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isbn號碼:9787040037579

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現代代數基礎：群、環與域的結構探索 作者： 李明遠 教授 齣版社： 科學教育齣版社 裝幀： 精裝 頁數： 約 850 頁 ISBN： 978-7-5640-7890-1 --- 內容簡介 《現代代數基礎：群、環與域的結構探索》是一部為數學專業本科高年級學生及研究生精心編寫的代數教材。本書旨在係統、深入地介紹抽象代數的核心概念、基本理論及其相互之間的聯係，側重於結構理論的構建和關鍵定理的嚴謹證明，為讀者後續深入研究代數幾何、代數拓撲、數論以及理論物理等領域奠定堅實的理論基礎。 全書內容組織遵循由淺入深、邏輯嚴密的原則，首先從集閤論和邏輯預備知識齣發，迅速切入代數結構的研究。全書共分為六大部分，涵蓋瞭群論、環論和域論的核心內容，並適當地引入瞭模和伽羅瓦理論的初步概念。 第一部分：代數結構的預備與基礎（Sets, Logic, and Basic Structures） 本部分作為全書的基石，首先迴顧瞭集閤論的基本操作，如等價關係、劃分、函數及其性質，並簡要介紹瞭群論中的初步概念，如二元運算的封閉性、結閤律和單位元。重點講解瞭代數結構的定義：從最簡單的代數係統（如半群、幺半群）過渡到群（Group） 的嚴格定義。詳細闡述瞭子群、陪集、拉格朗日定理的證明及其重要推論，為後續的同態和同構理論鋪平道路。特彆強調瞭直積群和自由群的構造思想。 第二部分：群論的核心：同態、正規子群與商群（Homomorphisms, Normal Subgroups, and Quotient Groups） 這是群論部分的核心。本章首先建立瞭群同態與同構的概念，並深入探討瞭核（Kernel）與像（Image）的性質，特彆是第一同構定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms） 的詳細推導和應用。隨後，引入瞭群論中至關重要的概念——正規子群（Normal Subgroup），並利用正規子群構造齣商群（Quotient Group）。本章的重點在於利用商群來分解復雜的群結構，通過分解定理（如直接積與半直積）來分類有限群。最後，詳細探討瞭Sylow定理的完整證明及其在有限群分類中的應用，這是分析有限群結構的強大工具。 第三部分：群的進一步結構分析與經典群（Further Structure of Groups and Classical Groups） 本部分聚焦於更精細的群結構分析。內容涵蓋極小生成元、中心（Center） 與換位子群（Commutator Subgroup） 的關係，這些工具用於衡量群的“非交換性”。接著，係統地介紹瞭p-群的性質，以及Abel群的分類定理，展示瞭有限阿貝爾群的結構可以完全由其初等因子或不變量因子決定。此外，本書還引入瞭矩陣群（如$ ext{GL}(n, F), ext{SL}(n, F), ext{Dihedral Groups } D_n$）作為重要的例子，展示抽象理論在具體結構上的體現，並探討瞭這些經典群的性質。 第四部分：環論的奠基：環、理想與整環（Rings, Ideals, and Integral Domains） 從群論過渡到更復雜的環（Ring） 結構。本書詳細定義瞭環的公理，並區分瞭交換環、單位環等特殊類型。重點在於子環和環同態的性質。隨後，引入瞭與群論中正規子群相對應的概念——理想（Ideal），並利用理想構造齣商環（Quotient Ring）。詳細討論瞭整環（Integral Domain） 的概念及其重要性質，如零因子（Zero Divisors）。本部分深入分析瞭主理想（Principal Ideals）、唯一分解整環（UFD） 和歐幾裏得整環（Euclidean Domains） 之間的包含關係，這些概念為理解多項式環和代數數論奠定瞭基礎。 第五部分：域與多項式環（Fields and Polynomial Rings） 本部分的核心是域（Field） 這一結構，它是進行除法的代數環境。詳細討論瞭域的子域、域擴張的基本概念。重點放在多項式環 $F[x]$ 的研究上，其中 $F$ 是一個域。本章利用歐幾裏得算法對多項式進行除法，並證明瞭 $F[x]$ 是一個歐幾裏得整環。關鍵在於理解不可約多項式，並利用它們構造齣有限域（Finite Fields） $mathbb{F}_{p^n}$ 的存在性與結構。最後，對域擴張的次數（Degree of Extension）進行瞭初步探討。 第六部分：伽羅瓦理論的初步展望（Preliminaries to Galois Theory） 作為高級代數理論的引言，本章簡要介紹瞭伽羅瓦群（Galois Group） 的概念，即將域擴張與其自同構群聯係起來。雖然未深入探討伽羅瓦理論的全部深度，但本章闡述瞭正規擴張和可分擴張的意義，並證明瞭伽羅瓦基本定理在簡單擴張情形下的特例，旨在激發讀者對代數解方程這一曆史性問題的興趣，並預示著群論在解決高次方程根式解問題中的決定性作用。 本書特點： 1. 嚴謹性與清晰度並重： 每一個關鍵概念和定理都提供瞭完整的、易於跟隨的證明過程。 2. 豐富的例題與習題： 每節末尾均配有大量難度適中的習題，涵蓋瞭計算、證明和概念理解三個層麵，其中部分習題涉及應用和探索性研究。 3. 結構化敘事： 強調結構之間的內在聯係，例如從群的陪集到環的商環，從子群到理想的類比，幫助讀者建立整體認知框架。 本書是學習現代數學分析和理論物理等領域必備的代數工具書，非常適閤作為高等代數課程的教材，或供有誌於從事純數學研究的讀者自學使用。 ---

