周期小波理论及其应用/现代数学基础丛书

周期小波理论及其应用/现代数学基础丛书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社
作者:彭思龙
出品人:
页数:0
译者:
出版时间:1900-01-01
价格:16.0
装帧:平装
isbn号码:9787030109477
丛书系列:现代数学基础丛书
图书标签:
  • 数学
  • 小波理论
  • 周期小波
  • 数学分析
  • 信号处理
  • 数值分析
  • 现代数学
  • 应用数学
  • 傅里叶分析
  • 时频分析
  • 数学建模
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具体描述

现代数学基础丛书:深入探索偏微分方程的分析方法与应用 书籍名称: 现代数学基础丛书(暂定名,涵盖系列主题) 图书简介: 本卷丛书聚焦于现代数学研究的前沿阵地,特别是偏微分方程(Partial Differential Equations, PDEs)理论的深度剖析及其在物理、工程、金融等领域的广泛应用。本丛书旨在为高年级本科生、研究生以及相关领域的研究人员提供一套系统、严谨且富有洞察力的数学工具和理论框架,使其能够掌握处理复杂非线性系统和多尺度现象的分析利器。 第一部分:经典理论的深化与泛函分析基础 本部分将从泛函分析的基本概念出发,为后续的PDEs分析打下坚实的理论基础。重点内容包括: 1. 希尔伯特空间与巴拿赫空间:对完备赋范线性空间进行精细的阐述,包括内积结构、内点、边界的拓扑性质,以及函数空间的嵌入定理(如Sobolev嵌入定理)。深入探讨测度论在函数空间构造中的核心作用,强调$L^p$空间作为基本分析工具的地位。 2. 算子理论与半群方法:详尽讨论有界线性算子、无界线性算子(如微分算子)的谱理论。特别关注半群理论在演化方程(如抛物方程和双曲方程)中的应用。通过分析拉普拉斯算子和热传导算子生成的C0半群,展示如何利用泛函分析工具研究无限时间内的解的长期行为和稳定性。 3. 分布与弱解概念:系统介绍广义函数(分布)的理论,这是处理不连续解、奇异源项以及建立弱解概念的基石。详细推导和分析椭圆型方程的变分原理,并严格论证弱解的存在性、唯一性及正则性(如先验估计的建立)。 第二部分:核心偏微分方程的精细分析 本部分将集中力量解析三大类经典偏微分方程,结合最新的分析技术: 1. 椭圆型方程(稳态问题): 泊松方程与拉普拉斯方程:着重探讨狄利克雷问题、诺伊曼问题和混合边界值问题的解的结构。引入Green函数和势论方法,分析边界条件对解的奇点和全局行为的影响。 高阶椭圆方程:如双调和方程(Biharmonic equation),探讨其四阶微分性质,以及涉及弯曲板理论和弹性力学的应用。深入研究解的光滑性,特别是利用Schwartz-Kachanov理论和Holder估计来控制解的梯度。 2. 抛物型方程(扩散与演化): 热传导方程(Diffusion Equation):基于傅里叶变换和热核(Heat Kernel)分析,展示解的平滑化效应(Smoothing Effect)。探讨非线性扩散方程,如Porus Medium Equation (PME),分析其奇点形成、有限时间爆破(Finite-Time Blow-up)现象及其物理意义。 自由边界问题:涉及相变问题(如Stefan问题),使用变分不等式和Viscosity Solution方法处理不依赖于光滑性假设的解的定义。 3. 双曲型方程(波动与传播): 波动方程(Wave Equation):基于D'Alembert公式和能量法,分析初边值问题的解的传播速度和有限光速特性。引入奇性传播理论,研究激波和接触不连续性。 保结构问题与守恒律:重点分析一维和多维的一阶非线性双曲方程,特别是Burgers方程和欧拉方程。引入Lax-Hopf公式,详细讨论熵解(Entropy Solution)的概念,以克服黎曼问题的解在不满足熵条件时出现的不物理解。 第三部分:现代分析工具与非线性PDEs的前沿课题 本部分旨在介绍处理复杂非线性问题的先进工具和当前研究热点: 1. 变分法与正则性理论: 直接法(Direct Method):用于构造能量泛函的极小值点,证明解的存在性。 Sobolev空间上的变分原理:深入探讨函数空间中的极值原理,如极小曲面方程(Minimal Surface Equation)所涉及的非线性椭圆方程。 正则性理论:引入De Giorgi-Nash-Moser (DNM) 理论,证明无散度拉普拉斯方程的解具有优良的光滑性,并探讨其在可压缩欧拉方程中的推广。 2. 随机偏微分方程 (SPDEs): 白噪声与随机卷积:将随机性引入到经典的PDEs中,如随机热方程和随机Schrödinger方程。介绍Itô积分与随机分析工具。 随机场与随机测度:探讨随机函数的平移不变性、遍历性,及其在随机介质中波传播问题中的应用。 3. 几何分析与等度量问题: 几何背景下的PDEs:研究在黎曼流形上定义的拉普拉斯-Beltrami算子。重点讨论Yamabe问题和规范场理论中的椭圆方程。 Navier-Stokes 方程:作为流体力学的基础,本部分将集中于二维和三维粘性流方程的正则性、全局存在性以及湍流模型的数学基础探讨。分析Leray大解的存在性与数学难点。 4. 奇异性与耗散系统: 非线性Schrödinger方程 (NLS):研究其自聚焦现象(Self-focusing)和孤子解(Soliton Solutions)的稳定性。利用Hamiltonian结构和复变函数技巧分析能量守恒与质量守恒。 Hamilton-Jacobi方程:作为一种一阶非线性PDE,它在最优控制和几何光学中至关重要。探讨粘性解理论在处理非光滑解时的优越性。 总结与特色 本丛书的编排注重理论的内在联系和方法的普适性。每一章均包含大量的经典习题和前沿研究问题,旨在引导读者从基础概念出发,逐步掌握现代分析数学的复杂技巧,为解决实际科学和工程中的复杂偏微分方程问题打下坚实而全面的数学基础。本书的叙述风格力求严谨而不失清晰,深度适中,是数学专业学生和跨学科研究人员不可或缺的工具书。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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这本书的排版和装帧工艺,说实话,第一眼看上去就透着一股“学院派”的沉稳气息。纸张的质感很好,拿在手上有一种厚重感,这对需要反复查阅和做笔记的读者来说非常重要。图表的清晰度也值得称赞,那些表示时频局部特性的二维图示,线条锐利,色彩区分得当,即便是复杂的能量分布图,也能一眼看出关键的集中区域。我特别喜欢它在章节末尾设置的“思考题”部分,这些问题绝非简单的知识点复述,而是要求读者将不同小波基函数的特性进行对比分析,或者要求推导出在特定边界条件下的近似解。这些题目极大地锻炼了我的独立思考能力,让我不再满足于只记住公式,而是开始思考如何灵活运用这些工具。与我之前阅读的一些国外引进的教材相比,这本书在本土化方面做得非常出色,术语的翻译精准且统一,没有出现那种让人困惑的“中西合璧”的别扭感。总的来说,这是一本可以陪伴你度过数个研究阶段的良伴,它所散发出的那种严谨而耐读的气质,是当下很多追求快速消费的出版物所不具备的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的理论深度带来的一个直接好处是,它帮助我理解了许多看似不相关的数学分支是如何通过小波分析这个核心概念联系起来的。我清晰地看到了傅里叶分析的局限性(仅仅关注全局频率信息)是如何被小波的局部化特性所突破的。作者巧妙地利用了母小波的“挤压”和“平移”操作,将时频域的分析从矩形的窗口限制中解放出来,实现了对瞬态信号更精细的刻画。更让我印象深刻的是,书中对不同小波基函数——比如Haar、Daubechies、Meyer等——的构造原理进行了深入的比较,不仅仅是展示它们的数学表达式,而是从其消失矩的数量和正则性对信号重构性能的影响角度进行了深入的讨论。这种跨越不同小波族系的比较性分析,极大地拓宽了我对“选择合适分析工具”的理解边界。它让我意识到,工具的选择绝非随心所欲,而是深深根植于待分析信号的内在特性之中。这本书真正培养的是一种理论敏感度,而非死记硬背的技能。

