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出版者:科学出版社

作者:张秋光

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-07-01

价格:32.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030152046

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学基础
• 微积分
• 线性代数
• 解析几何
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 数学分析

《空间几何与拓扑入门》 本书特色与内容概述 本书旨在为读者提供一个全面而深入的欧几里得空间几何和基础拓扑学的导论。我们避开了高等数学中通常占据核心地位的微积分和线性代数细节，而是专注于几何对象的内在结构、连续变形的性质以及空间维度的直观理解。本书的结构设计，力求在严谨性与可读性之间找到一个平衡点，使初学者能够逐步建立起对这些迷人领域的兴趣和直观感，同时为进一步深入研究提供坚实的理论基础。 第一部分：欧几里得几何的重新审视与扩展 (约500字) 本部分将从一个全新的视角审视我们熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$。我们不再将重点放在解析几何的计算上，而是强调几何对象的内在属性。 第一章：点集拓扑的基础 我们将从最基本的概念——点集、子集、邻域和开/闭集开始。我们详细探讨了度量空间的概念，将距离的引入作为构建拓扑结构的核心工具。书中详细阐述了拓扑空间的定义，并展示了如何从度量空间诱导出拓扑结构。重点关注了紧致性、连通性和分离公理（如Hausdorff性质）。紧致性的讨论将通过 Heine-Borel 定理在有限维欧氏空间中的具体表现来深化理解，而非仅仅停留在抽象的定义层面。连通性的讨论则侧重于路径连通性的直观解释，并探讨了其在分析中作为连续函数保持性质的应用。 第二章：三维空间中的纯几何 本章聚焦于三维欧几里得空间 $mathbb{E}^3$。我们摒弃了依赖于向量叉积和点积的传统解析方法，转而使用更具几何直观性的描述。内容涵盖了平面、直线、球面以及圆柱面等二次曲面的本质属性。我们详细分析了曲面的法向量场、曲率的概念，但避免了复杂的微分几何计算。取而代之的是，我们引入了高斯曲率和平均曲率的几何意义，例如，如何通过观察一个曲面局部如何“弯曲”来判断其几何特性，如鞍点、椭圆点和抛物点。此外，本章还探讨了刚体运动（旋转与平移）在保持几何结构不变性中的作用，为后续的群论在几何中的应用埋下伏笔。 第三章：高维空间的直观构建 为了理解更高维度，我们采用了构造性方法。通过对 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 中几何对象（如多边形、多面体）的剖析，我们推广到 $n$ 维超立方体和 $n$ 维单纯形。本章的关键在于建立“维度”的直观模型，比如通过切片法或投影法来“观察”高维对象。我们讨论了高维球体的体积和表面积的悖论性变化，这有助于读者理解为什么直觉在低维空间中构建的模型在高维时会失效。 第二部分：基础拓扑学与几何的桥梁 (约600字) 本部分是本书的核心，旨在将前一部分的几何直觉提升到抽象的拓扑层面，理解“形状”在连续变形下的不变性。 第四章：连续性与同胚 拓扑学的核心在于研究连续变化的性质。本章严格定义了连续函数，并着重强调了同胚（Homeomorphism）的概念——即“连续且逆连续的映射”。我们通过大量的实例说明，两个空间如果可以同胚，那么它们在拓扑上是等价的。书中分析了咖啡杯与甜甜圈（环面）的经典同胚案例，并展示了如何利用拓扑不变量（如洞的数量）来证明两个空间不是同胚的。 第五章：基本群（路径群）的引入 这是连接代数与拓扑的关键章节。我们定义了路径和循环，并在此基础上引入了基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的概念。本书通过具体例子，如圆周 $S^1$ 的基本群是整数群 $mathbb{Z}$，来生动地解释了基本群如何捕捉空间中“环绕”的拓扑信息。我们详细介绍了群操作（路径的连接）和群的结构，并展示了如何利用割洞（cuts）和粘合（glues）来计算简单复合空间的 $pi_1$ 群。这一工具的引入，使得我们能够严格区分具有不同“洞”结构的拓扑空间。 第六章：曲面的分类与拓扑不变量 本章将前面学到的工具应用于二维流形——曲面。我们首先系统介绍闭合曲面（无边界）的分类定理，重点讨论了球面 $S^2$、环面 $T^2$ 和不可定向曲面（如克莱因瓶和实射影平面 $mathbb{R}P^2$）。我们引入了欧拉示性数（Euler Characteristic, $chi$）作为最重要的拓扑不变量之一，并展示了它与曲面上的多边形划分、顶点数、边数之间的关系。通过计算欧拉示性数，读者可以迅速判断一些曲面之间的拓扑差异。我们特别深入探讨了克莱因瓶的“不可定向性”的几何内涵，即它无法在三维空间中完全嵌入而不自交。 第三部分：拓扑在非标准几何中的应用 (约400字) 本部分将视角从欧氏空间扩展到更广阔的几何结构，展示拓扑思想的普适性。 第七章：非欧几何的几何直觉 我们简要介绍了球面几何（正曲率）和双曲几何（负曲率）的基本概念，强调这些空间如何作为欧几里得几何的自然替代品。我们通过三曲面（球面、平面、双曲面）上的三角形内角和与欧氏几何中的差异，直观地感受曲率对几何公理的影响。本章的核心在于展示，即使在度量和距离的定义发生变化时，拓扑性质（如连通性、紧致性）依然保持不变。 第八章：流形的概念与实例 我们将流形定义为在局部看起来像欧氏空间的拓扑空间。本书重点阐述了二维和三维流形的具体例子，包括嵌入到 $mathbb{R}^3$ 中的各种曲面。我们讨论了光滑流形的概念，为读者理解微分几何和广义相对论中的几何描述奠定基础。我们选取了李群（如旋转群 $SO(3)$）作为例子，展示了拓扑结构与群结构结合的强大威力。 结论 《空间几何与拓扑入门》旨在培养读者对空间本质的深度理解，超越计算的层面，聚焦于形状的内在不变性和连续形变的逻辑。本书的读者将不仅掌握拓扑学的基本工具，更重要的是，建立起一种全新的几何直觉，为未来学习微分几何、代数拓扑或理论物理学打下坚实的基础。全书配有大量几何作图和思维实验，鼓励读者动手操作和独立思考。

