具体描述
本书是21世纪初天津市普通高校教学改革项目《信息技术与经济数学课程整合的研究和实践》的成果之一，是《实用线性代数》的姊妹教材，适用于大学本科工、文、管等专业学生，部分内容也适用于高职高专学生线性代数课程的学习。
本书着眼点：帮助学生提高《实用线性代数》课程的学习质量，加强学生“用数学”能力的培养，成为教师教、学生学的得力助手。
本书特色：以知识要点、例题分析为基本框架，结构清晰、叙述简胆。针结不同基础的学生，各章均配有不同要求的思考练习题（A）（B），书中第1—6章与《实用线性代数》的章节同步，第7—9章较全面地介绍了就用软件Mathematica 4.0的功能及其在线性代数中的应用，安排了相关的上机操作练习与线性代数建模实例，有利手学生进一步掌握线性代数的理论与方法，学会运用数学软件与线性代数知识去分析和解决实际问题，第7—9章内容既可以结合《实用线性代数》教学内容同步学习，也可独立安排教学。
在编写过程中，为使所选内容更具代表性、典型性，我们参阅并引用了有关文献的一些例题、习题。
现代控制理论导论：从基础到前沿的系统思维构建 内容提要： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代控制理论框架，涵盖从经典控制理论的稳固基础到先进控制策略的前沿探索。我们聚焦于将抽象的数学模型转化为实际工程问题的解决方案，强调系统思维的培养、严谨的分析方法以及创新性的设计技术。全书结构清晰，内容详实，不仅覆盖了状态空间表示、可控性与可观性分析、现代极点配置与观测器设计等核心模块，还拓展至非线性系统分析、鲁棒控制以及最优控制的基础概念。它面向有志于深入理解和应用复杂动态系统设计的工程师、研究人员和高年级本科生及研究生。 --- 第一部分：巩固基础与向现代方法的过渡 (Chapters 1-3) 第一章：动态系统的数学描述与建模基础 本章首先回顾了经典的微分方程和传递函数模型在描述物理系统（如机械、电路和热力学系统）中的作用。随后，我们系统性地引入了现代控制理论的基石——状态空间表示。我们详细阐述了如何从物理方程推导出标准形式的状态空间模型 $dot{mathbf{x}} = mathbf{A}mathbf{x} + mathbf{B}mathbf{u}$ 和 $mathbf{y} = mathbf{C}mathbf{x} + mathbf{D}mathbf{u}$。重点分析了相似变换对系统内在特性的不影响性，以及如何通过对角化或约旦标准型来简化系统的分析。本章通过多个工程实例（如二阶弹簧-阻尼系统、RLC电路的扩展模型）来巩固理论与实际的联系。 第二章：系统的时间响应与稳定性判据 在建立了状态空间模型后，本章着重分析系统的动态行为。我们推导了离散时间系统和连续时间系统的状态转移矩阵 $mathbf{Phi}(t)$ 或 $mathbf{Phi}(k)$ 的解析解和数值计算方法。时间响应分析部分深入探讨了自由响应、阶跃响应和脉冲响应的特性，并引入了系统暂时特性（如上升时间、超调量、沉降时间）的精确度量。 稳定性是控制系统的生命线。本章将稳定性分析提升到矩阵特征值的层面，详细讨论了李雅普诺夫（Lyapunov）意义下的稳定性定义（一致有界稳定性）。对于线性定常系统，我们阐述了特征值判据（输入矩阵 $mathbf{A}$ 的特征值位于左半平面）。随后，引入了更强大的李雅普诺夫稳定性定理的直接法，为后续分析非线性系统铺平道路。 第三章：系统能控性与能观性分析 能控性（Controllability）和能观性（Observability）是现代控制设计的核心先决条件。本章深入探讨了这两个概念的严格定义，并推导了判定矩阵——卡尔曼能控性矩阵 $mathcal{C}$ 和卡尔曼能观性矩阵 $mathcal{O}$。我们不仅展示了如何使用秩判据来确定系统的全局能控性和能观性，还讨论了在受约束或部分观测条件下（如输入/输出饱和）的局部能控性问题。本章强调了系统结构分析的重要性：一个不完全能控的系统可以通过降阶模型来简化分析，而不完全能观的模式对反馈设计的影响可以通过观测器来弥补。 --- 第二部分：现代控制器的设计与实现 (Chapters 4-6) 第四章：极点配置与状态反馈控制 本章是状态反馈控制设计的核心。