教材知识详解:7年级数学(上)(人教实验版)(第1次修订) (平装) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京教育出版社

作者:张艳霞、冯秀臣、任宏彬、王亮、苏杰|主编

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:2005-6

价格:14.8

装帧:平装

isbn号码:9787530307946

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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探寻未知疆域：一部关于高等代数与拓扑学基础的综合性著作 书名： 抽象代数与流形导论：从群论到微分拓扑的探索 作者： 艾伦·克莱因 (Alan Klein) / 玛丽亚·桑切斯 (Maria Sanchez) 装帧： 精装 页数： 约 850 页 --- 内容概要 《抽象代数与流形导论：从群论到微分拓扑的探索》是一部旨在为高等数学学生提供坚实基础，并引导他们深入现代几何学前沿的综合性教材。本书聚焦于两个核心领域：抽象代数（Abstract Algebra），特别是群、环与域的结构；以及基础拓扑学（Foundational Topology），并在此基础上引入微分几何的初步概念，为进一步研究微分拓扑和代数几何做好准备。 本书的编写哲学在于强调概念的内在联系与逻辑的严密性，力求在保持数学严格性的同时，通过丰富的实例和直观的几何解释来辅助理解。我们认为，真正的数学洞察力来源于对基本结构及其相互作用的深刻理解。 第一部分：抽象代数的基石——结构与对称性 本部分深入探讨了代数结构的核心概念，这些结构是理解现代数学乃至物理学中对称性的关键。 第一章：集合论回顾与代数结构的初步概念 本章从基础的集合论和映射回顾开始，引入了代数结构的核心要素：二元运算。着重分析了运算的封闭性、结合律、交换律以及单位元和逆元的存在性。通过具体的例子，如整数集上的标准运算、矩阵乘法以及函数合成，区分不同代数结构的特征。 第二章：群论的严格建立 群论是本书的第一个主要支柱。我们从群的正式定义出发，详细讨论了子群、陪集、拉格朗日定理及其在有限群分类中的应用。 同态与同构： 深入探讨了群的结构保持映射，定义了核与像的概念，并证明了第一同构定理——这是连接不同群结构的桥梁。 正规子群与商群： 详细阐述了正规子群的定义及其在构造新的、更简单的群（商群）中的作用。通过实例展示如何从复杂结构中提炼出本质信息。 群作用： 讨论群对集合的作用，包括轨道、稳定子以及共轭类。这部分内容是理解化学分子对称性和物理学中对称性破缺的基础。 Sylow 定理： 对有限群的结构进行深入剖析，提供了关于特定阶的子群存在的保证，是有限群分类的关键工具。 第三章：环与域的代数结构 本章将讨论扩展到包含两种运算（加法和乘法）的结构——环。 环的基本性质： 定义了交换环、单位环，并引入了零因子、整环的概念。 理想与商环： 借鉴群论中的商群概念，定义了理想和商环。重点分析了主理想、素理想和极大理想的特性，为后续引入代数几何中的素理想概念打下基础。 域与分式域： 考察了域的特殊结构，讨论了多项式环 $F[x]$ 上的除法算法、不可约多项式以及域的扩张。 第二部分：拓扑学的直观与严谨——空间的连续性研究 本书的第二部分将视角从离散的代数结构转向连续的几何空间，关注“形状”和“邻近性”的内在属性，独立于具体的度量。 第四章：拓扑空间的基础 本章旨在建立一个通用的框架来讨论连续性，这一框架比度量空间更为广泛。 拓扑空间的定义： 形式化地定义了拓扑空间、开集、闭集及其生成拓扑的基本概念。 基与子基： 讨论了构造拓扑的有效方法，引入了度量诱导拓扑作为具体实例。 连续映射与拓扑同胚： 严格定义了连续映射，并引入拓扑同胚这一“形状保持”的等价关系。 第五章：重要的拓扑性质 本章探索了在拓扑空间中保持下来的关键性质，这些性质是区分不同空间形态的拓扑不变量。 连通性（Connectedness）： 探讨了空间的“一整块”性质，引入了路径连通性作为更强的连通性概念，并通过构造性例子展示了非路径连通空间。 紧致性（Compactness）： 这是拓扑学中最重要的概念之一。我们用开复有限性严格定义紧致性，并证明了 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中），以及紧致集在连续映射下保持紧致的性质。 分离公理： 讨论了不同程度的“良好行为”空间，从 $T_1$ 空间到完全豪斯多夫空间（Hausdorff Space），强调了豪斯多夫空间在分析学和几何学中的重要性。 第六章：连续函数的结构 本章将代数工具与拓扑空间联系起来。 商拓扑： 探讨了如何由一个已知的空间通过划分等价关系来构造新的拓扑空间，这是构建射影空间和克莱因瓶等非嵌入式空间的必要工具。 积拓扑： 讨论了构造更高维空间拓扑的方法，这对于理解无限维空间中的收敛性至关重要。 第三部分：从拓扑到几何——微分结构的引入 本部分是连接纯拓扑与经典微分几何的桥梁，为读者展望现代几何学的前景。 第七章：度量空间与完备性 虽然拓扑学关注一般的邻近性，但度量空间提供了量化的距离概念。 度量空间： 定义距离函数，并研究其诱导的拓扑。 收敛性与完备性： 严格定义了柯西序列，引入了完备空间的概念，并讨论了巴拿赫不动点定理在微分方程解的存在性证明中的作用。 第八章：流形概念的萌芽 本章是全书的收尾和展望。 局部欧几里得性： 引入了 $n$ 维流形（Manifold）的初步定义，即空间在局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。 图册与坐标变换： 解释了如何通过图册（Atlas）来描述一个流形，并初步讨论了坐标变换的性质。 可微结构（初步）： 在拓扑同胚的基础上，引入了光滑（可微）结构的需求，为读者理解微分拓扑和黎曼几何奠定了概念基础。通过三维球面和环面作为实例，展示拓扑与几何之间的张力与统一。 --- 本书特色与目标读者 本书的结构设计兼顾了数学专业的深度要求和教学的循序渐进性。我们不依赖于预先的高等微积分知识，而是将必要的分析工具融入到拓扑和代数的讨论中，特别是对群作用和紧致性的强调，使得读者能够真正掌握现代数学的核心语言。 目标读者： 优秀的数学系本科生（大二或大三），或希望系统性回顾和深化代数与拓扑学基础的研究生预备人员。 核心价值： 本书不仅仅是概念的罗列，更是对数学推理模式的培养。通过大量精心挑选的习题，读者将被引导着从基础公理出发，独立构建复杂的数学论证体系。本书致力于培养读者对“对称性”和“空间结构”的直觉洞察力，这是未来从事代数几何、拓扑学、理论物理或复杂系统建模的基石。

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