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出版者:華文齣版社

作者:李冰

出品人:

頁數:432

译者:

出版時間:2003-1-1

價格:18.00

裝幀:平裝(無盤)

isbn號碼:9787507514285

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 初中數學
• 高中數學
• 練習題
• 試題
• 應試
• 復習
• 基礎
• 培優
• 競賽

《高等代數與解析幾何：理論精講與習題解析》 本書旨在為數學專業本科生提供一套全麵、深入且實用的教材與參考資料，涵蓋高等代數與解析幾何的核心概念、理論推導及經典應用。全書結構嚴謹，內容詳實，力求在夯實基礎的同時，拓展學生的數學視野。 --- 第一部分：高等代數 第一章：集閤、邏輯與數係基礎 本章首先迴顧集閤論的基本概念，包括集閤的運算、笛卡爾積以及映射的性質。隨後深入探討命題邏輯與謂詞邏輯，為後續的數學證明打下堅實的邏輯基礎。重點內容在於數係的擴充，從自然數、整數、有理數到實數係的構造與完備性。我們將詳細論述實數係的拓撲性質，如上確界原理（最小上界原理），這是整個微積分和分析學大廈的基石。此外，還初步介紹瞭復數的代數與幾何錶示法，為綫性代數中的特徵值問題做鋪墊。 第二章：綫性空間與綫性變換 本章是高等代數的核心，從抽象的綫性空間概念齣發，闡述瞭綫性組閤、綫性相關性、基與維數的定義與定理。我們詳細討論瞭有限維綫性空間的結構，並引入瞭綫性變換（或稱綫性算子）的概念，探討其核空間與像空間的性質。重點將放在矩陣錶示上：如何通過選取不同的基來錶示同一個綫性變換，以及矩陣乘法的幾何意義。本章包含大量例題，用以展示嚮量空間在幾何學、物理學中的直觀體現。 第三章：行列式與矩陣運算 本章係統地介紹瞭行列式的定義、性質及其計算方法，包括拉普拉斯展開與初等行變換。行列式在求解綫性方程組中的作用是本章的重點。隨後，深入研究矩陣的代數運算，如矩陣的乘法、逆矩陣的求法及其唯一性。我們將通過矩陣的初等變換來探究矩陣的秩，並嚴格證明秩與解空間的維度之間的關係（秩-零化度定理）。 第四章：綫性方程組的解法 本章專注於解決綫性方程組的實際問題。通過高斯消元法和約旦-高斯消元法，我們提供瞭一種係統性的求解策略。理論上，本章嚴格區分瞭齊次與非齊次綫性方程組的解的存在性與結構。解的結構被清晰地錶述為：任一特解與對應齊次方程組通解的和。通過討論增廣矩陣的行階梯形，讀者將掌握判斷解的唯一性或無窮多解性的充要條件。 第五章：特徵值與特徵嚮量 特徵值與特徵嚮量是理解綫性變換本質的關鍵。本章詳細闡述瞭特徵多項式、特徵值的計算，以及特徵嚮量的求解過程。我們著重討論瞭特徵值與矩陣對角化的關係，即一個矩陣何時可以相似對角化。對於非對角化的情形，本章引入瞭Jordan標準型理論，這是理解復雜綫性係統的基礎。此外，本章還將涉及二次型與對稱矩陣的特徵值分解，為解析幾何中的二次麯綫/麯麵簡化做準備。 第六章：二次型與歐幾裏得空間 本章將內積引入綫性空間，構建瞭歐幾裏得空間。我們詳細講解瞭內積的性質、正交性以及施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，這在函數逼近和信號處理中有廣泛應用。二次型（Quadratic Forms）被定義為綫性空間的二次齊次函數，通過正交變換將其化為標準形是本章的核心目標。我們利用特徵值理論證明瞭二次型的規範形，並討論瞭正定性、半正定性的判定。 --- 第二部分：解析幾何 第七章：平麵解析幾何基礎 本章從二維歐幾裏得空間齣發，建立直角坐標係。重點在於直綫方程（點斜式、兩點式、一般式）的靈活運用。嚮量在平麵上的錶示、嚮量的加減法、數乘運算，以及點積（內積）的應用，如求夾角和投影，將貫穿本章始終。我們將詳細推導直綫間的關係，如平行、垂直、夾角，並引入參數方程和極坐標係，以拓寬幾何描述的工具箱。 第八章：平麵二次麯綫 本章是解析幾何與高等代數知識的深度結閤。我們從一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 齣發，利用行列式和特徵值理論，係統地推導和分析瞭圓錐麯綫的類型：橢圓、雙麯綫和拋物綫。對於每種麯綫，本書都給齣瞭標準方程、焦點、準綫、離心率等關鍵幾何要素的嚴格定義和計算方法。重點在於如何通過鏇轉坐標軸消除交叉項 $Bxy$，將復雜方程簡化為標準形式。 第九章：空間解析幾何基礎 本章將視角擴展到三維空間。我們將嚮量的叉積（外積）作為核心工具，利用它來定義和計算空間中兩嚮量的垂直關係、由兩個嚮量張成的平行四邊形麵積等。空間中點的坐標錶示、方嚮餘弦、空間嚮量的綫性運算被詳細闡述。 第十章：空間直綫與平麵 本章專注於描述空間中的基本幾何對象。平麵的方程（點法式、一般式）的推導，以及直綫在空間中的錶示（方嚮嚮量與點，或兩平麵的交綫）。空間直綫與平麵的關係（平行、相交、垂直）的判定，以及它們之間的夾角計算。本章將花費大量篇幅講解點到平麵、點到直綫的距離公式的嚮量幾何推導。 第十一章：空間二次麯麵 與平麵二次麯綫類似，本章利用高等代數的對角化技術處理空間中的二次麯麵。我們首先分析由二次方程定義的球麵、圓柱麵、錐麵，然後重點討論二次麯麵的分類，如橢球麵、單葉/雙葉雙麯麵、拋物麵（橢圓拋物麵、雙麯拋物麵）。通過將一般二次麯麵方程化為標準形式，讀者將能夠準確識彆麯麵的形狀、對稱性，並理解其在三維空間中的空間分布。本書將提供豐富的空間想象圖例和輔助分析，幫助學生建立直觀的幾何感知。 --- 學習建議： 本書的兩個主要部分是高度交織的。高等代數的理論（如特徵值、綫性變換）是解析幾何中處理麯綫和麯麵簡化的強大工具。建議讀者在學習解析幾何的相應章節時，迴顧並運用高等代數中關於矩陣對角化和二次型的知識，以實現對幾何對象的深入理解。本書包含大量例題和提升性習題，旨在幫助讀者將抽象的代數概念與具體的幾何圖像完美結閤。

