高等工程数学(第5版)(上册)(影印版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

《线性代数与矩阵理论导论》 作者： 史蒂文·H·特罗斯、特伦斯·D·莱昂斯 译者： 王建华、李明 出版信息： 机械工业出版社，2023年 ISBN： 978-7-111-75621-3 --- 内容简介 本书是为数学、物理学、工程学、计算机科学以及经济学等领域的本科生和研究生量身打造的一部深入浅出的线性代数与矩阵理论教材。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在帮助读者建立扎实的理论基础，并掌握应用现代线性代数工具解决实际问题的能力。内容覆盖了从基础概念到前沿理论的广阔范围，注重理论推导的严密性与计算方法的实用性相结合。 第一部分：基础概念与向量空间（奠定基石） 本书的开篇部分聚焦于线性代数最核心的结构——向量空间。不同于仅停留在 $mathbb{R}^n$ 上的传统介绍，本书一开始就将概念提升到抽象的向量空间层面，使读者能理解线性代数的普适性。 第1章：场、向量与线性组合。 详述数域（如实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$）的性质，随后引入向量的定义，并系统地探讨了线性组合、生成（张成）的概念。本章强调了线性代数的代数本质，而非仅仅是几何直观。 第2章：线性无关性、基与维数。 线性无关性的判断是区分线性空间结构的关键。本章详细阐述了如何利用行阶梯形（Row Echelon Form, REF）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）来确定向量组的线性相关性，并在此基础上定义了基（Basis）和向量空间的维数（Dimension）。讨论了维数定理及其在子空间之间的应用。 第3章：线性映射与矩阵表示。 线性映射是连接不同向量空间的桥梁。本章深入讲解了线性变换的性质，如核空间（Kernel）和像空间（Image）。重点在于如何选取不同的基，构建出同一个线性映射在不同坐标系下的矩阵表示，并推导了相似变换的原理。 第4章：行列式理论。 行列式的代数定义及其几何意义（有向体积的缩放因子）得到了全面的阐述。本章详细讨论了行列式的多重线性、交错性，并推导了代数余子式和伴随矩阵的计算方法，为后续求解线性方程组和特征值问题做好了准备。 第二部分：线性方程组与计算方法（实践核心） 本部分着重于线性方程组的求解算法及其背后的矩阵分解技术，这是工程计算中最常用的工具。 第5章：高斯消元法与LU分解。 详细介绍了高斯消元法求解线性方程组的过程，并将其抽象为矩阵的初等行变换。随后，系统性地推导了LU分解（以及LUP分解），分析了其在求解大量具有相同系数矩阵的方程组时的效率优势。 第6章：矩阵的秩与线性方程组的解结构。 基于行阶梯形，本章严格定义了矩阵的秩，并运用秩定理（Rank-Nullity Theorem）来全面分析非齐次线性方程组的解集结构，包括特解和通解的构造。 第7章：矩阵分解技术（QR与Cholesky）。 除了LU分解，本章引入了更具数值稳定性的矩阵分解方法。QR分解的介绍侧重于最小二乘问题的求解，并简要提及了Gram-Schmidt正交化过程。对于正定矩阵，Cholesky分解作为一种高效的求解方法被单独讨论。 第三部分：特征值问题与相似性（结构分析） 特征值和特征向量是理解线性变换本质和系统稳定性分析的关键。 第8章：特征值与特征向量。 定义了特征方程，探讨了特征值和特征向量的代数重数和几何重数。本章强调了特征值在动力学分析和稳定性判断中的重要作用。 第9章：对角化与Jordan标准型。 本章的核心是判断一个矩阵是否可以对角化，以及如何进行相似对角化。对于不可对角化的情形，系统地引入了Jordan块和Jordan标准型（Jordan Canonical Form, JCF），并证明了JCF的唯一性，为深入分析线性动力系统提供了工具。 第10章：实对称矩阵与正交对角化。 特别关注实对称矩阵，证明了其特征值均为实数，且存在正交基由其特征向量构成。这直接引出了二次型的概念及其正交变换下的简化形式。 第四部分：内积空间与泛函分析基础（深入与推广） 本部分将线性代数的概念推广到更广阔的函数空间和度量空间，为学习泛函分析打下坚实基础。 第11章：内积空间与正交性。 引入内积（Inner Product）的概念，推广了向量的“长度”和“夹角”。重点讨论了正交基、正交投影定理，以及最小二乘解的几何解释。 第12章：二次型与正定性。 详细分析了二次型在不同坐标系下的表示，以及如何通过特征值或主轴定理来判断二次型的正定性、半正定性，这在优化理论中至关重要。 第13章：奇异值分解（SVD）。 SVD被誉为矩阵分解的“瑞士军刀”。本章详细介绍了奇异值分解的构造过程、几何意义，及其在数据压缩、主成分分析（PCA）和伪逆矩阵计算中的应用。强调SVD在处理病态矩阵和非方阵问题时的优越性。 第五部分：应用与迭代方法（面向计算） 最后一部分关注现代计算科学中常用的迭代求解方法。 第14章：范数与收敛性。 向量范数与矩阵范数的定义、性质及相互关系。引入矩阵序列的收敛性概念，为迭代算法的稳定性分析做准备。 第15章：矩阵的函数与幂级数。 基于矩阵指数的定义，讨论了矩阵函数的计算方法，并探讨了其在求解线性常微分方程初值问题中的应用。 第16章：迭代求解方法简介。 简要介绍了解大型稀疏线性系统常用的迭代方法，如雅可比（Jacobi）迭代和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代，并分析了其收敛条件。 --- 本书特色 1. 理论深度与广度兼备： 从抽象的向量空间出发，逐步过渡到具体的矩阵分解和数值方法，确保读者不仅知道“如何做”，更理解“为何如此”。 2. 强调几何直觉与代数严谨的统一： 许多定理（如秩-零化度定理、正交分解）都配有详尽的几何解释，以加深理解。 3. 丰富的例题与习题： 每章包含大量精选的例题，用于演示关键算法；课后习题难度分层，从基础运算到证明题，覆盖面广。 4. 面向应用导向： 重点突出了SVD、QR分解在数据科学和工程优化中的核心地位，使学习成果更具即时应用价值。 5. 清晰的逻辑脉络： 章节之间衔接自然，例如，行列式理论为解空间的分析提供了工具，而特征值理论则为矩阵的对角化铺平了道路。 本书适合作为理工科高年级本科生和全体研究生的核心教材，也可作为相关领域研究人员的参考手册。通过学习本书，读者将能熟练运用线性代数语言精确描述和解决复杂的科学与工程问题。