离散数学（上） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学出版社

作者:陈进元，屈婉玲编

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:1987-11

价格:10.00元

装帧:

isbn号码:9787301006740

丛书系列:

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• 离散数学
• 数学基础
• 集合论
• 逻辑学
• 图论
• 组合数学
• 数论
• 算法基础
• 计算机科学
• 高等数学

数学之基：逻辑、结构与算法的深度探索 《离散数学（上）》内容提要 本书是为高等院校计算机科学、信息工程、数学及相关专业学生精心打造的离散数学入门教材。聚焦于构建严谨的数学思维框架，本书系统地介绍了离散数学的核心概念、基本理论及其在现代计算科学中的基础应用。全书内容以逻辑推理和结构分析为核心，旨在为后续学习算法设计、数据结构、理论计算机科学以及人工智能等领域打下坚实的理论基础。 第一部分：数理逻辑——思维的基石 本部分致力于培养读者精确表达和严格推理的能力，这是所有定量科学的共同语言。 第一章 命题逻辑：陈述与真值 本章从最基础的陈述（命题）概念入手，定义了命题的真值。随后，详细阐述了逻辑联结词（否定、合取、析取、蕴含、双条件）的精确含义和真值表构造方法。重点剖析了等价关系，如德摩根定律、分配律等，这些是逻辑化简的关键工具。最后，引入了推理规则，如肯定前件（Modus Ponens）和否定后件（Modus Tollens），并教授如何通过这些规则构建有效的逻辑论证。本章旨在使读者能够将日常语言中的陈述准确地转化为符号逻辑表达式，并进行可靠的推导。 第二章 谓词逻辑：量化与精确描述 命题逻辑的局限性在于无法处理涉及“所有”和“存在”的陈述。本章引入了谓词逻辑，通过个体、谓词和域的概念来丰富表达能力。核心内容包括全称量词（$forall$）和存在量词（$exists$）的定义、使用及其相互转化关系。我们将探讨如何构造复杂的谓词公式，并学习在谓词逻辑中进行有效的证明和推理。本章的难点在于理解量词的辖域和嵌套结构，这对于理解数据库查询语言和形式化规范至关重要。 第三章 证明方法与技巧 逻辑的意义在于推理。本章系统梳理了数学证明的常见方法。首先区分直接证明、间接证明（反证法）和构造性证明。随后，深入讲解数学归纳法，这是处理涉及自然数序列和递归结构问题的核心工具。归纳法将分为简单归纳法和强归纳法（也称第二数学归纳法）进行详细讲解，并通过实际例子（如斐波那契数列、图的性质）展示其威力。此外，还讨论了存在性证明的技巧，如构造性存在证明和反例法。本章强调的是证明的结构和严谨性，而非结论本身。 --- 第二部分：集合论与函数——对象的组织与关系 第二部分将抽象的逻辑概念应用于对象的组织和关系建模，这是构建所有数学结构的基础。 第四章 集合论基础 本章确立了集合作为数学基本对象的地位。内容涵盖集合的定义、表示方法（外延法和内省法），以及子集、幂集等基本概念。重点解析集合上的基本运算：并集、交集、差集和对称差集，并利用文氏图辅助理解这些运算的几何意义。同时，将介绍集合代数定律，这些定律与命题逻辑中的等价律高度相似，体现了数学不同领域间的统一性。 第五章 关系：结构与属性 关系是刻画对象间联系的关键工具。本章首先定义了二元关系，并分析了关系的性质，如自反性、对称性、传递性和反对称性。随后，重点深入研究两种重要的关系结构：等价关系和偏序关系。等价关系引出了划分的概念，这在数据分类和抽象中非常重要；偏序关系则引出了格、极大元、极小元、上界、下界等概念，为后续学习偏序集上的排序算法和数据结构（如树）奠定基础。 第六章 函数：映射与变换 函数被定义为特殊的二元关系，强调了单射（一对一）、满射（映满）和双射（一一对应）的特性。本章分析了函数复合的性质，以及逆函数存在的条件。对函数的基数概念（函数的“大小”）进行初步探讨，尤其是满射和单射在确定映射方向上的作用。本章是理解抽象代数和计算复杂性理论中输入输出映射的基础。 --- 第三部分：计数与组合——概率与效率的量化 本部分是离散数学在算法分析和概率论中应用最为直接的部分，着重于计算事件发生的次数。 第七章 基础计数原理 本章是组合数学的起点，介绍两个最基本的计数工具：加法原理和乘法原理。通过大量实例说明何时应用哪个原理。随后，深入讲解排列（Permutation）和组合（Combination），区分有序选择和无序选择。公式推导清晰，并区分了有重复和无重复的情况。 第八章 高级计数技术 在基础原理之上，本章引入更复杂的计数技巧。内容包括鸽巢原理（Pigeonhole Principle），这是一个简单却极其强大的存在性证明工具。重点解析了包含与排除原理（Inclusion-Exclusion Principle），该原理用于计算具有重叠属性的集合的并集大小，是处理复杂计数问题的核心方法。本章的练习将大量涉及概率的预备计算，强调对计数问题的精确建模能力。 --- 第四部分：图论基础——网络与连接的科学 图论是现代网络科学、算法设计和数据结构的核心理论框架。本部分奠定图论的基本概念。 第九章 图的基本概念 本章定义了图（Graph）的数学结构，包括顶点集、边集，以及有向图和无向图的区别。讨论了图的类型，如完全图、二分图。重点在于理解度和握手定理，该定理是图论中最早也是最基础的恒等式之一。此外，还介绍了特殊图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。 第十章 图的连通性与通路 本章关注图中元素之间的连接性。定义了路径、回路（环）、简单路径和欧拉路径/回路（可遍历所有边且仅遍历一次）。随后引入哈密顿路径/回路（经过所有顶点且仅经过一次）。通过这些概念，读者将理解网络导航、最短路径问题的理论基础，并初步认识这类问题的计算复杂度。 本书的结构设计遵循从抽象到具体、从逻辑到结构的递进原则，确保读者在掌握严谨的数学语言的同时，能够清晰地看到这些理论工具在信息科学领域中的实际价值和应用潜力。

