具体描述
This book aims to fill the need for a comprehensive treatise on geo-metric measure theory. It contains a detailed exposition leading from the foundations of the theory to the most recent discoveries, including many results not previously published. It is intended both as a reference book for mature mathematicians and as a textbook for able students. The material of Chapter 2 can be covered in a first year graduate course on real analysis. Study of the later chapters is suitable preparation for re-search. Some knowledge of elementary set theory, topology, linear algebra and commutative ring theory is prerequisite for reading this book, but the treatment is selfcontained with regard to all those topics in multilinear algebra, analysis, differential geometry and algebraic topology which occur.
本书为英文版。
作者简介
Herbert Federer was born on July 23, 1920, in Vienna. After emigrating to the US in 1938, he studied mathematics and physics at the University of California, Berkeley. Affiliated to Brown University, Providence since 1945, he is now Professor Emeritus there.
The major part of Professor Federer's scientific effort has been directed to the development of the subject of Geometric Measure Theory, with its roots and applications in classical geometry and analysis, yet in the functorial spirit of modern topology and algebra. His work includes more than thirty research papers published between 1943 and 1986, as well as this book.
目录信息
chapter one
grassmann algebra
1.1. tensor products
1.2. graded algebras
1.3. the exterior algebra of a vectorspace
1.4. alternating forms and duality
1.5. interior multiplications
1.6. simple m-vectors
1.7. inner products
1.8. mass and comass
1.9. the symmetric algebra of a vectorspace
1.10. symmetric forms and polynomial functions
chapter two
general measure theory
2.1. measures and measurable sets
2.1.1. numerical summation
2.1.2.-3. measurable sets
2.1.4.-5. measure hulls
2.1.6. ulam numbers
.2.2 borel and suslin sets
2.2.1. borel families
2.2.2. -3. approximation lay closed subsets
2.2.4. -5. nonmeasurable sets
2.2.5. radon measures
2.2.6. the space of sequences of positive integers
2.2.7. -9. lipschitzian maps
2.2.10.-13. suslin sets
2.2.14.-15. borel and baire functions
2.2.16. separability of supports
2.2.17. images of radon measures
2.3 measurable functions
2.3.1.-2. basic properties
2.3.3.-7. approximation theorems
2.3.8.-10. spaces of measurable functions
2.4. lebesgue integration
2.4.1.-5. basic properties
2.4.6.-9. limit theorems
2.4.10.-11. integrals over subsets
2.4.12.-17. lebesgue spaces
2.4.18. compositions and image measures
2.4.19. jensen's inequality
2.5. linear functionals
2.5.1. lattices of functions
2.5.2.-6. daniell integrals
2.5.7.-12. linear functionals on lebesgue spaces
2.5.13.-15. riesz's representation theorem
2.5.16. curve length
2.5.17.-18. riemann-stieltjes integration
2.5.19. spaces of daniell integrals
2.5.20. decomposition of daniell integrals
2.6. product measures
2.6.1.-4. fubini's theorem
2.6.5. lebesgue measure
2.6.6. infinite cartesian products
2.6.7. integration by parts
2.7. invariant measures
2.7.1.-3. definitions
2.7.4. -13. existence and uniqueness of invariant integrals
2.7.14.-15. covariant measures are radon measures
2.7.16. examples
2.7.17. nonmeasurable sets
2.7.18. l1 continuity of group actions
2.8. covering theorems
2.8.1.-3. adequate families
2.8.4. -8. coverings with enlargement
2.8.9.-15. centered ball coverings
2.8.16.-20. vitali relations
2.9. derivates
2.9.1.-5. existence of derivates
2.9.6.-10. indefinite integrals
2.9.11.-13. density and approximate continuity
2.9.14.-18. additional results on derivation using centered balls
2.9.19.-25. derivatives of curves with finite length
2.10. carathdeodory's construction .
