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出版者:高等教育齣版社

作者:周建偉

出品人:

頁數:301

译者:

出版時間:2006-5

價格:13.70元

裝幀:簡裝本

isbn號碼:9787040118780

叢書系列:

圖書標籤:

• 幾何
• 高等數學
• 數學
• 代數幾何
• 拓撲學
• 微分幾何
• 抽象代數
• 數學分析
• 研究生教材
• 學術著作

現代解析幾何學基礎與應用 圖書簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入且富有啓發性的現代解析幾何學導論。它不僅僅是傳統歐氏幾何概念的簡單復述，而是立足於嚮量空間、仿射空間和射影空間等現代代數結構，係統地闡述幾何對象的本質及其代數錶示。全書內容組織嚴謹，邏輯清晰，力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧幾何直觀的培養。 第一部分：基礎概念與嚮量空間幾何 本部分是全書的基石，側重於將幾何概念提升到嚮量空間的抽象層麵。 第一章：預備知識與基礎結構 首先，我們迴顧必要的綫性代數知識，包括域、嚮量空間、綫性變換、基與維數。隨後，引入歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 的結構，重點討論內積的概念及其性質，這是定義距離、角度和正交性的關鍵。我們詳細探討瞭正交基的構造（如 Gram-Schmidt 正交化過程）以及正交投影的概念，這些都是後續許多幾何構造的基礎。 第二章：仿射空間的概念 仿射空間是連接綫性代數與傳統幾何的橋梁。我們定義瞭仿射空間 $A$ 作為一個集閤，以及其上的一個嚮量空間 $V$（稱為方嚮空間）。我們詳細分析瞭點和平移嚮量之間的關係，強調瞭仿射空間的“平移不變性”而非“原點依賴性”。本章著重區分瞭仿射組閤（如中點、重心）和綫性組閤，並引入瞭仿射子空間（仿射子空間、直綫、平麵）的定義、參數方程和點方程錶示法。 第三章：歐幾裏得幾何的坐標錶示 在 $mathbb{R}^n$ 這一特定的仿射空間中，我們引入瞭標準內積，從而可以在坐標係下處理歐幾裏得幾何問題。本章細緻討論瞭剛體運動（等距變換），包括鏇轉、平移和反射，並使用正交矩陣描述鏇轉群 $O(n)$ 和特殊正交群 $SO(n)$。我們詳細推導瞭兩個點集之間距離的保持性，以及坐標變換對幾何圖形描述的影響。 第二部分：二次型與二次麯麵 本部分是解析幾何的核心內容之一，研究由二次多項式定義的幾何對象，這是理解高維空間中麯綫和麯麵的關鍵。 第四章：二次型與矩陣錶示 我們從代數角度定義瞭二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，其中 $A$ 是一個對稱矩陣。本章的核心在於矩陣的閤同關係和二次型的規範形。通過對二次型矩陣進行正交相似對角化（或使用 Sylvester 慣性定理），我們可以將復雜的二次型簡化為其最簡潔的形式。我們詳細解釋瞭二次型的正定性、半正定性等分類及其幾何意義。 第五章：二次麯麵分類與標準形 基於二次型，本章將研究 $mathbb{R}^3$ 中的二次麯麵。我們係統地推導瞭橢球麵、雙麯麵、拋物麵等經典二次麯麵的標準方程，並分析瞭它們在不同參數下的幾何形態變化（例如，單葉雙麯麵與雙葉雙麯麵）。重點在於理解麯麵的主軸方嚮和中心，這些信息直接來源於二次型矩陣的特徵嚮量和特徵值。我們還探討瞭退化二次麯麵的情況。 第六章：二次麯綫與矩陣秩 將討論拓展到 $mathbb{R}^2$ 中的二次麯綫。二次麯綫的一般方程是 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$。本章利用矩陣理論，特彆是麯麵矩陣的秩，來係統地分類圓錐麯綫（橢圓、雙麯綫、拋物綫）以及退化情況（如兩條相交直綫）。通過鏇轉主軸（消去交叉項 $xy$）和必要的平移（消去一次項 $dx, ey$），我們最終將任何二次麯綫化為標準形式，並討論瞭麯率的概念。 第三部分：射影幾何的引入 射影幾何提供瞭一種更廣闊的視角來審視傳統幾何，尤其是在處理無窮遠處的概念時。 第七章：齊次坐標與射影空間 本章引入瞭齊次坐標 $mathbf{x} = (x_1, x_2, dots, x_{n+1})$，它使得歐幾裏得空間中的點與 $mathbb{R}^{n+1}$ 中穿過原點的直綫建立瞭一一對應關係，從而構造瞭 $n$ 維射影空間 $mathbb{P}^n$。我們詳細解釋瞭射影平麵 $mathbb{P}^2$ 的結構，包括有限點（仿射點）和無窮遠綫（或無窮遠點）的概念。 第八章：射影變換與對偶性原理 射影變換（或稱透視變換）是保留直綫性的變換，在齊次坐標下錶現為可逆的 $(n+1) imes (n+1)$ 矩陣的乘法。我們研究瞭射影變換群 $PGL(n, K)$ 的性質，並探討瞭它如何將一個二次麯麵變換為另一個（即二次麯麵在射影意義下的不變量）。本章的亮點是對偶性原理的闡述：在射影幾何中，關於點和綫的任何定理，如果將“點”和“綫”互換，得到的定理依然成立。我們通過實例演示瞭這一原理在 $mathbb{P}^2$ 中的應用。 第九章：射影平麵上的二次麯綫 在射影框架下，二次麯綫的描述更加統一和優美。我們使用射影矩陣 $B$ 來定義射影二次麯綫 $ mathbf{x}^T B mathbf{x} = 0 $。本章討論瞭二次麯綫的判彆式，並利用射影變換的工具證明瞭所有非退化的二次麯綫在射影意義上是等價的，即可以通過射影變換相互轉化。 總結與展望 本書的結構設計旨在引導讀者從熟悉的歐幾裏得空間齣發，逐步過渡到更抽象的仿射和射影框架。通過對嚮量空間代數的深入運用，讀者將能以統一的視角理解傳統解析幾何中的各項結論，並為進一步學習微分幾何、代數幾何等更高級的數學分支打下堅實的基礎。本書適閤數學、物理、工程類專業的高年級本科生及研究生閱讀。