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我必須承認，起初我對這本《高等數學解題技巧》抱有一絲懷疑。畢竟市麵上同類的輔導書太多瞭，很多都是東拼西湊，內容陳舊。然而，當我翻開第一章，就被其獨到的編排方式所吸引。這本書的結構設計非常人性化，它似乎深諳我們這些“掙紮在及格綫邊緣”的工科生的痛點。它不是機械地羅列定理，而是將那些晦澀難懂的微積分、綫性代數知識點，融入到非常貼近實際工程背景的案例分析中。舉個例子，它在講解拉格朗日乘數法時，不是直接套用公式，而是用一個關於資源最優分配的虛擬小項目來引導，讓我一下子就明白瞭“為什麼要有這個方法”而不是“這個方法怎麼用”。這種“知其然更知其所以然”的教學方式，讓我的學習不再是被動的記憶，而變成瞭主動的探索。特彆是書中對於那些“鬼打牆”的證明題，提供的“破題四步法”，簡直是我的救命稻草。每次我卡住時，隻要按照這個流程走一遍，思路總能豁然開朗。這本書真正做到瞭將理論與實踐無縫對接，強烈推薦給所有被高數摺磨的大學生！

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這本《數學習題精選》簡直是數學學習的救星！我一直在為那些看似簡單的基礎題感到睏擾，總覺得理解瞭概念，但一到實際運算就容易齣錯。這本書的編寫風格非常注重基礎的夯實，它沒有一上來就堆砌復雜的公式和定理，而是通過大量的、循序漸進的例題和練習，把每一個知識點都掰開瞭揉碎瞭講。比如，在講解分數運算時，作者不僅清晰地展示瞭通分和約分的步驟，還巧妙地設計瞭一些易錯點作為陷阱題，讓我不得不停下來思考為什麼會錯。更讓我驚喜的是，書後的解析部分簡直是神來之筆。它不像有些教輔那樣隻是簡單地給齣答案，而是提供瞭多種解題思路，有時候還會對比不同方法的優劣，這極大地拓展瞭我的解題視野。通過這本書的係統訓練，我明顯感覺自己在麵對選擇題和填空題時，速度和準確率都有瞭質的飛躍，那種“一切盡在掌握”的感覺真的非常棒。如果說有什麼遺憾，可能就是某些進階章節的難度提升有點快，但瑕不掩瑜，對於想要穩固基礎的同學來說，這絕對是一本不可多得的寶藏教材。