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这本书在章节结构上的安排，体现了一种超越传统高等数学教材的宏观视野。它不仅仅是“微积分”的堆砌，更像是一部数学思维的导览手册。最让我印象深刻的是，它在引入微分方程时，并没有将其视为一个全新的、孤立的知识点，而是巧妙地将其与前面学到的导数和变化率的概念联系起来，强调了微分方程本质上就是描述“变化规律的代数表达”。这种前后呼应的结构处理，使得知识体系不再是零散的模块，而是一个有机的整体。此外，它在涉及矩阵和线性代数的一些基础内容时，处理得非常克制和精准，仅仅选取了对理解多元函数微积分至关重要的部分进行介绍，避免了为了追求内容全面而导致初学者分心的风险。这种“有所为，有所不为”的取舍艺术，显示了编者对于“基础”二字的深刻理解——基础不是什么都讲，而是讲最重要的、最核心的、能支撑未来学习的部分。这本书成功地为后续更深入的专业学习打下了坚实而又灵活的知识地基。

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坦白说，我对数学教材的耐心是有限的，通常读几页就开始走神。但是《高等数学基础》这本书，在叙述语言的处理上，展现出一种近乎散文般的流畅感，这绝对是出乎我意料的。它没有使用那种冷冰冰的、只有符号和逻辑的语言，而是用一种非常口语化、带有人情味的笔触来解释复杂的数学概念。举个例子，在解释“收敛”这个概念时，书中用了这样一段话：“想象你正在朝一个终点线奔跑，你每一步都比前一步迈得小，但你始终朝着那个方向前进，那么你最终一定会到达（或者无限接近）那个点。” 这种比喻式的讲解，比直接给出数列极限的定义要生动得多，也更容易被大脑接受和记忆。此外，书中在推导一些关键定理，比如微积分基本定理时，作者没有直接展示最终的证明过程，而是像一位经验丰富的老师在黑板前娓娓道来，先讨论直观感受，再逐步引入严谨的数学工具，让人感觉自己是参与了知识的建构过程，而非被动地接受灌输。这种写作风格，极大地降低了阅读的心理门槛。