評分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

讀完《高等幾何》後，我必須承認，它不是一本可以輕鬆放在床頭翻閱的休閑讀物，而是一本需要被“對待”的嚴肅著作。它的價值不在於提供瞭多少現成的結論，而在於它教會瞭你如何用一種“幾何的思維”去看待世界。書中對拓撲結構的討論，尤其是關於緊緻性和連通性的性質，對我理解復雜係統的穩定性起到瞭潛移默化的影響。我特彆欣賞作者在處理嚮量叢和聯絡時的那種近乎偏執的清晰度，他用大量的圖例來輔助那些高維空間的直觀想象，即便在最抽象的章節，你也能感受到作者希望讀者能夠“看見”那些看不見的結構。這本書的排版質量非常高，公式居中對齊，符號使用規範統一，這在閱讀專業書籍時至關重要，能有效減少因排版混亂帶來的理解誤差。總而言之，這是一部凝聚瞭作者畢生心血的力作，它可能不會讓你瞬間成為幾何學大師，但它絕對是你通往更高深數學殿堂的一把無可替代的鑰匙。

评分☆☆☆☆☆

說實話，這本書的閱讀體驗更像是在攀登一座知識的高峰，每前進一步都伴隨著汗水和頓悟交織的復雜情感。我印象最深的是其中關於微分幾何中“聯絡”的討論，作者似乎非常鍾愛那些看似枯燥的符號演算，但他硬是通過對“平行移動”這一直觀概念的深入挖掘，將抽象的聯絡形式賦予瞭物理意義。我記得有一節專門講瞭麯率的測地綫偏離，那段描述簡直是詩意的數學。作者沒有直接拋齣復雜的微分方程組，而是先用“想象一個粒子沿著測地綫運動，它如何偏離預期軌道”的場景來引導讀者，這種敘事手法讓冰冷的數學公式變得鮮活起來。當然，書中對代數拓撲的引入也處理得相當到位，特彆是關於同調群和同倫群的介紹，雖然篇幅相對較短，但其邏輯脈絡清晰，成功地將讀者從純粹的微分結構帶入瞭更廣闊的拓撲世界。對於我這種並非專業數學係齣身的讀者來說，能在這本書裏找到如此詳盡且富有洞察力的闡述，實屬不易，唯一的遺憾是，有些更前沿的理論，比如規範場論在縴維叢上的應用，似乎隻是點到為止，留下瞭更多的探索空間。

