的复习手册，而不是一本能引领新手入门的导读。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设置非常具有挑战性，这一点我必须点赞。它们不是那种简单地代入公式就能得出答案的重复性练习，而是需要读者对概念有深刻理解才能解答的综合性问题。我在完成关于行列式性质证明题时，着实花了不少脑细胞。然而，这也带来了一个问题：缺乏足够的分层难度。对于基础巩固阶段的练习题偏少，导致我常常在练习时直接跳过了简单的重复计算，直接面对难题，中间的过渡不够平滑。如果能按照“基本概念检验”、“中等难度应用”和“高级综合”这样更清晰的结构来划分习题，对于自学者自我评估进度会更加友好和有效率。

评分☆☆☆☆☆

作为一本“简明”的教程，它在覆盖面的选择上显得非常果断和克制，几乎只聚焦于线性代数最核心的“矩阵、向量、变换”这三大支柱。这无疑保证了篇幅不会过度膨胀。但是，对于现代数学和应用科学中日益重要的部分，如奇异值分解（SVD）的系统介绍，则显得有些不足。SVD作为连接理论与实际数据分析的桥梁，在书中的处理更像是一个附加的定理，而非一个核心工具的深入剖析。我对它在谱理论和信息论中的地位非常感兴趣，但这本书似乎更侧重于让读者掌握解方程组的能力，而较少涉及如何利用这些工具去解析复杂的实际系统。这使得它在作为一本面向应用数学或计算机科学的入门教材时，略显保守。

评分☆☆☆☆☆

我特别喜欢这本书在矩阵运算部分的严谨性，它没有回避那些看似繁琐但至关重要的细节。比如，在讨论矩阵的秩和线性方程组解的存在性与唯一性时，作者的逻辑链条非常完整且环环相扣。我清晰地看到了行阶梯形矩阵如何直接导出关于解空间的全部信息，这种“一看便知”的表达方式，在其他教材中并不多见。不过，我稍微感到遗憾的是，关于内积空间和正交性的介绍略显仓促。如果能更深入地探讨施密特正交化过程的几何意义，以及它如何服务于最小二乘问题，这本书的价值会进一步提升。现在的叙述虽然正确，但对于那些需要将理论应用于工程优化问题的读者来说，可能还需要更多的“为什么”来驱动“怎么做”。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