基于能控性条件，我们详细阐述了极点配置（Pole Placement）技术，即通过选择合适的状态反馈增益 $mathbf{K}$ 使得闭环系统 $dot{mathbf{x}} = (mathbf{A} - mathbf{BK})mathbf{x}$ 的特征值（即闭环极点）位于期望的位置。我们重点讲解了Ackermann公式（对于单输入系统）和更通用的基变换法（对于多输入系统）的推导和应用。此外，本章还探讨了输出反馈的局限性，并引入了状态反馈的限制——即无法直接测量所有状态变量。 第五章：状态观测器的设计与估计 为了克服状态反馈对完整状态测量的依赖，本章转向状态估计问题。我们首先讨论了能观性在观测器设计中的决定性作用。随后，系统地介绍了基于观测器原理（与极点配置对偶）的全阶观测器（Luenberger Observer）设计。观测器的误差动态 $dot{mathbf{e}} = (mathbf{A} - mathbf{LC})mathbf{e}$ 的稳定性分析被置于核心地位，确保估计误差收敛到零。 本章的高潮在于最小方差无偏估计器——卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的引入。我们从均方误差最小化的角度推导了离散时间卡尔曼滤波器的递推方程，并讨论了其在存在过程噪声和测量噪声时的优越性。连续时间系统的卡尔曼-布奇（Kalman-Bucy）滤波器的原理也被涵盖。 第六章：综合反馈与分离原理 本章将第四章和第五章的成果整合，提出了分离原理（Separation Principle）。我们证明了在线性系统、高斯白噪声和线性二次型（LQR）成本函数下，最优状态估计（卡尔曼滤波器）和最优状态反馈（LQR控制器）的设计可以独立进行，且系统性能不受影响。基于此原理，我们详细设计了带有观测器的状态反馈控制器，即 $mathbf{u} = -mathbf{K}hat{mathbf{x}}$，其中 $hat{mathbf{x}}$ 是由观测器提供的估计值。本章通过仿真实例展示了设计完整闭环系统的流程和鲁棒性验证。 --- 第三部分：高级主题与系统优化 (Chapters 7-9) 第七章：线性二次型（LQR）最优控制 本章超越了传统极点配置的“有/无”约束，引入了最优控制的概念，即在满足系统动态约束的前提下，最小化一个性能指标函数。我们聚焦于线性二次型（LQR）问题：最小化一个包含状态误差平方项和控制输入平方项的二次型成本泛函。本章详细推导了代数黎卡提方程（ARE），并展示了其正定解如何直接导出最优反馈增益 $mathbf{K}^$。LQR的设计强调了在系统性能和控制能量消耗之间的平衡。 第八章：系统输入/输出解耦与前馈控制 对于多输入多输出（MIMO）系统，控制目标往往包括解耦和跟踪。本章首先讨论了动态补偿器设计以实现输入/输出的严格解耦（即使开环系统在经过补偿后表现为对角形式）。我们利用状态反馈和前馈控制的组合来实现对期望轨迹的精确跟踪。本章分析了基于零点和极点的解耦设计限制，特别是对于非最小相位系统的挑战。 第九章：非线性控制导论与鲁棒性初步 鉴于现实世界中许多系统本质上是线性的，本章将视角拓展到非线性领域。我们首先复习了李雅普诺夫稳定性理论在非线性系统中的应用，特别是李雅普诺夫函数的构造和间接法的应用。随后，引入了滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）的基本思想，作为一种处理不确定性和外部扰动的强有力工具。最后，对鲁棒控制的概念进行概述，简要介绍了面对参数不确定性时如何设计具有一定裕度的控制器，为后续更深入的H-无穷或$mu$综合理论研究奠定概念基础。 --- 本书特色： 1. 模型驱动： 每一步设计都紧密围绕系统状态空间模型展开，强调数学严谨性。 2. 工程实践导向： 理论推导后附有详细的工程实例分析和设计步骤总结。 3. 深度覆盖： 既夯实了极点配置、观测器等核心内容，也为高级主题如LQR和非线性控制提供了坚实的过渡。 4. 逻辑递进： 结构设计遵循“建模-分析稳定性-设计控制器-优化性能”的完整控制工程闭环思维。
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