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这本书的风格非常“务实派”，它不会过多地纠结于那些对实际应用帮助不大的边缘理论，而是将核心精力集中在那些在计算机科学、信息论乃至现代物理学中具有高频使用的工具集上。例如，组合计数部分，对于排列、组合、鸽巢原理的讲解，配上了大量与算法复杂度分析、数据结构设计直接相关的例子。这使得学习过程充满了即时反馈的成就感，你学到的知识能立刻在其他领域找到用武之地，极大地增强了学习的内在驱动力。我特别欣赏它对概率论基础的引入方式，它并没有将这部分内容割裂开来，而是将其自然地融入到组合结构分析之中，例如计算随机图的某些特性，这使得离散概率的理解更加立体和有意义。在书的末尾部分，对有限状态机的初步介绍也显示出编者的高瞻远瞩，他们明白，学习离散数学的很大一部分读者最终会走向计算领域，因此提前埋下了关于计算模型和可判定性的种子。总而言之，如果你需要一本能让你快速掌握核心工具、并能清晰看到这些工具在未来学习和工作路径中价值的教材，那么这本《离散数学（上）》绝对是值得投入时间的优选，它高效、聚焦且极具前瞻性。

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说实话，我拿到这本《离散数学（上）》的时候，是带着一丝怀疑的，因为市面上的教材太多了，往往为了凑字数而堆砌内容，或者为了迎合大众而过度简化。然而，这本书的排版和细节处理，立刻打消了我的疑虑。它的印刷质量极高，纸张的韧性和油墨的清晰度都非常适合长时间阅读，即便是在光线不佳的环境下，公式和符号的识别也毫无压力。更值得称赞的是其对数学符号规范的坚持，书中对于量词、下标、运算符号的使用，始终保持高度一致性和规范性，这对于培养严谨的学术写作习惯至关重要。我尤其欣赏它在章节过渡时的设计，每当一个主题结束，都会有一个小结，回顾本章核心概念及其相互联系，并预告下一章节将如何利用这些工具去解决更复杂的问题，这种内在的逻辑链条感非常强。例如，在讲解关系和函数时，它不仅仅停留在定义上，还深入探讨了关系的闭包和等价关系在实际划分问题中的应用。这本书的行文风格介于严谨的学术论文和亲切的教学笔记之间，既保证了专业性，又不至于让人感到枯燥。它成功地搭建了一座从初等数学到高等抽象数学之间的坚实桥梁，让学习过程变得既有挑战性，又充满了发现的乐趣。

