黎曼几何初步 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:白正国

出品人:

页数:347

译者:

出版时间:1992-4

价格:33.20元

装帧:

isbn号码:9787040161298

丛书系列:研究生教学用书

图书标签:

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《拓扑学基础：从点集到流形》 第一章：点集拓扑学的基石 本章将深入探讨拓扑学的基本概念，为后续章节建立坚实的数学基础。我们将从最直观的度量空间（Metric Spaces）出发，定义开球、闭球、开集和闭集，并引入邻域（Neighborhood）和内点、外点、边界点的概念。严格的定义和丰富的实例将帮助读者理解拓扑空间（Topological Spaces）的抽象本质。 随后，我们将详细讨论拓扑空间的构造方法，包括相对拓扑（Subspace Topology）、商拓扑（Quotient Topology）以及乘积拓扑（Product Topology）。每一个构造方法都伴随着对重要定理的证明，例如，如何判断子空间的连通性。连通性（Connectedness）是拓扑学中刻画空间“不分裂”特性的核心概念，本章将区分路径连通性（Path Connectedness）与一般的连通性，并证明在 $mathbb{R}^n$ 中，两者是等价的。 紧接着，我们将引入紧致性（Compactness）。紧致性是度量空间中最强大的性质之一，它保证了诸如“连续函数在紧致集上能达到最大值”这类重要结论的成立。我们将从有限开覆盖的定义出发，详细阐述 Heine-Borel 定理在任意度量空间中的推广，并探讨紧致性在乘积空间和商空间中的保留性质。 本章的最后部分将聚焦于连续性（Continuity）的拓扑定义。连续函数是保持空间结构不变的映射，其定义完全依赖于开集的概念。我们将证明连续函数与拓扑的对应关系，并引入同胚（Homeomorphism）——拓扑学中的“等价”概念。通过对几个经典例子（如圆环与咖啡杯）的分析，读者将能深刻体会到同胚所蕴含的几何直觉。 第二章：度量与结构——流形的萌芽 在第一章建立拓扑基础后，本章开始将几何直觉重新引入。我们首先复习并深化对度量空间的研究，特别是完备性（Completeness）的概念。完备度量空间允许我们讨论收敛的极限问题，这是分析学和几何学中不可或缺的工具。巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem）作为完备性的一个直接应用，将在本章中被详细推导，它在微分方程和数值分析中具有重要地位。 我们将引入等距变换（Isometry）的概念，这是一种保持距离的特殊变换，是欧几里得几何中最基本的刚性运动。在此基础上，本章将逐步过渡到局部欧几里得空间的概念。 流形（Manifolds）是黎曼几何的核心研究对象，它本质上是“局部看起来像欧几里得空间”的拓扑空间。本章将正式定义一个 $n$ 维拓扑流形：一个满足第二可数性、豪斯多夫性质，并且每个点都有一个开邻域同胚于 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。我们将通过构造光滑曲面（如球面 $S^2$、环面 $T^2$）的例子来验证它们是否满足流形的定义。 为了在流形上进行微分和积分运算，仅仅拥有拓扑结构是不够的，我们需要一个“光滑”的结构。