评分☆☆☆☆☆

初次接觸《高等幾何》這本書時，我最大的感受是它的體係性達到瞭驚人的高度。它不像市麵上許多幾何學書籍那樣，將歐氏空間、射影幾何、仿射幾何等知識點零散地堆砌在一起，而是構建瞭一個清晰的、層層遞進的結構。從基礎的嚮量空間和綫性變換齣發，逐步提升到更抽象的度量空間和內積結構，直至最終過渡到整體微分流形。這種從具體到抽象的引導過程，極大地降低瞭初學者的入門門檻，盡管後麵的內容依然艱深。尤其值得稱贊的是，作者在引入麯率時，沒有直接跳到教科書上常見的黎曼麯率張量，而是先花瞭大量篇幅討論如何用麯率來衡量“平直性”的丟失，通過“平行移動”的路徑依賴性來定義麯率，這種教學策略，將數學直覺的培養放在瞭公式推導之前，非常人性化。雖然閱讀過程中需要時常停下來查閱作者在附錄中給齣的綫性代數迴顧，但這種“帶著鐐銬跳舞”的感覺，反而讓我更加確信每一個數學概念都是有其堅實曆史和邏輯根基的。

评分☆☆☆☆☆

這本《高等幾何》的書，拿到手裏沉甸甸的，封麵設計得非常古典，那種深沉的藏青色配上燙金的字體，一下子就讓人感受到瞭一種學術的厚重感。我本來是抱著對幾何學一絲敬畏的心情去翻閱的，沒想到內容展開後，那種撲麵而來的嚴謹性簡直讓人屏息。開篇部分對點集拓撲和流形基礎的構建，沒有絲毫的含糊，每一步推理都像精密的鍾錶齒輪咬閤得那樣完美無瑕。尤其是作者在引入黎曼幾何概念時，那種從歐幾裏得空間平滑過渡到彎麯空間的處理方式，簡直是教科書級彆的示範。我花瞭好大力氣纔啃完第一章，裏麵的張量分析部分，那些復雜的協變導數和裏奇張量的定義，需要反復對照圖示和公式推導纔能勉強跟上作者的思路。書中的例子選取得極其巧妙，既有理論上的抽象美感，又不乏與物理學，比如廣義相對論中時空麯率的直觀聯係。讀完後，感覺腦子裏像是被重新梳理瞭一遍，對空間和維度的理解上瞭一個新的颱階，絕不是那種浮光掠影的科普讀物，而是需要真正投入時間和心力的硬核經典。

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計可能不太吸引那些追求時尚外觀的讀者，它走的是那種傳統學術著作的路綫，紙張略顯粗糙，油墨味兒也比較重，但這反而給我一種信賴感，覺得它是一本可以被時間考驗的工具書。我最近在使用這本書來輔助我進行一些非綫性動力學模型的構建，特彆是在研究係統的幾何結構時，書中關於李群和李代數的章節發揮瞭巨大的作用。作者在闡述李括號的非交換性質時，用瞭非常細緻的例子來展示其在對稱性破缺中的角色，這比我之前看的任何一本參考書都要來得透徹。另外，我注意到書中對“規範不變性”的討論，雖然放在高等幾何的框架下，但其數學基礎的紮實程度，讓我能夠反過來更好地理解物理學中那些看似“黑箱”的操作。這本書的難度是階梯式的，前麵章節尚可接受，但一旦進入到微分形式的對偶空間和德拉姆上同調，閱讀速度就會急劇下降，需要配閤大量的練習題纔能真正消化。那些習題設計得非常精妙，很多都是需要將前幾章的概念融會貫通纔能解齣的“大題”。

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