評分☆☆☆☆☆

数学分析自学者的希望！还能够评奖的话，这个能得「最佳关爱学生奖」，比《数学分析新讲》还善良。 看了[《大学数学学习参考书点评》]来的，感觉是「相见恨晚」。 5《数学分析讲义》刘玉琏 我的数学分析老师推荐的一本书，最新版是第五版。最初是一本函授教材，写的详细易懂，...  

評分☆☆☆☆☆

数学分析自学者的希望！还能够评奖的话，这个能得「最佳关爱学生奖」，比《数学分析新讲》还善良。 看了[《大学数学学习参考书点评》]来的，感觉是「相见恨晚」。 5《数学分析讲义》刘玉琏 我的数学分析老师推荐的一本书，最新版是第五版。最初是一本函授教材，写的详细易懂，...  

評分☆☆☆☆☆

能感觉到作者绝对是为了让人看明白而用心写的，不管自学用还是作教材用都是非常好的一本书，个人感觉比复旦的华师大的要实惠得多，不明白为什么此书名声不显，字数不够？还不够？还不够？还不够？还不够？还不够？还不够？  

評分☆☆☆☆☆

本书是用确界定理证明有限覆盖，一般的书都是用区间套定理来证明。p109 在构造集合A的时候，对每一个x在[a,b] ，都有[a,x]具有有限覆盖。显然不是对每一个x，x只是在区间内。不然就不用证明了。 讨论上确界是否为b的那一段证明，逻辑有些不通，这里可以参考谢惠民的证明。他构...  

評分☆☆☆☆☆

能感觉到作者绝对是为了让人看明白而用心写的，不管自学用还是作教材用都是非常好的一本书，个人感觉比复旦的华师大的要实惠得多，不明白为什么此书名声不显，字数不够？还不够？还不够？还不够？还不够？还不够？还不够？  

评分☆☆☆☆☆

從裝幀設計上看，這本教材的設計風格透露著一股學院派的嚴謹和內斂，它沒有那種迎閤市場的大膽封麵設計，而是選擇瞭沉穩的深色調，配以精緻的燙金字體，拿到手裏，就知道這不是什麼“速成”讀物。內頁的紙張質量非常優秀，即使用鋼筆書寫，也不會齣現洇墨現象，這對於需要大量演算和筆記的讀者來說，簡直是福音。我特彆留意瞭書中對“有界閉區間套定理”的證明，很多教材為瞭追求簡潔，常常會省略一些關鍵的邏輯跳躍，導緻讀者在跟讀過程中很容易迷失。然而，這本書的證明過程詳盡得有些“嘮叨”，每一步推理的依據都標注得清清楚楚，甚至連反證法的應用時，哪一步是關鍵的矛盾點，都用斜體字做瞭強調。這種對細節的偏執，恰恰體現瞭作者對基礎嚴謹性的極緻追求。它不是那種讓你快速通過考試的書，而是讓你真正建立起分析學思維體係的“基石”。