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這本書《幾何奧賽思維訓練》簡直是為那些渴望在幾何領域深挖一把的初中生量身定做的“武功秘籍”。我女兒一開始對幾何圖形的證明題感到頭疼，總覺得證明過程充滿瞭玄學，找不到邏輯的切入點。但是，自從用瞭這本，情況有瞭顯著改善。它的厲害之處在於，它沒有過多強調死記硬背那些經典定理，而是專注於培養一種“幾何直覺”和“空間想象力”。書中的每一章都圍繞一個核心的幾何變換或輔助綫技巧展開，比如鏇轉法、嚮量法在平麵幾何中的巧妙應用。作者用非常生動、圖形化的語言來闡述復雜的空間關係，配圖清晰到讓人一眼就能領悟。我特彆欣賞它在每節課後設置的“思維導圖迴顧”環節，用一張簡潔的圖把本節課的所有關鍵技巧串聯起來，加深瞭對知識體係的理解。而且，這本書的難度梯度控製得極好，從基礎的平行與垂直關係，逐步過渡到復雜的拓撲變換思想，讓我女兒的解題能力是像滾雪球一樣逐漸增強的。雖然有些題目確實需要反復琢磨，但那種茅塞頓開的成就感，是其他課本無法比擬的。

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我不得不說，這本《解析幾何的魅力》顛覆瞭我對代數和幾何結閤的傳統認知。在我以往的印象裏，解析幾何無非就是把圓錐麯綫的方程搬齣來，然後套用公式去求交點、求切綫，過程枯燥且機械。然而，這本書完全走瞭一條反傳統的路綫。它從幾何圖形的本質美感齣發，引導讀者去發現那些隱藏在方程背後的優雅結構。作者花費瞭大量的篇幅去闡述“點到直綫距離公式”是如何從勾股定理演化而來，以及拋物綫的焦點與準綫的幾何意義在代數錶達式中的體現。它鼓勵我們先在腦海中構建齣圖形，再通過代數工具去“描繪”和“驗證”這個圖形的性質，而不是反過來。書中的配圖質量極高，很多都是彩色的、多層次的圖示，清晰地展示瞭不同參數變化時圖形的動態演變過程。特彆是關於三維空間中麯麵的探討，作者巧妙地運用瞭投影和截麵的思想，讓復雜的麯麵變得可以被“切割”和“觀察”。這本書不僅教會瞭我解題，更讓我體會到數學語言本身的深刻美感和強大的描述能力，它讓我重新愛上瞭解析幾何這門學科。

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我對《概率論與數理統計》的理解，完全得益於這本《統計思維入門》。過去我對概率總是停留在拋硬幣、摸球的初級階段，一旦遇到涉及大數定律或者貝葉斯推斷的問題，就立刻感到雲裏霧裏，覺得它和現實世界格格不入。這本書的敘述方式極其平易近人，它幾乎沒有使用太多復雜的數學符號來嚇唬讀者，而是通過大量生活化的例子來解釋核心概念。比如，它用彩票中奬的概率、醫療診斷的準確性來解釋條件概率和先驗概率，讓我瞬間明白統計學是如何影響我們日常決策的。書裏對隨機變量的描述也很有趣，它不是冰冷的函數定義，而更像是描述一種“不確定性”的語言。尤其值得稱贊的是，它在講解中心極限定理和迴歸分析時，用瞭大量的圖錶來可視化那些抽象的統計分布麯綫，讓我這個“視覺學習者”受益匪淺。這本書最大的貢獻是幫我建立瞭真正的“統計思維”，讓我學會瞭如何用數據去理性地看待世界的隨機性和規律性，極大地提升瞭我對數據分析的興趣和信心。

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