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出版者:藍色暢想圖書發行有限公司（高等教育齣版社）

作者:王凱捷 編

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2004-5

價格:17.10元

裝幀:簡裝本

isbn號碼:9787040106343

叢書系列:

圖書標籤:

• 高等數學
• 數學
• 微積分
• 函數
• 極限
• 導數
• 積分
• 解析幾何
• 綫性代數
• 教材

《高等數學（上）：理論、方法與應用》 本書簡介 本書旨在為理工科專業學生係統、深入地講授高等數學的基礎理論、核心方法和廣泛應用。我們力求在保持數學嚴謹性的同時，注重概念的清晰闡述和解題技巧的有效傳授，幫助讀者構建堅實的數學思維框架。 第一部分：函數、極限與連續性 本部分是整個高等數學的基石，為後續微積分的學習奠定理論基礎。 第一章：函數與基本性質 本章詳細介紹瞭函數的概念、定義域、值域以及函數的錶示法（解析法、圖形法、列錶法）。重點探討瞭函數的幾種重要性質：單調性、奇偶性、周期性以及有界性。我們引入瞭復閤函數和反函數的概念，並對初等函數進行瞭詳盡的分析，包括冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及其反函數的圖像特徵與性質。特彆關注瞭函數圖形的變換技巧，如平移、伸縮、反射等，這些對於理解復雜函數行為至關重要。 第二章：數列的極限 數列極限是理解函數極限的關鍵過渡。本章從直觀概念入手，嚴格定義瞭數列極限的$epsilon-N$語言，並利用極限的四則運算法則、夾逼定理、單調有界定理等工具計算數列的極限。我們深入分析瞭重要極限 $lim_{n oinfty}(1+1/n)^n = e$ 的推導及其在實際問題中的應用。此外，本章還討論瞭無窮小和無窮大，並比較瞭它們之間的階數關係。 第三章：函數的極限 本章將極限的概念推廣到函數。我們對左極限和右極限進行瞭嚴格定義，並闡明瞭函數極限存在的充要條件。極限的四則運算規則在本章得到瞭充分的展示和應用。除瞭直覺理解外，我們著重講解瞭利用等價無窮小代換法和洛必達法則來簡化復雜極限的計算，這兩種方法是微積分計算中的核心工具。 第四章：函數的連續性 連續性是函數性質中承上啓下的環節。本章從點態連續性齣發，定義瞭函數在區間上的連續性，並討論瞭函數不連續的類型（可去、跳躍、無窮間斷點）。我們詳細闡述瞭閉區間上連續函數的兩大重要性質：有界性與最值定理，以及介值定理。這些定理在證明存在性問題時具有不可替代的作用。 第二部分：導數與微分 本部分是微積分的核心，處理瞬時變化率的概念。 第五章：導數的概念與計算 導數被定義為變化率的極限。本章首先從幾何意義（切綫斜率）和物理意義（瞬時速度）引入導數。接著，係統地推導瞭基本初等函數的導數公式，並詳細闡述瞭導數的四則運算法則、復閤函數的求導法則（鏈式法則）和隱函數求導法。我們引入瞭高階導數的概念，並對參數方程和極坐標方程下函數的求導進行瞭專題討論。 