2.10.1. the general construction
2.10.2.-6. the measures
2.10.7. relation to riemann-stieltjes integration
2.10.8.-11. partitions and multiplicity integrals
2.10.12.-14. curve length
2.10.15.-16. integralgeometric measures
2.10.17.-19. densities
2.10.20. remarks on approximating measures
2.10.21. spaces of lipschitzian functions and closed subsets
2.10.22.-23. approximating measures of increasing sequences
2.10.24. direct construction of the upper integral
2.10.25.-27. integrals of measures of counterimages
2.10.28.-29. sets of cantor type
2.10.30.-31. steiner symmetrization
2.10.32.-42. inequalities between basic measures
2.10.43.-44. lipschitzian extension of functions
2.10.45.-46. cartesian products
2.10.47.-48. subsets of finite hausctorll measure
chapter three
rectifiability
3.1 differentials and tangents
3.1.1.-10. differentiation and approximate differentiation
3.1.11. higher differentials
3.1.12.-13. partitions of unity
3.1.14.-17. differentiable extension of functions
3.1.18. factorization of maps near generic points
3.1.19.-20. submanifolds of euclidean space
3.1.21. tangent vectors
3.1.22. relative differentiation
31.1.23. local flattening of a submanifold
3t.l.24. analytic functions
3.2 area and coarea of lipschitzian maps
3.2.1. jacobians
3.2.2. -7. area of maps of euclidean spaces
3.2.8.-12. coarea of maps of euclidean spaces
3.2.13. applications; euler's function f
3.2.14.-15. rectifiable sets
3.2.16.-19. approximate tangent vectors and differentials
3.2.20.-22. area and coarea of maps of rectifiable sets
12.23.-24. cartesian products
3.2.25.-26. equality of measures of rectifiable sets
.1.2.27. areas of projections of rectifiable sets
37.28. examples
3.2.29. rectifiable sets and manifolds of class 1
3.2.30.-33. further results on coarea
3.2.34.-40. steiner's formula and minkowski content
3.2.41.-44. brunn-minkowski theorem
3.2.45. relations between the measures
3.2.46. hausdorff measures in riemannian manifolds
3.2.47.-49. integralgeometry on spheres
3.3 structure theory
3.3.1.-4. tangential properties of arbitrary suslin sets
3.3.5-18. rectifiability and projections
3.3.19.-21. examples of unrectifiable sets
1.3.22. rectifiability and density
3.4. some properties of highly differentiable functions
3.4.1.-4. measures off{x: dim im df(x)[v}
3.4.5.-12. analytic varieties
chapter four
homological integration theory
4.1. differential forms and currents
4.1.1. distributions
4.1.2.-4. regularization
4.1.5. distributions representable by integration
4.1.6. differential forms and m-vectorfields
4.1.7. currents
4.1.8. cartesian products
4.1.9.-10. homotopies
4.1.11. joins, oriented simplexes
4.1.12.-19. flat chains
4.1.20.-21. relation to integralgeometry measure
4.1.22.-23. polyhedral chains and flat approximation
4.1.24.-28. rectifiable currents
4.1.29. lipschitz neighborhood retracts
4.1.30. transformation formula
4.1.31. oriented submanifolds
4.1.32. projective maps and polyhedral chains
4.1.33. duality formulae
4.1.34. lie product of vectorfields
4.2. deformations and compactness
4.2.1. slicing normal currents by real valued functions
4.2.2. maps with singularities
4.2.3. -6. cubical subdivisions
4.2.7.-9. deformation theorem
4.2.10. isoperimetric inequality
4.2.11.-14. flat chains and integralgeometric measure
4.2.15.-16. closure theorem
4.2.17.-18. compactness theorem
4.2.19.-24. approximation by polyhedral chains
4.2.25. indecomposable integral currents.