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这本《高等数学基础》的作者显然对基础知识的梳理有着独到的见解。从我翻阅的经验来看，它在代数运算和微积分的初步概念引入上做得尤为扎实，完全没有那种为了追求高深而忽略根本的弊病。比如，在讲述极限的ε-δ定义时，书中并没有直接抛出那个令人望而生畏的公式，而是通过几个非常形象的几何小故事来铺垫，让我这个高中数学基础不太牢固的读者也能大致理解其内在逻辑。更值得称赞的是，它在讲解导数概念时，非常巧妙地将物理学中的瞬时速度和几何学中的斜率联系起来，让抽象的数学符号立刻具象化。我记得书中有一个例题，是关于一个自由落体运动的位移函数求速度的，解答步骤清晰流畅，每一步的理论依据都标注得一清二楚，读起来简直是一种享受，完全没有那种枯燥的填鸭式教学的乏味感。这本书的排版设计也十分人性化，关键公式和定理都用醒目的字体突出显示，即使是复习时快速翻阅，也能迅速定位重点。总而言之，对于想要重新夯实数学基础，或者初次接触高等数学但又担心被难度吓倒的人来说，这本书提供了一个非常友好的切入点，它成功地将高等数学的“高深莫测”拉下了神坛，变得触手可及。

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读完这本《高等数学基础》后，我最大的感受是其在例题选择上的独具匠心。很多教材往往陷入一个误区，要么例题过于简单，无法体现理论的深度；要么就是直接上难题，让初学者望而却步。然而，这本书的编排恰到好处地避开了这些陷阱。它遵循着“由浅入深，螺旋上升”的原则，每一个章节末尾的习题设计，都像是一个精心设计的攀登路径。比如，在讨论不定积分时，它不像其他书那样上来就堆砌各种换元法、分部积分法的公式，而是先用一个简单的有理函数积分作为“热身”，接着引入三角函数替换，最后才过渡到更复杂的组合形式。更有趣的是，它在每个章节的最后都设置了一个“生活中的数学”小专栏，虽然这些小专栏的内容与课本核心公式的直接运算关联不大，但它们却极大地激发了我对数学应用场景的兴趣，让我意识到我们所学的知识并非空中楼阁。那篇关于复利计算在投资组合中应用的短文，直接让我把书本知识用到了个人理财规划中，这种实践价值的体现，是很多纯理论教材所欠缺的。这本书的作者显然深谙教育心理学，懂得如何用巧妙的方式“哄骗”读者继续深入学习。

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我特别欣赏《高等数学基础》在图表可视化方面的努力，这一点在很多传统教材中常常被忽视。对于高等数学这种空间想象要求较高的学科来说，一幅好的图胜过千言万语。这本书的绘图质量非常高，线条清晰，色彩搭配得体，最关键的是，它们真正服务于理解。例如，在讲解二重积分的区域划分时，书中提供了三维立体图，清晰地展示了积分区域的边界是如何在三维空间中形成曲面的，这对于我理解曲面积分的概念起到了决定性的作用。更进一步，它还用不同的颜色区分了极坐标和笛卡尔坐标系下积分路径的差异，这种视觉上的对比，让我一下子明白了为什么有时候使用极坐标会使计算复杂度大大降低。而且，书中对一些动态变化的函数图像，比如伴随参数变化的曲线轨迹，提供了清晰的步骤图解，而不是仅仅给出一个静态的最终图像。这种对视觉辅助的重视，让这本书的实用价值大大提升，对于习惯于视觉学习的读者来说，简直是福音。

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