第六章：微分的概念與應用 本章將導數推廣到微分的概念。我們闡明瞭微分$dy$與自變量微分$dx$的關係，並解釋瞭微分在近似計算中的應用。重點在於理解微分$dy$是函數增量$Delta y$的綫性近似。 第七章：中值定理與導數的應用 本章是理論和應用結閤最緊密的部分。我們嚴格證明瞭羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，並展示瞭它們在函數性質分析中的關鍵作用。接著，利用導數研究函數的單調性、極值和凹凸性，並描繪函數的完整圖像。最後，我們將導數應用於解決優化問題（如求最大值、最小值）和物理、工程中的相關變化率問題。 第三部分：不定積分 本部分引入反嚮運算，為求解麵積、體積等問題做準備。 第八章：不定積分的概念與基本方法 不定積分是導數的逆運算。本章首先定義瞭原函數和不定積分，並闡述瞭不定積分的綫性性質。接下來的重點是係統介紹不定積分的求解技巧： 1. 直接積分法： 利用基本積分公式。 2. 換元積分法（第一、第二類）： 處理復閤函數和根式、三角函數形式的積分。 3. 分部積分法： 處理乘積形式的積分，強調選擇閤適的部分進行分解。 第九章：有理函數與三角函數的積分 本章專門處理兩類常見但復雜的積分形式。 1. 有理函數的積分： 詳細講解瞭多項式除法、因式分解和部分分式分解法，這是求解任意有理函數積分的關鍵步驟。 2. 三角函數的積分： 針對不同形式的三角函數（如三角函數的冪的積分、三角函數中帶有根式的積分），介紹相應的萬能代換法或特殊技巧。 第四部分：定積分 本部分是微積分的另一核心，用於求解纍積效應。 第十章：定積分的概念與計算 本章從幾何上引入定積分——麯邊梯形的麵積。通過黎曼和的極限過程嚴格定義瞭定積分。隨後，我們闡述瞭定積分的基本性質，如區間可加性、保號性等。最重要的是，本章介紹瞭微積分學的基本定理（牛頓-萊布尼茨公式），它將定積分的計算與不定積分聯係起來，極大地簡化瞭計算過程。 第十一章：定積分的應用 定積分的應用非常廣泛，本章將集中展示其在幾何和工程中的強大能力： 1. 麵積的計算： 計算平麵圖形的麵積，包括兩麯綫之間的麵積。 2. 體積的計算： 鏇轉體的體積（圓盤法、圓環法、切片法）。 3. 弧長和麯麵麵積的計算： 利用定積分求齣麯綫的長度和由麯綫鏇轉形成的麯麵的麵積。 4. 物理應用： 如計算功、質心、轉動慣量等。 本書特色： 1. 理論與實踐並重： 每個定理的陳述後都緊跟一個或多個應用實例，展示如何將抽象理論轉化為具體的計算步驟。 2. 詳細的解題步驟： 在復雜的計算題中，我們提供瞭詳盡的、邏輯清晰的中間步驟，便於讀者追蹤思維路徑。 3. 強調概念理解： 不僅僅關注“如何算”，更注重“為什麼這麼算”，深入挖掘極限、導數、積分背後的直觀幾何意義。 4. 豐富的習題體係： 每章末尾設有基礎練習、綜閤應用題和思考題，以鞏固所學知識點，並培養解決復雜問題的能力。 本書內容全麵，覆蓋瞭當前大學高等數學課程（上冊）的全部核心教學要求，是理工科學生學習微積分的理想教材和重要參考資料。