评分☆☆☆☆☆

我这次购入这本书,主要是希望能提升我在信号处理领域解决实际问题的能力,但读完前几章后,我发现它给我的收获远超我的预期——它重塑了我对“分析工具”的认知。这本书没有过多地纠缠于具体的工程应用实例,比如音频压缩或者图像去噪的商业软件实现,而是将重点放在了理论框架的构建和性质的挖掘上。例如,在探讨小波包分解时,作者深入剖析了不同字典选择规则背后的信息论基础,这让我明白了为什么在某些场景下,最优基的选择是如此关键,以及如何从信息熵的角度去量化这种“最优性”。这种深入到底层的剖析,使得我对后续学习如时间序列分析、非线性动力学建模等更复杂的领域都有了一个更坚实的地基。对于那些希望从“调包侠”蜕变为真正能设计新算法的研究者来说,这本书提供的理论深度是无可替代的。它教会你的不是如何使用已有的工具,而是如何理解并可能创造新的工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的数学推导部分着实让人眼前一亮,特别是关于多分辨率分析的构建过程,作者的逻辑梳理得极其清晰。我记得有好几处关键的数学等价变换,以前看其他教材时总觉得云里去里,但在这里,每一步的依据都标注得非常详尽,甚至连一些看似微不足道的细节,比如函数空间的内积定义在特定基下的展开形式,作者都没有放过。这对于我这种追求严谨性的读者来说,简直是福音。我尤其欣赏作者在引入离散化概念时所采取的渐进式讲解,从连续到离散的过渡非常自然,避免了那种生硬的“跳跃感”。不过,话说回来,如果你是纯粹的初学者,可能需要对傅里叶分析和泛函分析有一定的预备知识,否则刚开始可能会觉得有点吃力。但一旦你跨过了最初的门槛,后面的内容就会像拨开云雾见青天一样,所有概念都串联起来了。这本书的价值不在于提供了多少花哨的应用案例,而在于它真正教会了你“为什么”这些理论能够成立。它更像是一本深入内核的工具书,而不是一本面向大众的科普读物。我感觉作者在编写时,内心是住着一位对数学美学有着极高要求的匠人,每一个公式的布局都像是精心设计的艺术品。

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这本书的叙述风格,坦白讲,是比较“古朴”和“学究”的,丝毫没有迎合当下流行“碎片化阅读”的趋势。它要求读者投入大量的时间和精力进行“沉浸式”阅读。我必须承认,初读时会感到一些挫败感,因为它几乎是用一种教科书式的、高度凝练的语言在陈述复杂的概念。每一个段落都信息量巨大,需要反复咀嚼。比如,在讨论解析小波的构建时,作者用了好几页的篇幅来阐述希尔伯特空间到 $L^2(mathbb{R})$ 的映射关系,其中穿插了大量的集合论和测度论的背景知识,这对于时间有限的工程师来说可能是一个挑战。然而,一旦你坚持下来,你会发现这种“慢工出细活”的写作方式,极大地减少了后续学习中概念模糊的风险。它就像是为知识的殿堂打下了最坚固的基石,虽然过程缓慢,但带来的长期回报是巨大的。这本书更适合作为研究生教材或青年科研人员的案头参考书,而不是作为快速入门的读物。

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