本章将引入坐标卡（Coordinate Charts）、转移映射（Transition Maps）以及最重要的概念——光滑结构（Smooth Structure）。通过要求所有转移映射是光滑的（无限次可微），我们定义了光滑流形（Differentiable Manifolds）。本章将详细讨论如何从一个拓扑流形构造一个光滑结构，并证明光滑结构的选取对后续的微分几何研究至关重要。 第三章：向量场与切空间——局部线性结构 本章致力于在光滑流形上构建出能够描述“切向”行为的代数工具，这是连接拓扑与微分几何的关键一步。 我们将从局部坐标系出发，定义流形上光滑函数的微分。对于光滑流形 $M$ 上的一个光滑函数 $f: M o mathbb{R}$，我们希望在每一点 $p in M$ 上定义它的“变化率”。这导致了切空间（Tangent Space）$T_p M$ 的引入。 切空间 $T_p M$ 被定义为作用于该点上所有光滑函数的导数（或称方向导数）的集合。本章将从两种等价的构建方式入手：一是通过曲线族（Curves）的导数来定义，二是通过向量场（Vector Fields）在函数上的作用来定义。我们将证明这两者在光滑流形上是等价的，并严格证明 $T_p M$ 是一个向量空间，其维数等于流形的维度 $n$。 接下来，我们将探讨如何用坐标系来表示切空间。在一个由坐标卡 $phi: U o mathbb{R}^n$ 导出的局部坐标系下，我们定义了自然基向量 $left{frac{partial}{partial x^1}, dots, frac{partial}{partial x^n} ight}$。本章将详细推导这些基向量在不同坐标系之间的转换规则，这自然地引出了协变张量（Covariant Tensors）和反变张量（Contravariant Tensors）的概念。 切空间是理解黎曼几何的门户。本章将以讨论向量场在流形上的光滑性结束。向量场 $X$ 是流形上每一点 $p$ 关联一个切向量 $X(p) in T_p M$ 的光滑分配。我们将展示如何用坐标表示向量场，并讨论李导数（Lie Derivative）的初步概念，为后续引入黎曼度量做准备。 第四章：黎曼度量与张量分析 黎曼几何的核心在于度量（Metric）。本章将正式引入黎曼度量张量（Riemannian Metric Tensor）。 黎曼度量 $g$ 被定义为一个光滑的二次型（Quadratic Form），它在线性地作用于每个切空间 $T_p M$ 上的两个切向量 $u, v$ 时，给出一个实数值 $g_p(u, v)$，满足对称性、双线性性和正定性。正定性保证了我们可以在黎曼流形上定义长度和角度的概念。 我们将探讨黎曼度量的局部坐标表示。在局部坐标系下，度量由一个对称的、非奇异的二次协变张量 $g_{ij}(x)$ 表示。我们将在 $mathbb{R}^n$ 上的标准度量（欧几里得度量）开始，然后推广到更复杂的流形，例如，圆周 $S^1$ 上的诱导度量。 本章的重点将放在张量代数和张量分析上。度量的引入使得我们可以“提升”或“下降”指标，从而在切空间和余切空间（Cotangent Space）之间进行转换。我们定义了长度（$|v| = sqrt{g(v, v)}$）和两个向量之间的夹角。 接下来，我们将引入诱导的度量结构，研究如何从高维空间中的一个流形继承度量，例如，在嵌入空间中定义一个子流形的黎曼度量。本章的收尾部分将是介绍张量场的协变导数（Covariant Derivative）的概念。协变导数是黎曼几何中微分运算的推广，它解决了在弯曲空间中如何定义向量场的“方向变化”的问题，为下一章介绍测地线和曲率奠定基础。

