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出版者:

作者:刘英婷

出品人:

页数:592

译者:

出版时间:2004-5-1

价格:24.00元

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787506263078

丛书系列:

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《高等代数精讲与习题解析》 内容提要： 本书系统、深入地讲解了高等代数的核心概念、基本理论及其在数学与其他学科中的应用。全书结构清晰，逻辑严谨，旨在帮助读者建立扎实的代数思维框架，提高抽象问题的分析和解决能力。全书内容覆盖了矩阵理论、线性空间、特征值理论、二次型以及多项式理论等高等代数的核心板块，并通过大量的例题和精选的习题，实现理论与实践的完美结合。 第一章 矩阵与初等变换 本章从矩阵的定义和运算入手，详述了矩阵的加法、乘法、转置、求逆等基本操作。重点剖析了矩阵的秩、初等矩阵以及初等行（列）变换的性质及其对矩阵结构的影响。我们详细阐述了利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形、简化行阶梯形（RREF）的过程，并据此方法求解线性方程组的理论依据和实际步骤。本章深入探讨了矩阵乘积的秩性质，并对满秩矩阵的判定条件进行了严谨的证明。此外，本章还引入了分块矩阵的概念及其运算规则，为后续学习更复杂的结构打下基础。 第二章 线性方程组的理论 线性方程组的求解是高等代数的核心应用之一。本章首先介绍了线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，并基于高斯消元法和行阶梯形理论，系统地阐述了线性方程组的相容性判定（行秩定理）和通解的结构。我们详尽分析了齐次线性方程组的基础解系和通解空间的构建方法，明确了自由变量和基本变量之间的关系。针对非齐次线性方程组，本章给出了其解集与对应齐次方程组解集的关系，并强调了求解过程的每一步骤的数学依据。对线性方程组解的唯一性、存在性条件的讨论，贯穿了本章的始终。 第三章 线性空间（向量空间） 本章将代数研究的范围从具体的向量集扩展到更抽象的向量空间。我们从域的定义出发，系统地引入了线性空间的公理体系，包括加法和标量乘法的封闭性、结合律、分配律等。重点讲解了线性相关性与线性无关性的概念，并给出了判别方法。本章的核心内容是基与维数。我们通过对比有限维空间和无限维空间（如函数空间），阐释了基的唯一性和维数的确定性。还详细讨论了子空间、子空间的和与交的性质，特别是对维数公式的深入剖析。本章内容为理解后续的线性变换和特征值问题提供了必不可少的理论支撑。 第四章 线性变换与线性映射 本章将抽象的向量空间建立起了联系。线性变换被定义为保持向量空间结构（加法和标量乘法）的映射。我们从线性变换的核（Kernel）和像（Image）两个核心概念入手，详细阐述了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的深刻内涵。在线性空间 V 到 W 的所有线性变换构成的集合中，我们探讨了其构成一个线性空间的事实。更重要的是，本章建立了线性变换与其对应的矩阵表示之间的桥梁。对于给定的一对基，线性变换可以被一个唯一的矩阵所代表，而矩阵的乘法运算对应着线性变换的复合运算。我们还讨论了线性变换的可逆性与矩阵可逆性的等价关系。 第五章 行列式理论 行列式是衡量方阵特性的一个重要标量。本章首先从二阶、三阶行列式的具体计算入手，归纳出 $n$ 阶行列式的莱布尼茨公式和拉普拉斯展开定理。