4.2.26. flat chains modulo v
4.2.27. locally rectifiable currents
4.2.28.-29. analytic chains
4.3. slicing
4.3.1.-8. slicing flat chains by maps into rn
4.3.9.-12. homotopies, continuity of slices
4.3.13. slicing by maps into manifolds
4.3.14. oriented cones
4.3.15. oriented cylinders
4.3.16.-19. oriented tangent cones
4.3.20. intersections of flat chains
4.4. homology groups
4.4.1. homology theory with coefficient group z
4.4.2.-3. isoperimetric inequalities
4.4.4. compactness properties of homology classes
4.4.5.-6. homology theories with coefficient groups r and z
4.4.7. two simple examples
4.4.8. homotopy groups of cycle groups
4.4.9. cohomology groups
4.5 normal currents of dimension )/in rn
4.5.1.-4. sets with locally finite perimeter
4.5.5. exterior normals
4.5.6. gauss-green theorem
4.5.7.-10. functions corresponding to locally normal currents
4.5.11.-12. densities and locally finite perimeter
4.5.13.-17. examples and applications
chapter five
applications to the calculus of variations
5.1 integrands and minimizing currents
5.1.1. parametric integrands and integrals
5.1.2 ellipticity of parametric integrands
5.1.3. convexity, parametric legendre condition
5.1.4. diffeomorphic invariance of ellipticity
5.1.5 lowersemicontinuity of the integral
5.1.6 minimizing currents
5.4.7.-8 isotopic deformations, variations
5.1.9 nonparametric integrands
5.1.10 nonparametric legendre condition
5.1.11 euler-lagrange formulae
5.2 regularity of solutions of certain differential equations
5.2.1.-2. la and h6tder conditions
5.2.3. strongly elliptic systems
5.2.4. sobolev's inequality
5.2.5.-6. generalized harmonic functions
5.2.7.-10. convolutions with essentially homogeneous functions
5.2.11.-13. elementary solutions
5.2.14. hflder estimate for linear systems
5.2.15.-18. nonparametric variational problems
5.2.19. maxima of real valued solutions
5.2.20 one dimensional variational problems and smoothness
