具体描述
《高等数学辅导(下)》基本上是根据全国工科院校高等数学教学大纲的要求编写的，也是编者多年来在清华大学从事高等数学的教学和辅导工作的结晶。全书分上、下两册，上册包含函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、空间解析几何及矢量代数共7章内容．每章的各节以“内容提要”开始，概括本节的主要知识内容；然后是“例题分析”，通过分析、讲解、提问、小结等方式对各种题型的例题进行解剖、辅导。每章的末尾，安排“习题与答案”，供读者练习、检查。
《微积分原理与应用》 内容简介 本书旨在为学习微积分的读者提供一个全面、深入且富有启发性的学习体验。我们深知微积分作为现代数学和科学的基石地位，因此本书的编写力求在严谨的理论推导与广泛的实际应用之间找到完美的平衡。全书结构清晰，逻辑严密，旨在帮助读者不仅掌握计算技巧，更能深刻理解微积分背后的数学思想和方法论。 第一部分：极限与连续性——微积分的基石 本部分是整个微积分体系的逻辑起点，我们用大量篇幅来夯实读者对“极限”这一核心概念的理解。 1. 数的系统与函数的预备知识： 在正式进入极限之前，我们将回顾实数系的完备性，这是理解极限存在性的基础。同时，对函数的概念、性质（如单调性、有界性、奇偶性）进行详尽的梳理和示例解析，确保读者对自变量和因变量之间的关系有清晰的认识。 2. 极限的严谨定义与直观理解： 我们将采用 $varepsilon-delta$ 语言严格定义数列的极限和函数的极限。除了理论上的严谨性外，本书会配有大量几何和直观的例子，帮助读者理解 $varepsilon$ 和 $delta$ 之间的微妙关系，这是许多初学者感到困惑的关键点。我们将探讨单侧极限、无穷极限以及极限的性质（如极限的四则运算）。 3. 连续性： 基于极限的概念，本章详细阐述了函数的连续性，包括点态连续和一致连续性。我们将分析不连续点的类型（可去、跳跃、无穷间断点），并通过布尔查诺定理（零点定理）和介值定理，展示连续性在求解方程根和分析函数行为中的强大作用。 第二部分：导数——变化率的度量 本部分将焦点转向“变化率”，这是微积分最直观的应用领域。 1. 导数的定义与几何意义： 导数被定义为瞬时变化率，通过割线斜率趋近于切线斜率的过程来引入。我们将详细讨论可导性与连续性的关系（可导必连续，反之不成立）。 2. 导数的计算法则： 从基本初等函数的导数公式开始，系统地推导和讲解和、差、积、商的求导法则。重点剖析链式法则（复合函数求导），这是后续处理复杂函数的基础。我们还将专门探讨反函数、反三角函数以及指数、对数函数的求导。 3. 高阶导数与隐函数求导： 介绍二阶及更高阶导数的概念及其在曲线凹凸性分析中的应用。针对隐函数和参数方程表示的函数，我们将提供清晰的求导步骤和应用实例，例如求解平面曲线的曲率。 4. 导数的应用： 这是本部分的核心与精华。 洛必达法则： 专门用一节篇幅讲解如何利用导数来处理 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式极限，并扩展到 $0 cdot infty$, $infty - infty$, $1^infty$, $0^0$, $infty^0$ 等其他不定式。 函数性态分析： 利用一阶导数判断函数的单调区间和极值点，利用二阶导数判断函数的凹凸性、拐点和极值（二阶导数判别法）。 曲线的形状分析与绘图： 综合运用以上工具，指导读者完整地描绘复杂函数的图像，包括渐近线的确定。 优化问题： 包含大量现实世界的优化实例，如最大利润、最小成本、最大体积等应用题的建立与求解模型。 第三部分：微分——线性近似的艺术 本部分将“微分”这一概念提升到与导数同等重要的地位。 1. 微分的定义与几何意义： 严格区分“微分” ($ ext{d}y$) 与“增量” ($Delta y$)。微分 $ ext{d}y = f'(x) ext{d}x$ 体现了函数在某一点处的线性逼近特性。 2. 微分在近似计算中的应用： 详细展示如何利用 $Delta y approx ext{d}y$ 来进行工程和物理中的近似计算，例如计算由于测量误差导致的体积或面积的变化。 3. 中值定理的深刻洞察： 罗尔定理： 作为最基础的中值定理，用于阐释函数在等值点之间的零斜率点。 拉格朗日中值定理（均值定理）： 导出了函数在区间上平均变化率与瞬时变化率相等的结论。 柯西中值定理： 进一步推广，为洛必达法则提供了更深层次的理论依据。 第四部分：积分学导论——累积与面积 本部分开始探索与微分学相对的概念——积分。 1. 定积分的定义与几何背景： 从分割、求和、取极限（黎曼和）的过程，严格定义定积分。我们将分析定积分的几何意义（面积、体积、功、流量等）。 2. 定积分的性质： 探讨定积分的线性性、保序性以及平均值定理。 3. 不定积分与微积分基本定理： 核心内容。 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）： 连接微分学和积分学的桥梁，揭示了导数和积分是互逆运算。我们将花费大量篇幅讲解如何应用此定理进行定积分的求解。 原函数与不定积分： 详细介绍求原函数（不定积分）的常见方法。 4. 积分的计算方法： 介绍求解不定积分的系统性技巧，这是应用环节的关键。 第一类换元法（凑微分法）： 针对复合函数结构的积分。 第二类换元法（三角代换、根式代换）： 针对特定形式的根式或三角函数积分。 分部积分法： 针对“乘积形式”的积分，详细讨论选择 $u$ 和 $ ext{d}v$ 的策略。 有理函数积分： 重点讲解部分分式分解法，这是求解有理分式积分的标准化流程。 第五部分：积分的应用 本部分展示定积分在解决几何和物理问题上的广泛效力。 1. 平面图形的面积计算： 包括求已知函数界定的面积、两函数交错区域的面积，以及利用参数方程或极坐标表示的曲线下面积。 2. 体积计算： 介绍旋转体的体积（圆盘法、圆环法）和截面法（如面包片的思想）求任意形状物体的体积。 3. 曲线的长度与面积： 导出行线长度的定积分公式，并扩展到曲面的面积计算。 4. 物理与工程中的应用： 讲解定积分在计算功、压力、质心、转动惯量等物理量中的具体应用模型，帮助读者建立数学工具与实际问题的联系。 本书特色： 强调直觉与严谨并重： 每引入一个新概念，先给予直观解释和图示，再进行严格的数学证明。 丰富的例题与练习： 包含从基础计算到复杂建模的百余个例题详解，以及大量的课后习题，覆盖不同难度层次。 注重思想方法： 不仅教“如何做”，更教“为什么这样做”，培养读者的数学建模能力和逻辑推理能力。 本书适合高等院校理工科、经济学、信息技术等专业中对微积分有系统学习需求的本科生使用，也可作为相关专业人员的参考和复习用书。
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