我们详细分析了行列式性质，例如行（列）互换、倍加、倍乘对行列式值的影响，并证明了 $det(AB) = det(A)det(B)$ 这一乘法性质。本章的另一重要部分是利用行列式求解线性方程组的克拉默法则（Cramer's Rule）及其适用条件。我们还探讨了伴随矩阵的概念及其与逆矩阵的关系，从而提供了另一种求逆矩阵的方法。 第六章 特征值与特征向量 本章是矩阵理论的高级阶段。特征值和特征向量描述了线性变换在特定方向上的伸缩特性。我们从特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 出发，系统地讲解了如何求出矩阵的特征值（即特征多项式的根）。随后，我们讨论了特征向量的求解过程，即求解齐次方程组 $(A - lambda I)x = 0$ 的非零解。本章深入讨论了特征值的代数重数和几何重数，并给出了可对角化矩阵的充要条件——即存在一组基由特征向量构成。我们还引入了相似矩阵的概念，证明了相似矩阵具有相同的特征值、迹和行列式。 第七章 对角化理论与相似标准形 本章建立在线性变换特征值分析的基础上，聚焦于如何简化矩阵表示。我们详细阐述了实对称矩阵的谱分解定理，证明了对称矩阵一定可以正交对角化，并讲解了如何通过正交变换找到标准正交基。对于一般矩阵，我们探讨了如何通过相似变换将矩阵转化为 Jordan 标准形（Jordan Canonical Form），即使矩阵不可对角化。Jordan 标准形的结构为研究矩阵的函数和微分方程的应用奠定了基础。 第八章 二次型与欧几里得空间 二次型是变量的二次齐次多项式，其在几何和物理学中有广泛应用。本章首先将二次型表示为 $x^T A x$ 的形式，其中 $A$ 是一个实对称矩阵。我们利用对角化理论，证明了任何二次型都可以通过一个非奇异线性变换转化为标准形 $lambda_1 y_1^2 + lambda_2 y_2^2 + cdots$。本章的核心是正定性的判定。我们讲解了基于特征值（所有特征值均为正）和基于主子式（Sylvester 定理）的判定方法。此外，本章还引入了欧几里得空间的概念，讨论了内积、范数以及施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，使得向量空间具备了长度和角度的度量概念。 第九章 多项式理论基础 虽然多项式在代数预备知识中已有所接触，本章将其提升到更严谨的层次。我们讨论了域上多项式的环结构，包括多项式的带余除法、最大公因式（GCD）的求解（扩展欧几里得算法），以及多项式的唯一分解定理。本章重点讲解了根的概念，包括根的重数。我们还讨论了有理根定理和多项式的有理根与实根的关系，这些理论为后续计算特征值时分解特征多项式提供了工具。 本书特色： 1. 理论深度与广度兼顾： 内容覆盖了标准高等代数教材的所有关键知识点，并对一些抽象概念进行了详尽的代数拓扑解释。 2. 严谨的逻辑推导： 所有定理的证明过程都力求完整和清晰，注重逻辑链条的完整性，而非仅罗列公式。 3. 丰富的例题剖析： 包含数百个精心挑选的例题，这些例题覆盖了从基础计算到复杂理论应用的各个层面，详细展示了从问题识别到应用定理，直至最终得出结论的完整解题思维过程。 4. 综合性习题设计： 习题分为基础巩固、能力提升和综合应用三类，旨在全面检验读者对知识的掌握程度，并培养其抽象思维的灵活性。 目标读者： 本书适合于数学、物理、工程、计算机科学以及经济管理等专业中，需要系统学习或深入掌握高等代数理论的本科生、研究生，以及准备参加相关专业考试（如数学专业考研、出国留学考试）的自学者。具备高中数学基础知识（包括函数、向量基础概念）即可开始学习。