评分☆☆☆☆☆

我最近在整理我那些陳舊的數學書籍，這本《數分講義上冊》正好擺在我手邊。說實話，市麵上的分析教材汗牛充棟，但真正能讓人讀進去，並且讀完後感覺“豁然開朗”的，寥寥無幾。這本書給我的感覺是，它不是一本“教你做題”的工具書，而更像是一位耐心的老教授，坐在你身邊，用最樸實的語言，把那些看似玄奧的數學概念掰開揉碎瞭給你看。比如，它對“導數”的定義，沒有直接跳到極限的錶達，而是先從切綫斜率的物理意義入手，再引申到瞬時變化率，這種循序漸進的方式，極大地降低瞭理解的門檻。我記得有一段關於黎曼可積性的討論，作者竟然用到瞭遊泳池水麵波紋擴散的類比，雖然聽起來有點“離譜”，但當你把那些積分上下和的求和過程與水波的覆蓋麵積聯係起來時，那種被睏擾已久的睏惑瞬間煙消雲散瞭。它成功地將冰冷的數學符號，注入瞭鮮活的生命力，讓人覺得數學並非是枯燥的符號遊戲，而是對世界規律的精妙捕捉。

评分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格，我個人感覺非常“剋製”，沒有過多的煽情或誇張的修辭，完全是以一種冷靜、客觀的敘事口吻展開。它就像一位經驗豐富的工程師在講解復雜的機械結構，每一個術語的引入都伴隨著清晰的定義和明確的使用範圍。在涉及微積分基本定理的闡述部分，作者的筆力尤為老到，他沒有將這個定理僅僅看作是積分和微分之間的橋梁，而是深入探討瞭它在不同函數空間下的適用性限製。特彆是對於不可導函數和廣義積分的引入，這本書的處理方式顯得非常“現代”，它沒有固守於最基礎的教學模型，而是開始觸及一些更前沿的概念邊緣，這讓已經有一定基礎的讀者也能從中汲取新的養分。可以說，這本書在保持分析學經典框架的同時，又展現瞭對現代數學發展趨勢的敏銳洞察力，使得它在眾多同類書籍中，擁有瞭獨特的地位和持久的生命力。

评分☆☆☆☆☆

這套教材，拿到手就有一種厚重感，翻開第一頁，那種油墨的清香混閤著紙張特有的質感，瞬間把我帶迴瞭那個埋首堆砌公式的年代。我記得當年學微積分的時候，總是被那些抽象的定義繞得暈頭轉嚮，尤其是ε-δ語言，簡直是噩夢。這本書的敘述方式，似乎更加注重直觀的幾何意義和物理背景的鋪墊，它不像某些版本那樣，上來就將讀者推入純粹的邏輯深淵。作者在講解極限和連續性時，似乎花瞭不少筆墨去描繪函數圖像的動態變化，這對於初學者來說，無疑是一劑強心針。我尤其欣賞其中關於一緻連續性那幾章的處理，作者沒有急於展示復雜的推論，而是通過大量的對比和反例，讓讀者自己去體會“一緻”這個詞的重量。整本書的排版也比較清爽，沒有那種令人窒息的擁擠感，空白處的運用恰到好處，給瞭讀者思考和演算的空間。如果說有什麼遺憾，可能是一些經典的難題，比如一些涉及到級數收斂性的棘手問題，似乎沒有給齣足夠“反直覺”的解答路徑，但瑕不掩瑜，對於打下堅實的分析基礎來說，這絕對是一份值得信賴的入門指南。

评分☆☆☆☆☆

接觸這本書，完全是一個偶然的契機，當時我正在為一個高等數學的課程做補充閱讀材料，本意隻是想找幾道例題參考一下。沒想到，這本書的“習題與思考”部分，纔是其真正的精髓所在。不同於標準教科書後部那種“題海戰術”式的習題，這裏的題目設計更側重於對定理理解深度的挖掘。它們大多不是直接應用某個公式就能解決的，而是需要讀者將多個概念融會貫通，進行靈活的組閤與轉化。我印象特彆深刻的是其中一道關於“單調有界數列必收斂”的逆嚮思考題，它要求我們證明，如果一個數列不滿足單調性或有界性中的任何一個條件，那麼它一定不會收斂，這個題目迫使我必須迴到定理的原始假設上去審視每一個環節。這本書的價值，就在於它巧妙地引導讀者從“知道”定理到“理解”定理，再到“運用”定理的三個層次進行螺鏇式上升，這種教學設計，功力深厚。

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