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我对这本书最大的感受是其对“计算”和“结构”之间平衡的把握。离散数学常常被误解为仅仅是计数和算法，但这本书明确地展示了其作为“数学的语言”的核心地位。在处理递归关系和生成函数的部分，我体验到了极大的思维拓展。它不是简单地给出递推公式的求解步骤，而是深入到幂级数展开的理论基础，让读者理解为什么这种方法有效，这种“知其所以然”的教学态度，是很多教科书所欠缺的。此外，书中对命题逻辑和谓词逻辑的探讨，其深度已经触及到计算机科学中形式化验证的底层逻辑。它用非常清晰的方式解释了如何将自然语言的陈述转化为符号逻辑表达式，并利用推理规则进行有效推导。这种能力在调试复杂的程序逻辑或者设计形式化规范时，是至关重要的硬技能。我发现自己在使用这本书学习之后，看问题的角度都变得更“结构化”了——不再是看到一堆零散的数据，而是立即在脑海中构建出它们之间的关系图、依赖链条或者集合划分。这本书真正做到了将理论知识转化为一种强大的认知工具，而非仅仅是考试的知识点集合。

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这本《离散数学（上）》真是一本让我爱不释手的入门佳作。我一直对抽象的数学概念感到头疼，尤其是在面对逻辑和集合论的时候，总觉得云里雾里。但这本书的讲解方式极其清晰，作者似乎深谙初学者的思维盲区，每一步的推导都娓娓道来，仿佛身边有一位耐心且学识渊博的导师在为你亲自授课。它没有一上来就抛出复杂的公式和定理，而是从非常直观的例子入手，比如用日常生活中的情景来解释命题演算的真值表，这种接地气的叙述方式极大地降低了我的畏难情绪。特别是关于证明方法的介绍，从直接证明到反证法，再到数学归纳法，书中都配有大量的、精心挑选的例题，这些例题的难度梯度设计得非常合理，让人可以循序渐进地建立起严谨的数学思维。我特别欣赏它在图论基础部分的讲解，色彩搭配和图示的清晰度，使得原本复杂的连通性、欧拉路等概念变得触手可及。读完前三章，我感觉自己对“离散”这个概念有了全新的认识，不再是单纯的数字跳跃，而是一种结构化的、可分析的问题空间。这本书的习题设计也很有水平，既有巩固基础的计算题，也有激发思考的开放性问题，让我感觉不仅仅是在学习知识点，更是在训练一种解决问题的能力。对于任何想扎实打好离散数学基础的理工科学生来说，这本教材无疑是一个绝佳的起点，它成功地将一门看似高冷的学科，变得既实用又充满趣味。

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翻开这本书时，我的第一感受是其内容组织架构的严谨性与深度，它绝非市面上那些浅尝辄止的“速成”读物可比拟。这本书显然是为那些追求学术深度、希望未来能在理论研究领域有所建树的读者准备的。它对基础理论的阐述，往往能追溯到其最本源的数学哲学基础，比如在集合论部分，对公理化体系的探讨就比我之前看过的任何教材都要深入，这使得我对集合的本质有了更深层次的理解，而不是停留在简单的元素罗列层面。书中的代数结构部分，无论是群、环还是域的引入，都伴随着详尽的抽象化过程，这要求读者必须具备一定的数学抽象能力。我注意到，书中对于一些重要定理的证明，常常会给出不止一种思路的对比，这对于培养多角度看问题的能力非常有益。例如，处理一些组合数学问题时，它会并列讲解生成函数法和容斥原理的应用场景，并分析各自的优劣和适用范围。这种对比分析，极大地提升了教材的学术价值。唯一需要提醒的是，对于基础薄弱的读者，可能需要配合辅导资料或老师的讲解，因为它对“不理解”的容忍度较低，一旦跟不上初始的抽象步伐，后续的理解难度会显著增加。但对于已经有一定基础，渴望系统性、高标准学习的进阶学习者而言，这本书提供的理论广度和深度绝对是无可替代的。

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