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这本书简直是高中数学的“瑞士军刀”，几乎涵盖了你从入学到备考可能遇到的所有知识点。我特别欣赏它对基础概念的梳理，那种循序渐进的讲解方式，对于我这种一开始对立体几何感觉抓瞎的同学来说，简直是救星。它不像有些教辅书那样只是简单堆砌公式和例题，而是花了大量篇幅去解释“为什么”是这样，比如向量的几何意义，还有解析几何中圆锥曲线的各种奇特性质，作者都有用非常直观的方式把它剖开揉碎了。我记得有一次我对数系的理解还停留在初中阶段，拿到这本书后，对复数那一章的阐述，让我瞬间打通了任督二脉，从理论到实际应用都理解得非常透彻。而且，它对不同章节之间的知识串联也做得非常出色，比如将导数的应用和函数图像的单调性结合起来分析，让数学不再是孤立的知识点，而是一个有机的整体。对于期中考试前的突击复习，这本书的知识框架非常清晰，让人能够迅速定位自己的薄弱环节，然后进行精准打击。它的排版也相当舒服，不会因为信息量太大而显得拥挤。

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说实话，我买过不少号称“大而全”的数学辅导书，很多到最后都成了压箱底的灰尘，但这本《高中数学基础知识全书》真的不一样。它的价值在于它的“深度”和“广度”找到了一个完美的平衡点。它不仅仅是罗列了高中阶段需要掌握的那些定理和公式，更重要的是，它对这些知识的“应用场景”进行了极其详尽的分析。比如在数列这一章，它不仅讲了等差等比的通项和求和，还深入剖析了与函数、不等式、甚至排列组合结合的综合题型，每一种题型都配有典型的例题和详细的解题步骤，那种细致入微的讲解，让我感觉就像请了一位顶级家教在我身边一对一指导。我尤其喜欢它对“数学思想”的强调，比如数形结合、分类讨论这些核心的解题思维，这本书在很多章节的末尾都有专门的板块来总结和提炼，这对于培养真正的数学思维比死记硬背公式要有效得多。如果你只是想应付一次小测验，也许它显得有些“重”，但如果你是打算系统性地夯实基础，准备长期对抗高考的“持久战”，这本书绝对是物超所值。

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这本书的编排逻辑简直是教科书级别的典范，对于我这种习惯于结构化学习的人来说，简直是福音。它不是简单地按照高中数学的课程顺序来堆砌内容，而是巧妙地进行了知识模块的划分和重组。例如，它会把所有涉及“三角函数”的知识点，包括定义、图像、公式、解三角形，甚至和圆锥曲线中参数方程的结合，都放在一个大的章节下面进行整合讲解，这极大地帮助我克服了以往学习中那种“知识点零散”的困境。当我遇到一道函数题时，我能立刻在脑海中构建出一个包含极限、导数、周期性等相关概念的知识网络。我印象最深的是关于概率统计的部分，它没有陷入复杂的计算泥潭，而是着重讲解了统计抽样的基本原则和假设检验的逻辑，这对于理解现代统计学的基本框架非常有帮助，是其他很多强调计算的教辅书所忽略的。这本书的厚度足以证明其内容的详实，但翻阅起来却一点都不觉得枯燥，因为每部分都有清晰的索引和跳转提示。

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老实说，这本书的“实战性”是我最为看重的一点。它不像一些理论著作那样高高在上，而是紧密地贴合了高中数学试卷的命题趋势。我个人对导数部分一直比较头疼，涉及到不等式恒成立、零点个数的判定等难题时，经常会卡住。但这本书在讲解这些“高难度应用”时，非常接地气。它不仅仅给出了标准解法，还提供了一些“技巧和窍门”，比如如何通过配方或者构造新函数来简化问题，这些都是我在课堂上不太容易听到的“内幕消息”。更重要的是，它对不同难度题目的区分做得非常好，明确标示出哪些是基础巩固，哪些是拔高训练。这让我能够根据自己的当前水平，有选择性地进行练习，避免了在自己完全不理解的前提下盲目做高难度题而打击自信心。对于那些希望通过自学来提升数学成绩的同学，这本书的详细注释和思路引导，几乎可以替代一个耐心细致的家教，确保每一步逻辑链条都清晰无误。

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这本书的语言风格非常“沉稳”，有一种老派学者的风范，但绝不晦涩难懂，反而给人一种极度的信赖感。它在处理一些容易混淆的概念时，会引用一些历史背景或者数学家的思想，这让抽象的数学知识变得有血有肉，不再是冷冰冰的符号。例如，在讲解极限的“ε-N”语言时，它没有直接抛出定义，而是通过一个“追赶游戏”的比喻来引入，使得这个看似高深的数学语言变得非常直观易懂。这本书对于证明题的处理尤为出色，它不只是给出结论，而是细致地展示了从猜想到论证的完整心路历程，比如如何构造辅助线或者如何选择合适的归纳假设。这种对“过程”的尊重，极大地提升了我对数学的敬畏感和兴趣。总而言之，这本书的价值在于它不仅仅教授“知识点”，更是在传授一种严谨的、具有批判性的数学思维方式，是一本可以伴随高中三年，甚至在大学预科阶段都能反复研读的宝典。

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