5.3.1.-6. estimates involving excess
5.3.7. a limiting process
5.3.8-13. the decrease of excess
5.3.14.-17. regularity of minimizing currents
5.3.18.-19. minimizing currents of dimension m in rm+1
5.3.20. minimizing currents of dimension i in rn
5.3.21. minimizing flat chains modulo v
5.4 further results on area minimizing currents
5.4.1. terminology
5.4.2. weak convergence of variation measures
5.4.3.-5. density ratios and tangent cones
5.4.6.-7. regularity of area minimizing currents
5.4.8.-9. cartesian products
5.4.10.-14. study of cones by differential geometry
5.4.15.-16. currents of dimension tn in rm+l
5.4.17. lack of uniqueness and symmetry
5.4.18. non parametric surfaces, bernstein's theorem
5.4.19. holomorphic varieties
5.4.20. boundary regularity
bibliography
glossary of some standard notations
list of basic notations defined in the text
index
· · · · · · (收起)
读后感
评分
评分
评分
评分
用户评价
这本书带给我的，不仅仅是知识的增长，更是一种数学思维的洗礼。它迫使我从一个更抽象、更一般化的角度去审视那些我们熟悉的几何概念。我记得我花了整整一个下午去消化“σ-代数”的定义，以及它在测度理论中的关键作用。理解了σ-代数，就如同掌握了构建可测空间的“骨架”。这种严谨的构造过程，让我体会到数学体系的精妙之处，每一个定义都并非随意，而是为了支撑起一个更宏大、更一致的理论。书中对“测度空间”的定义，将集合、σ-代数和测度函数这三个要素巧妙地结合在一起，形成了一个完备的数学框架。这让我开始思考，我们日常所说的“空间”，是否也能够被纳入到这样的框架之下？书中的例子，从欧几里得空间到更抽象的空间，都展示了测度理论的强大生命力。我尤其被书中关于“不可测集”的讨论所吸引，这似乎触及了数学中最深刻的哲学问题之一：在某些情况下，我们是否能够“测量”一切？这本书没有给出简单的答案，而是引导我一步步深入思考。这种开放性的讨论，让我对数学的边界和可能性有了更深的敬畏。
评分从一开始，我就被这本书的气场深深吸引。它不像市面上很多数学科普读物那样，试图用生动形象的比喻来“喂饱”读者，而是直接将你置于一个严谨的数学框架之中，让你自己去感受、去挖掘。这本书的精髓，在于它对“测度”这一概念的深度阐释，以及它如何与几何学相辅相成。我尤其欣赏作者在引入勒贝格测度时的那种循序渐进，从我们熟悉的长度、面积这些直观概念出发，逐步构建起一个更具普适性的测度理论。这不仅仅是概念的替换，更是一种思维方式的转变，它让我认识到，数学工具的强大之处，在于其能够处理那些我们用直觉难以想象的复杂情况，比如不可数集合的“大小”问题。书中的例子和习题，虽然需要花费不少时间和精力去攻克，但每一次的成功都带来了巨大的满足感。它们不仅仅是知识的检验，更是能力的提升。我开始思考，如果我们将数学的目光投向更抽象的空间，比如度量空间、拓扑空间，那么测度理论将扮演怎样的角色？这本书为我打开了这扇门，让我看到了数学王国中那些未被充分探索的疆域。它的深度和广度，都远远超出了我之前的预期，让我认识到，几何测度论不仅仅是几何学的一个分支，它更是连接了分析学、拓扑学等多个重要数学领域的核心桥梁。