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這本書的價值在於它的“體係感”。它不像一些零散的輔導資料那樣，東一榔頭西一棒子地講解知識點，而是非常注重知識體係的構建和知識點之間的內在聯係。作者似乎非常擅長用宏觀的視角去組織內容，使得從實數係到拓撲空間的初步概念，乃至後續的微積分，都像是按照一條清晰的脈絡自然生長齣來的。例如，在引入定積分的概念時，它會先迴顧黎曼和的定義，然後巧妙地將其與前麵對數列極限的學習聯係起來，這種承上啓下的寫法，讓知識的吸收變得非常順暢。不過，我必須指齣，這本書的“作者視角”過於強烈，顯得有些封閉。它很少引用其他數學傢的貢獻或者不同學派的觀點，導緻閱讀過程中缺乏瞭一種“對話感”。如果能在重要的定理旁邊，簡要地介紹一下這個工具的曆史背景或提齣者的思想，相信能讓這本書更具人文色彩和曆史厚重感，而不僅僅是一本純粹的公式手冊。

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讀完這本教材，最大的感受是“透徹”，但這種透徹帶著一絲學究式的冷峻。它似乎默認讀者已經具備瞭紮實的代數基礎，對初等函數的性質瞭如指掌，開篇就直接切入瞭高等數學的核心——函數與極限。對於那些期待那種“生活中的數學”或者“趣味解析”的讀者，這本書可能不太友好。它更像是一位嚴厲的導師，要求你必須用最精確的數學語言進行思考和錶達。書中對嚮量空間、綫性變換這些更偏嚮於抽象代數的概念，處理得非常乾淨利落，每一個定義和定理的證明都力求簡潔和完備，沒有一絲多餘的修飾。我個人認為，對於理工科背景較強的學生來說，這本書無疑是極佳的工具書，它能幫你快速構建起堅固的知識框架。但對於那些想通過它來培養數學興趣的文科生或者跨專業人士，我得說，你可能需要準備一本配套的“通俗導讀”來輔助理解。尤其是涉及到多變量微積分時，從三維到高維的直觀想象難度陡增，這本書提供的圖形輔助相對有限，全靠文字和符號的推演，閱讀體驗相對枯燥，但其嚴謹性無可指摘。

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這本書的排版設計實在讓人捏一把汗。字體選擇偏小，行間距也比較緊湊，當你麵對一整頁密密麻拉的積分符號、偏導數符號和希臘字母時，眼睛真的會感到疲勞。我常常需要藉助放大鏡或者在電腦上把掃描件放大纔能看清一些上下標的細微差彆。不過，從內容的深度和廣度來看，它確實覆蓋得非常全麵。從基礎的微積分到後期的傅裏葉級數和拉普拉斯變換的初步介紹，幾乎涵蓋瞭傳統高等數學課程的所有知識點。我尤其欣賞它在復變函數部分的處理，雖然篇幅不算長，但對柯西積分公式的推導講解得非常細緻，每一步的邏輯銜接都清晰可見，不像有些教材直接跳躍到結論。唯一的遺憾是，例題的解析部分略顯簡略，很多經典難題隻有答案而沒有詳細的解題步驟，這對於我們自學者來說，是一個不小的障礙。我不得不花大量時間在網絡上尋找相似例題的解法來印證書中的結論，這無疑打斷瞭學習的連貫性。

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這本書的封麵設計得非常大氣，那種深沉的墨綠色配上燙金的字體，一下子就給人一種嚴肅而權威的感覺，讓人覺得這絕對不是一本可以輕易翻閱的“入門讀物”。我當初抱著“挑戰自我”的心態把它帶迴傢的，結果翻開第一頁，那密密麻麻的公式和嚴謹的邏輯推導，差點把我勸退。不過，一旦沉下心來，你會發現作者在基礎概念的闡述上簡直是教科書級彆的典範。比如對於極限的定義，他沒有采用那種過於抽象的$epsilon-delta$語言的堆砌，而是通過一係列精心構造的例子，循序漸進地引導讀者去理解那個“無限逼近”背後的精確含義。我特彆喜歡它對微積分基本定理的幾何解釋，那種將麵積和變化率完美結閤的敘述方式，讓原本覺得枯燥的理論煥發齣瞭生命力，感覺自己真的觸摸到瞭數學的精髓。唯一美中不足的是，習題的難度跨度有點大，前麵幾章的練習題相對基礎，但到瞭級數收斂性那部分，很多題目需要綜閤運用好幾條定理，對於初學者來說，確實需要多花些時間去消化和反復琢磨。總而言之，這是一本需要耐心啃讀，但絕對能讓你對數學産生敬畏之心的好書。

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這本書的編纂風格，體現齣一種明顯的“重理論，輕應用”的傾嚮。它更像是為培養未來的數學研究者而設計的教材，而非麵嚮工程師或應用科學傢的工具書。比如，在講解微分方程時，它花瞭大量篇幅討論解的存在性和唯一性定理的證明，這些理論深度固然令人敬佩，但在實際應用中如何快速求解一個具體的物理模型方程時，書中的指導就顯得有些不足。我希望作者能在關鍵的應用點上，多增加一些貼近實際工程問題的實例分析，哪怕隻是一個簡短的案例引入，都能極大地提升讀者的學習興趣和代入感。舉個例子，在討論優化問題時，如果能穿插一個簡潔的經濟學模型或者物理學問題來展示拉格朗日乘數法的威力，而不是僅僅停留在代數形式的求解上，那學習體驗會提升一個檔次。盡管如此，它在理論推導上的精準性是毋庸置疑的，它讓你明白“為什麼”會這樣，而非僅僅告訴你“怎麼做”。

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