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这本书的排版和图示设计简直是一场视觉上的享受，这在数学书籍中是相当罕见的品质。大量的清晰的手绘或高质量的矢量图，有效地弥补了文字在描述三维及更高维流形时的局限性。特别是关于曲面论的部分，作者利用巧妙的投影和剖面图，将高斯曲率和平均曲率的概念可视化，使得原本需要依赖复杂微积分工具才能理解的性质，变得一目了然。我发现，当我遇到一个难以理解的代数表达式时，只需回头翻阅相邻的插图，往往就能立刻找到几何上的对应物，从而实现思路的豁然开朗。这种图文并茂的教学法，使得学习过程中的挫败感大大降低。如果说有什么遗憾，那就是在涉及更高维流形上的拓扑性质时，图示的表达能力受到了天然的限制，但考虑到这是一本“初步”读物，这种取舍是可以理解的。

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与其他一些声称是“入门”的教材相比，这本书的“深度”控制得非常精准，它成功地在“过于简单化”和“信息过载”之间找到了一个微妙的平衡点。它没有止步于对欧氏空间进行微小扰动的研究，而是相当有魄力地引入了主丛、纤维丛等现代微分几何的核心概念框架，但处理方式极其克制。作者选择性地展示了这些高级工具在解决特定问题（比如定义曲率张量或黎曼测度）时的威力，而不是试图全面教授整个理论体系。这种“点到为止，重在启发”的策略，使得读者在学完这本书后，对后续深入研读更专业著作（如NTL或MS）时，能够迅速适应其符号系统和抽象层次。它更像是一份高质量的“预科报告”，为接下来的大学研究生阶段学习打下了坚实且方向明确的基础，而不是试图将研究生课程的内容压缩进一本本科教材里。

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这本关于黎曼几何的入门读物，着实让人眼前一亮。它并非那种将深奥理论堆砌起来的晦涩之作，而是更像一位经验丰富的向导，带着我们缓缓步入这片优美而复杂的数学疆域。作者在引言部分便清晰地勾勒出了黎曼几何的核心思想——从欧几里得的平直空间，到弯曲流形上的度量与测地线，这种循序渐进的叙述方式极大地降低了初学者的心理门槛。我尤其欣赏书中对于基础概念，如切空间、张量场的引入，没有急于展示复杂的公式推导，而是先通过直观的几何图像和物理类比来帮助读者建立起对这些抽象概念的感性认识。例如，对曲率的解释，不再仅仅是爱因斯坦张量方程的前奏，而是通过描述一个微小闭合曲线的面积如何偏离平坦空间的预期值来形象阐释的。读完前几章，我感觉自己不再是那个对“微分几何”感到畏惧的新手，而是有了一些探索更高维度空间的勇气和工具。这种注重直观理解而非纯粹形式化的处理，使得这本书在众多理论导向的教材中显得格外亲切和实用。

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坦率地说，这本书在数学严谨性上做出了一个非常大胆的权衡，这使得它在特定读者群中可能引发争议，但对我这个试图从基础物理背景转向几何的读者来说，却是恰到好处的“拐杖”。它的优点在于极强的可读性和类比的丰富性。书中穿插了大量的历史背景和对相关物理学（比如广义相对论）应用的简要讨论，这些内容并非简单地罗列事实，而是巧妙地嵌入到数学概念的解释之中，让抽象的几何结构拥有了实际的意义。比如，当讨论协变导数的必要性时，作者没有直接抛出李导数或联络的定义，而是通过考虑在一个弯曲空间中，如何“合理地”定义一个向量场的平行移动过程，从而自然地导出了这些工具的必要性。然而，这种侧重“为什么”而非“是什么”的叙述方式，也意味着对于追求极致代数结构形式美的读者来说，可能略显不够“硬核”。一些关键的定理证明过程被极大地简化或略去，留给读者自己去补全，这既是优点也是一种挑战，要求读者必须主动去填补逻辑上的空白。

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这本书的语言风格非常具有人文色彩，它不像很多标准理工科教材那样冰冷、客观，而是充满了作者对这门学科的热爱和思考。在解释一些基本定义时，作者常常会穿插一些关于数学家如何思考、数学美学在哪里的小段感慨，这无疑增加了阅读的趣味性。例如，在讲解测地线的变分原理时，作者并未直接给出欧拉-拉格朗日方程，而是从“自然选择”的角度来描述测地线是两点间“最有效率”的路径，这种带有人文温度的叙述，使得冰冷的数学公式仿佛拥有了生命和逻辑。对于那些希望通过数学来理解世界更深层结构、而非仅仅为了应试的学生来说，这种充满哲思的引导无疑是宝贵的精神食粮。它教会的不仅仅是如何计算曲率，更重要的是如何以几何学家的眼光去看待空间本身。

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嘿嘿嘿嘿

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和陈维桓那本差不多，只适合用来当习题书，不过用单参数微分同胚群来证明Frobenius定理还是比较清楚直观的

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仅仅是个开始！

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这本书作为入门教材其实还不错，不知道为什么还有人给1星……= =

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和陈维桓那本差不多，只适合用来当习题书，不过用单参数微分同胚群来证明Frobenius定理还是比较清楚直观的