评分这本书，哦，我得说，它的封面设计就带着一种独特的质感，一种让我还没翻开就能感受到其厚重与深邃的预感。我一直对那些能够将抽象概念具象化，或者说，用一种严谨的数学语言去描述我们对空间、集合、大小等基本概念的理解的书籍非常着迷。几何测度论，这个名字本身就充满了引力，它似乎预示着一种探索，一种通过测量和定义的工具，去解析几何世界背后更深层次的规律。我翻开第一页，那清晰的排版、严谨的符号，立刻就将我带入了一个全新的思考领域。它不是那种可以随手翻阅的小品，它需要你沉下心来，去理解每一个定义，去推敲每一个定理的证明。我喜欢那种挑战，那种需要我调动我所有的数学知识和逻辑思维去跟上作者思路的感觉。当我读到关于测度空间的部分时，我开始意识到，原来我们熟悉的“长度”、“面积”、“体积”这些概念，在更广阔的数学视野下，可以被如此一般化和抽象化，并且在不同的数学分支中找到它们深刻的联系。这种“一般化”的能力，恰恰是数学最迷人的地方之一，它让我们能够跨越具体的几何形状，去捕捉那些更普适、更本质的数学真理。我还在努力理解一些更高级的概念，比如可测函数和积分，但每一次的思考和顿悟，都让我对数学的敬畏之心更增一分。这本书无疑是为那些对数学有深刻追求的读者准备的，它提供了一个宏大的视角，让我得以窥见数学的边界，并思考我们如何用逻辑的语言构建出我们所理解的世界。
评分这本书的书写风格，我得说，非常有特色。它不像许多数学书籍那样，上来就抛出大量的定义和定理，而是非常注重引导读者一步步进入数学的殿堂。作者在开篇就对“测度”这一核心概念进行了深入浅出的剖析，从直观的几何概念出发，逐步引向更抽象的数学形式。我最喜欢的部分是书中关于“可测集”的讨论，以及它们如何形成一个“σ-代数”。这个过程让我深刻体会到数学的逻辑严谨性，每一个看似微小的定义，都构成了整个理论的基石。当我读到关于“测度”本身的性质，比如单调性、可加性、σ-可加性时，我开始感受到测度理论的普适性。它不仅仅适用于欧几里得空间中的长度、面积，更可以推广到各种抽象的集合和空间上。书中提供的例子，也让这些抽象的概念变得更加生动。例如，它会将概率论中的概率概念也纳入到测度理论的框架下进行解释，让我看到了不同数学分支之间的内在联系。我还在努力理解书中关于“积分”的部分，特别是勒贝格积分的概念。我知道，这部分是本书的核心和难点之一，但作者的讲解方式，让我虽然感到挑战，但并不觉得绝望。它让我看到了，数学工具是如何随着理论的深入而不断发展和完善的。
评分这本《几何测度论》，对我来说，是一场关于“精确”和“普遍”的探索之旅。它不是那种读完后能立刻让你“会做题”的书，它更多的是一种潜移默化的影响，一种对数学本质的深刻洞察。我花了很长时间去理解“测度”这个概念是如何从我们熟悉的“长度”、“面积”等概念发展而来，并最终形成了一个普适的框架。书中对测度的构造过程，比如外测度、Carathéodory扩展定理，都让我看到了数学家们是如何通过严谨的逻辑和创造性的思维，去填补数学的空白。我尤其欣赏作者在引入各种类型的测度（如Haar测度、Borel测度）时，那种将抽象理论与具体应用相结合的方式。这让我明白，测度理论并非脱离实际的空中楼阁，而是具有强大的生命力和应用价值。当我读到关于“可测函数”和“勒贝格积分”的部分时，我才真正体会到测度论的威力。它为我们提供了一种处理比黎曼积分更广泛的函数的工具，而且在许多重要的数学定理中都扮演着核心角色。这本书的深度和挑战性，让我不得不放慢阅读的节奏，反复思考，甚至需要借助其他资料来辅助理解。但每一次的突破，都让我对数学的理解更上一层楼。
评分从拿到这本书的那一刻起，我就被它那股严谨的气质所折服。它不像许多科普读物那样，试图用生动有趣的故事来吸引读者，而是直接将你带入一个充满数学符号和公式的世界。我喜欢这种直截了当的方式，它让我能够更纯粹地去感受数学的逻辑之美。书中对“测度”的定义，是我一直以来非常感兴趣的课题。作者从直观的几何概念出发，逐步引向更抽象的定义，这个过程让我深刻体会到数学的抽象化和一般化能力。特别是关于“σ-代数”的引入，它为我揭示了在定义测度之前，我们必须先建立一个“可测集”的框架，而σ-代数正是这个框架的核心。我花了相当长的时间去理解“测度空间”的定义，将集合、σ-代数和测度函数这三个要素结合起来，形成了一个完备的数学结构。这本书中的例子，从最简单的欧几里得空间到更一般的度量空间，都展示了测度理论的普适性。我尤其被书中关于“积分”的部分所吸引，尤其是勒贝格积分的概念。我知道，勒贝格积分是现代数学分析的基石之一，而测度论正是其理论基础。虽然我还在努力消化其中的一些复杂证明，但我能感受到，它为我打开了一个全新的数学视野。
评分阅读这本书的过程，就像是在进行一场精密的数学实验，每一步都力求准确无误。它最吸引我的地方在于，它不仅仅是关于“度量”的理论，更是关于“什么是可测量的”以及“如何去测量”的深刻思考。作者在介绍“测度”这一概念时，非常注重从直观的几何概念出发，比如长度、面积，然后逐步抽象化，形成一套普遍适用的数学语言。我尤其喜欢书中关于“σ-代数”的讲解，它让我明白了为什么在定义测度之前，我们需要先引入“可测集”的概念，以及σ-代数是如何保证集合运算的完备性和一致性的。这种对基础概念的极致挖掘，让我对数学的构建过程有了更深的理解。书中的例子，从最简单的区间到更复杂的集合，都展示了测度理论的强大之处。我尤其被书中关于“不可测集”的讨论所吸引，它触及了数学中最深刻的哲学问题之一：是否存在我们无法“度量”的存在？这本书并没有给出简单的答案，而是通过严谨的数学推理，引导读者去思考这些界限。虽然我在学习过程中遇到了不少挑战，但我能够感受到，每一次的克服，都让我离数学的真理更近一步。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维的培养，一种对数学之美的感悟。
评分坦白说，这本书的阅读过程就像是在攀登一座巍峨的山峰，每一步都充满了挑战，但山顶的风光也因此更加令人心驰神往。它没有回避那些复杂的定义和艰深的证明，而是以一种毫不妥协的态度，将最核心的数学思想呈现在读者面前。我花了相当长的时间去理解“可测集”的概念，以及它在测度理论中的基础性作用。这种对“可测量性”的深入探讨，让我对“大小”这个看似简单的概念有了全新的认识。我们平常所说的“大小”，很多时候是一种模糊的、直观的感受，而测度理论则赋予了它一种精确的、可操作的定义，而且这种定义可以推广到极其广泛的对象上。书中的一些定理，比如关于测度的单调性、可加性，以及它们与集合运算之间的关系，我反复推敲，试图从中领悟更深层的数学逻辑。我发现，测度理论不仅仅是关于“度量”的学问，它更是关于“可计算性”和“可描述性”的一种数学语言。那些看似无法精确描述的几何对象，通过测度理论，我们却能够赋予它们有意义的“量”。这种能力，在很多应用领域都至关重要，比如概率论、统计学，甚至在物理学中也有广泛的应用。虽然我还在探索书中关于“积分”的部分，但我已经能够感受到，测度论为理解更高级的分析工具提供了坚实的基础。
评分这本书的内容，我只能用“精妙绝伦”来形容。它不仅仅是对“测度”这一概念的介绍，更是对“量化”和“精确描述”这两种数学思维的深刻阐释。我一直对数学中那些能够将模糊的概念变得清晰、将无限的概念变得可操作的工具非常着迷。测度论恰恰做到了这一点。作者在书中对“测度”的构造过程，从外测度到Carathéodory扩展定理，都让我看到了数学家们是如何通过严谨的逻辑和精巧的设计，构建起一个强大而普适的理论框架。我尤其喜欢书中关于“可测函数”和“积分”的章节，它让我看到了测度理论如何在分析学中发挥核心作用。特别是勒贝格积分，它不仅比黎曼积分更强大，而且在许多重要的数学定理中都扮演着关键角色。这本书的深度和广度，让我感到既兴奋又充满挑战。我需要反复阅读，仔细思考，甚至需要查阅一些辅助材料来理解其中的一些细节。但每一次的突破，都让我对数学的理解更上一层楼，也让我对数学这门学科的敬畏之分更增一分。
评分这本书，真的让我大开眼界。它将我从对几何的直观理解，提升到了一个更抽象、更普遍的数学层面。我一直以为“长度”、“面积”、“体积”这些概念是很自然的，但这本书让我认识到，这些直观的理解背后，有着一套严谨而深刻的数学理论支撑。作者在书中对“测度”的引入，让我理解了如何用一种统一的语言去描述不同维度几何对象的“大小”。我特别欣赏书中关于“σ-代数”的讲解，它让我明白了在定义测度之前，为什么需要引入“可测集”的概念，以及σ-代数是如何保证了集合运算的完备性和一致性。这让我深刻体会到数学的逻辑严谨性，每一个定义都至关重要。书中的例子，从最简单的区间到更复杂的集合，都展示了测度理论的强大之处。我还在努力消化书中关于“积分”的部分，特别是勒贝格积分的概念。我知道，这部分是本书的核心和难点之一，但作者的讲解方式，让我虽然感到挑战，但并不觉得绝望。它让我看到了，数学工具是如何随着理论的深入而不断发展和完善的。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维的培养，一种对数学之美的感悟。
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